2021版高考数学一轮复习第九章平面解析几何第2讲两直线的位置关系教学案理北师大版.docx

第2讲两直线的位置关系一、知识梳理1两条直线平行与垂直的判定(1)两条直线平行对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率都存在且分别为k1，k2，则有l1l2k1k2；特别地，当直线l1，l2的斜率都不存在时，l1与l2平行(2)两条直线垂直如果两条直线l1，l2斜率都存在，设为k1，k2，则l1l2k1k21，当一条直线斜率为零，另一条直线斜率不存在时，两条直线垂直2两直线相交直线l1：A1xB1yC10和l2：A2xB2yC20的公共点的坐标与方程组的解一一对应相交方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解；平行方程组无解；重合方程组有无数个解3两种距离点点距点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之间的距离|P1P2|点线距点P0(x0，y0)到直线l：AxByC0的距离d常用结论1两个充要条件(1)两直线平行或重合的充要条件直线l1：A1xB1yC10与直线l2：A2xB2yC20平行或重合的充要条件是A1B2A2B10.(2)两直线垂直的充要条件直线l1：A1xB1yC10与直线l2：A2xB2yC20垂直的充要条件是A1A2B1B20.2六种常见对称(1)点(x，y)关于原点(0，0)的对称点为(x，y)(2)点(x，y)关于x轴的对称点为(x，y)，关于y轴的对称点为(x，y)(3)点(x，y)关于直线yx的对称点为(y，x)，关于直线yx的对称点为(y，x)(4)点(x，y)关于直线xa的对称点为(2ax，y)，关于直线yb的对称点为(x，2by)(5)点(x，y)关于点(a，b)的对称点为(2ax，2by)(6)点(x，y)关于直线xyk的对称点为(ky，kx)，关于直线xyk的对称点为(ky，xk)3三种直线系方程(1)与直线AxByC0平行的直线系方程是AxBym0(mR且mC)(2)与直线AxByC0垂直的直线系方程是BxAyn0(nR)(3)过直线l1：A1xB1yC10与l2：A2xB2yC20的交点的直线系方程为A1xB1yC1(A2xB2yC2)0(R)，但不包括l2.二、教材衍化1已知点(a，2)(a0)到直线l：xy30的距离为1，则a_解析：由题意得1.解得a1或a1.因为a0，所以a1.答案：12已知P(2，m)，Q(m，4)，且直线PQ垂直于直线xy10，则m_解析：由题意知1，所以m42m，所以m1.答案：1一、思考辨析判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)当直线l1和l2的斜率都存在时，一定有k1k2l1l2.()(2)如果两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率之积一定等于1.()(3)若两直线的方程组成的方程组有唯一解，则两直线相交()(4)已知直线l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20(A1，B1，C1，A2，B2，C2为常数)，若直线l1l2，则A1A2B1B20.()(5)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离()答案：(1)(2)(3)(4)(5)二、易错纠偏(1)判断两直线平行时，忽视两直线重合的情况；(2)判断两直线的位置关系时，忽视斜率不存在的情况；(3)求两平行线间的距离，忽视x，y的系数应对应相同1直线2x(m1)y40与直线mx3y20平行，则m_解析：直线2x(m1)y40与直线mx3y20平行，则有，故m2或3.答案：2或32若直线(3a2)x(14a)y80与(5a2)x(a4)y70垂直，则a_解析：由两直线垂直的充要条件，得(3a2)(5a2)(14a)(a4)0，解得a0或a1.答案：0或13直线2x2y10，xy20之间的距离是_解析：先将2x2y10化为xy0，则两平行线间的距离为d.答案：两直线的位置关系(多维探究)角度一判断两直线的位置关系 (2020天津静海区联考)“a1”是“直线ax2y80与直线x(a1)y40平行”的()A充要条件B充分不必要条件C必要不充分条件D既不充分也不必要条件【解析】设直线l1：ax2y80，直线l2：x(a1)y40.若l1与l2平行，则a(a1)20，即a2a20，解得a1或a2.当a2时，直线l1的方程为2x2y80，即xy40，直线l2的方程为xy40，此时两直线重合，则a2.当a1时，直线l1的方程为x2y80，直线l2的方程为x2y40，此时两直线平行故“a1”是“直线ax2y80与直线x(a1)y40平行”的充要条件故选A.【答案】A角度二由两直线的位置关系求参数 (1)(2020安徽芜湖四校联考)直线(2m1)xmy10和直线mx3y30垂直，则实数m的值为()A1B0C2 D1或0(2)(2020陕西宝鸡中学二模)若直线x(1m)y20与直线mx2y40平行，则m的值是()A1 B2C1或2 D【解析】(1)由两直线垂直可得m(2m1)3m0，解得m0或1.故选D.(2)当m1时，两直线方程分别为x20和x2y40，此时两直线相交，不符合题意当m1时，两直线的斜率都存在，由两直线平行可得解得m1.综上可得m1.故选A.【答案】(1)D(2)A角度三由两直线的位置关系求直线方程 (一题多解)经过两条直线2x3y10和x3y40的交点，并且垂直于直线3x4y70的直线的方程为_【解析】法一：由方程组解得即交点为，因为所求直线与直线3x4y70垂直，所以所求直线的斜率为k.由点斜式得所求直线方程为y，即4x3y90.法二：由垂直关系可设所求直线方程为4x3ym0，由方程组可解得交点为，代入4x3ym0得m9，故所求直线方程为4x3y90.法三：由题意可设所求直线的方程为(2x3y1)(x3y4)0，即(2)x(33)y140，又因为所求直线与直线3x4y70垂直，所以3(2)4(33)0，所以2，代入式得所求直线方程为4x3y90.【答案】4x3y90两直线平行、垂直的判断方法若已知两直线的斜率存在(1)两直线平行两直线的斜率相等且在坐标轴上的截距不等(2)两直线垂直两直线的斜率之积等于1.提醒判断两条直线的位置关系应注意：(1)注意斜率不存在的特殊情况(2)注意x，y的系数不能同时为零这一隐含条件 1求满足下列条件的直线方程(1)过点P(1，3)且平行于直线x2y30；(2)已知A(1，2)，B(3，1)，线段AB的垂直平分线解：(1)设直线方程为x2yc0，把P(1，3)代入直线方程得c7，所以直线方程为x2y70.(2)AB的中点为，即，直线AB的斜率kAB，故线段AB的垂直平分线的斜率k2，所以其方程为y2(x2)，即4x2y50.2(一题多解)已知直线l1：ax2y60和直线l2：x(a1)ya210.(1)试判断l1与l2是否平行；(2)当l1l2时，求a的值解：(1)法一：当a1时，l1：x2y60，l2：x0，l1不平行于l2；当a0时，l1：y3，l2：xy10，l1不平行于l2；当a1且a0时，两直线可化为l1：yx3，l2：yx(a1)，l1l2解得a1，综上可知，当a1时，l1l2.法二：由A1B2A2B10，得a(a1)120，由A1C2A2C10，得a(a21)160，所以l1l2可得a1，故当a1时，l1l2.(2)法一：当a1时，l1：x2y60，l2：x0，l1与l2不垂直，故a1不成立；当a0时，l1：y3，l2：xy10，l1不垂直于l2，故a0不成立；当a1且a0时，l1：yx3，l2：yx(a1)，由1，得a.法二：由A1A2B1B20，得a2(a1)0，可得a.两条直线的交点和距离问题(典例迁移) (1)经过两直线l1：x2y40和l2：xy20的交点P，且与直线l3：3x4y50垂直的直线l的方程为_(2)(2020宿州模拟)已知点P(4，a)到直线4x3y10的距离不大于3，则a的取值范围是_(3)(2020厦门模拟)若两平行直线3x2y10，6xayc0之间的距离为，则c的值是_【解析】(1)由方程组得即P(0，2)因为ll3，所以直线l的斜率k，所以直线l的方程为y2x，即4x3y60.(2)由题意得，点P到直线的距离为.又3，即|153a|15，解得0a10，所以a的取值范围是0，10(3)依题意知，解得a4，c2，即直线6xayc0可化为3x2y0，又两平行线之间的距离为，所以，解得c2或6.【答案】(1)4x3y60(2)0，10(3)2或6【迁移探究】若将本例(1)中的“垂直”改为“平行”，如何求解？解：法一：由方程组得即P(0，2)因为ll3，所以直线l的斜率k，所以直线l的方程为y2x，即3x4y80.法二：因为直线l过直线l1和l2的交点，所以可设直线l的方程为x2y4(xy2)0，即(1)x(2)y420.因为l与l3平行，所以3(2)(4)(1)0，且(4)(42)5(2)，所以，所以直线l的方程为3x4y80. (1)求过两直线交点的直线方程的方法求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程(2)利用距离公式应注意：点P(x0，y0)到直线xa的距离d|x0a|，到直线yb的距离d|y0b|；应用两平行线间的距离公式要把两直线方程中x，y的系数分别化为相等 1已知A(2，0)，B(0，2)，若点C在函数yx2的图象上，则使得ABC的面积为2的点C的个数为()A4B3C2 D1解析：选A.设点C(t，t2)，直线AB的方程是xy20，|AB|2.由于ABC的面积为2，则这个三角形中AB边上的高h满足方程2h2，即h.由点到直线的距离公式得，即|tt22|2，即t2t22或者t2t22.因为这两个方程各有两个不相等的实数根，故这样的点C有4个2已知直线ykx2k1与直线yx2的交点位于第一象限，则实数k的取值范围是_解析：如图，已知直线yx2与x轴、y轴分别交于点A(4，0)，B(0，2)而直线方程ykx2k1可变形为y1k(x2)，表示这是一条过定点P(2，1)，斜率为k的动直线因为两直线的交点在第一象限，所以两直线的交点必在线段AB上(不包括端点)，所以动直线的斜率k需满足kPAkkPB.因为kPA，kPB.所以kkA1F，即kFD(4，)答案：(4，)5正方形的中心为点C(1，0)，一条边所在的直线方程是x3y50，求其他三边所在直线的方程解：点C到直线x3y50的距离d.设与x3y50平行的一边所在直线的方程是x3ym0(m5)，则点C到直线x3ym0的距离d，解得m5(舍去)或m7，所以与x3y50平行的边所在直线的方程是x3y70.设与x3y50垂直的边所在直线的方程是3xyn0，则点C到直线3xyn0