2021版高考数学一轮复习第二章函数概念与基本初等函数第1讲函数及其表示教学案理北师大版.docx

第1讲函数及其表示一、知识梳理1函数与映射的概念函数映射两集合A，B设A，B是两个非空的数集设A，B是两个非空的集合对应关系f：AB如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应名称称f：AB为从集合A到集合B的一个函数称对应f：AB为从集合A到集合B的一个映射记法yf(x)(xA)对应f：AB是一个映射2.函数的有关概念(1)函数的定义域、值域在函数yf(x)，xA中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合f(x)|xA叫做函数的值域显然，值域是集合B的子集(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系(3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据(4)函数的表示法表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法3分段函数若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数注意分段函数是一个函数，而不是几个函数，分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集常用结论几种常见函数的定义域(1)f(x)为分式型函数时，定义域为使分母不为零的实数集合(2)f(x)为偶次根式型函数时，定义域为使被开方式非负的实数的集合(3)f(x)为对数式时，函数的定义域是真数为正数、底数为正且不为1的实数集合(4)若f(x)x0，则定义域为x|x0(5)指数函数的底数大于0且不等于1.(6)正切函数ytan x的定义域为.二、教材衍化1下列函数中，与函数yx1是相等函数的是()Ay()2By1Cy1 Dy1解析：选B.对于A，函数y()2的定义域为x|x1，与函数yx1的定义域不同，不是相等函数；对于B，定义域和对应关系都相同，是相等函数；对于C，函数y1的定义域为x|x0，与函数yx1的定义域不同，不是相等函数；对于D，定义域相同，但对应关系不同，不是相等函数，故选B.2函数yf(x)的图象如图所示，那么f(x)的定义域是_；值域是_；其中只有唯一的x值与之对应的y值的范围是_答案：3，02，31，51，2)(4，53函数y的定义域是_解析：x2.答案：2，)一、思考辨析判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)函数yf(x)的图象与直线xa最多有2个交点()(2)函数f(x)x22x与g(t)t22t是相等函数()(3)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数是相等函数()(4)若集合AR，Bx|x0，f：xy|x|，则对应关系f是从A到B的映射()(5)分段函数是由两个或几个函数组成的()(6)分段函数的定义域等于各段定义域的并集，值域等于各段值域的并集()答案：(1)(2)(3)(4)(5)(6)二、易错纠偏(1)对函数概念理解不透彻；(2)对分段函数解不等式时忘记范围；(3)换元法求解析式，反解忽视范围1已知集合Px|0x4，Qy|0y2，下列从P到Q的各对应关系f中不是函数的是_(填序号)f：xyx；f：xyx；f：xyx；f：xy.解析：对于，因为当x4时，y4Q，所以不是函数答案：2设函数f(x)则使得f(x)1的自变量x的取值范围为_解析：因为f(x)是分段函数，所以f(x)1应分段求解当x1时，f(x)1(x1)21x2或x0，所以x2或0x1；当x1时，f(x)141，即3，所以1x10.综上所述，x2或0x10，即x(，20，10答案：(，20，103已知f()x1，则f(x)_解析：令t，则t0，xt2，所以f(t)t21(t0)，即f(x)x21(x0)答案：x21(x0)函数的定义域(多维探究)角度一求函数的定义域 (1)(2020安徽宣城八校联考)函数y的定义域为()A(1，3B(1，0)(0，3C. 1，3 D1，0)(0，3(2)(2020华南师范大学附属中学月考)已知函数f(x)的定义域是1，1，则函数g(x)的定义域是()A0，1 B(0，1)C0，1) D(0，1【解析】(1)要使函数有意义，x需满足解得1x0或00且1x1，解得x0，所以t1，故f(x)的解析式是f(x)lg (x1)答案：lg (x1)3已知函数f(x)满足2f(x)f3x，则f(x)_解析：因为2f(x)f3x，把中的x换成，得2ff(x).联立可得解此方程组可得f(x)2x(x0)答案：2x(x0)4已知函数f(1)x2，则f(x)的解析式为_解析：法一(换元法)：设t1，则x(t1)2，t1，代入原式有f(t)(t1)22(t1)t22t12t2t21.故f(x)x21，x1.法二(配凑法)：因为x2()2211(1)21，所以f(1)(1)21，11，即f(x)x21，x1.答案：f(x)x21(x1)分段函数(多维探究)角度一分段函数求值 (1)(2020江西南昌一模)设函数f(x)则f(5)的值为()A7B1C0 D(2)若函数f(x)则f(f(9)_【解析】(1)f(5)f(53)f(2)f(23)f(1)(1)221.故选D.(2)因为函数f(x)所以f(9)lg 101，所以f(f(9)f(1)2.【答案】(1)D(2)2角度二已知函数值求参数 设函数f(x)若f(m)3，则实数m的值为_【解析】当m2时，由m213，得m24，解得m2；当0m2时，由log2m3，解得m238(舍去)综上所述，m2.【答案】2角度三与分段函数有关的方程、不等式问题 (1)(2020安徽安庆二模)已知函数f(x)若实数a满足f(a)f(a1)，则f()A2 B4C6 D8(2)(一题多解)(2020安徽皖南八校联考)已知函数f(x)则满足f(2x1)0.当0a1时，由f(a)f(a1)，即2a，解得a，则ff(4)8，当a1时，由f(a)f(a1)，得2a2(a1)，不成立故选D.(2)法一：由f(x)可得当x1时，f(x)1，当x1时，函数f(x)在1，)上是增加的，且f(1)log221，要使得f(2x1)3，即不等式f(2x1)f(3x2)的解集为(3，)，故选B.法二：当x1时，函数f(x)在1，)上是增加的，且f(x)f(1)1，要使f(2x1)3.故选B.【答案】(1)D(2)B分段函数问题的求解思路(1)根据分段函数的解析式，求函数值的解题思路先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f(f(a)的形式时，应从内到外依次求值(2)已知分段函数的函数值，求参数值的解题思路先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，构造关于参数的方程然后求出相应自变量的值，切记要代入检验(3)已知分段函数的函数值满足的不等式，求自变量取值范围的解题思路依据不同范围的不同段分类讨论求解，最后将讨论结果并起来 1(2020河南郑州质量测评)已知函数f(x)则不等式f(x)1的解集为()A(，2 B(，0(1，2C0，2 D(，01，2解析：选D.当x1时，不等式f(x)1为log2x1，即log2xlog22，因为函数ylog2x在(0，)上是增加的，所以1x2；当x1(舍去)所以f(x)1的解集是(，01，2故选D.2已知函数f(x)若f(a)3，则f(a2)_解析：当a0时，若f(a)3，则log2aa3，解得a2(满足a0)；当a0时，若f(a)3，则4a213，解得a3，不满足a0，所以舍去于是，可得a2.故f(a2)f(0)421.答案：3(2020闽粤赣三省十校联考)已知函数f(x2)则f(2)_解析：f(2)f(42)642.答案：2分类讨论思想在分段函数中的应用 设函数f(x)则满足f(x)f1的x的取值范围是_【解析】当x0时，f(x)2x1恒成立，当x0，即x时，f2x1，当x0，即0，则不等式f(x)f1恒成立当x0时，f(x)fx1x2x1，所以x0.综上所述，x的取值范围是.【答案】解决分段函数问题的关键是“对号入座”，即根据自变量取值的范围，准确确定相应的对应法则，代入相应的函数解析式，转化为一般的函数在指定区间上的问题，解完之后应注意检验自变量取值范围的应用总之，解决分段函数的策略就是“分段函数，分段解决”，即应用分类讨论思想解决 设函数f(x)若f(a)1，则实数a的取值范围是_解析：若a0，则f(a)1713，故3a0；若a0，则f(a)11，解得a1，故0a1.综上可得3a0时，每一个x的值对应两个不同的y值，因此不是函数图象；中当xx0时，y的值有两个，因此不是函数图象；中每一个x的值对应唯一的y值，因此是函数图象故选B.2函数f(x)的定义域为()A0，2) B(2，)C0，2)(2，) D(，2)(2，)解析：选C.由题意得解得x0，且x2.3(2020延安模拟)已知f2x5，且f(a)6，则a等于()A. BC. D解析：选A.令tx1，则x2t2，f(t)2(2t2)54t1，则4a16，解得a.4下列函数中，同一个函数的定义域与值域相同的是()Ay Byln xCy Dy解析：选D.对于A，定义域为1，)，值域为0，)，不满足题意；对于B，定义域为(0，)，值域为R，不满足题意；对于C，定义域为(，0)(0，)，值域为(，1)(0，)，不满足题意；对于D，y1，定义域为(，1)(1，)，值域也是(，1)(1，)5已知函数f(x)则f(f(1)()A B2C4 D11解析：选C.因为f(1)1223，所以f(f(1)f(3)34.故选C.6已知函数yf(2x1)的定义域是0，1，则函数的定义域是()A1，2 B(1，1C. D(1，0)解析：选D.由f(2x1)的定义域是0，1，得0x1，故12x11，所以函数f(x)的定义域是1，1，所以要使函数有意义，需满足解得1x0.7下列函数中，不满足f(2 018x)2 018f(x)的是()Af(x)|x| Bf(x)x|x|Cf(x)x2 Df(x)2x解析：选C.若f(x)|x|，则f(2 018x)|2 018x|2 018|x|2 018f(x)；若f(x)x|x|，则f(2 018x)2 018x|2 018x|2 018(x|x|)2 018f(x)；若f(x)x2，则f(2 018x)2 018x2，而2 018f(x)2 018x2 0182，故f(x)x2不满足f(2 018x)2 018f(x)；若f(x)2x，则f(2 018x)22 018x2 018(2x)2 018f(x)故选C.8设xR，定义符号函数sgn x则()A|x|x|sgn x| B|x|xsgn|x|C|x|x|sgn x D|x|xsgn x解析：选D.当x0时，|x|x，x|sgn x|x，xsgn|x|x，|x|sgn x(x)(1)x，排除A，B，C，故选D.9若二次函数g(x)满足g(1)1，g(1)5，且图象过原点，则g(x)_解析：设g(x)ax2bxc(a0)，因为g(1)1，g(1)5，且图象过原点，所以解得所以g(x)3x22x.答案：3x22x10已知函数f(x)若f(a)f(1)0，则实数a的值等于_解析：因为f(1)2，且f(1)f(a)0，所以f(a)21，则实数m的取值范围是_解析：f(f(0)f(1)ln 10；如图所示，可得f(x)的图象与直线y1的交点分别为(0，1)，(e，1)若f(m)1，则实数m的取值范围是(，0)(e，)答案：0(，0)(e，)综合题组练1设f(x)，g(x)都是定义在实数集上的函数，定义函数(fg)(x)：对任意的xR，(fg)(x)f(g(x)若f(x)g(x)则()A(ff)(x)f(x) B(fg)(x)f(x)C(gf)(x)g(x) D(gg)(x)g(x)解析：选A.对于A，(ff)(x)f(f(x)当x0时，f(x)x0，(ff)(x)f(x)x；当x0，(ff)(x)f(x)x2；当x0时，(ff)(x)f 2(x)002，因此对任意的xR，有(ff)(x)f(x)，故A正确，选A.2(2020河南郑州第二次质量检测)高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为设xR，用x表示不超过x的最大整数，则yx称为高斯函数例如：2.13，3.13，已知函数f(x)，则函数yf(x)的值域为()A0，1，2，3 B0，1，2C1，2，3 D1，2解析：选D.f(x)1，因为2x0，所以12x1，所以01，则02，所以113，即1f(x)3，当1f(x)2时，f(x)1，当2f(x)3时，f(x)2.综上，函