2021版高考数学一轮复习第九章平面解析几何第8讲曲线与方程练习理北师大版.docx

第8讲 曲线与方程 基础题组练1方程(xy)2(xy1)20表示的曲线是()A一条直线和一条双曲线B两条双曲线C两个点D以上答案都不对解析：选C.(xy)2(xy1)20故或2(2020银川模拟)设D为椭圆x21上任意一点，A(0，2)，B(0，2)，延长AD至点P，使得|PD|BD|，则点P的轨迹方程为()Ax2(y2)220Bx2(y2)220Cx2(y2)25Dx2(y2)25解析：选B.设点P坐标为(x，y)因为D为椭圆x21上任意一点，且A，B为椭圆的焦点，所以|DA|DB|2.又|PD|BD|，所以|PA|PD|DA|DA|DB|2，所以2，所以x2(y2)220，所以点P的轨迹方程为x2(y2)220.故选B.3.如图所示，在平面直角坐标系xOy中，A(1，0)，B(1，1)，C(0，1)，映射f将xOy平面上的点P(x，y)对应到另一个平面直角坐标系uOv上的点P(2xy，x2y2)，则当点P沿着折线ABC运动时，在映射f的作用下，动点P的轨迹是()解析：选D.当P沿AB运动时，x1，设P(x，y)，则(0y1)，故y1(0x2，0y1)当P沿BC运动时，y1，则(0x1)，所以y1(0x2，1y0)，由此可知P的轨迹如D项图象所示，故选D.4(2020兰州模拟)已知两点M(2，0)，N(2，0)，点P为坐标平面内的动点，满足|0，则动点P(x，y)的轨迹方程为()Ay28xBy28xCy24x Dy24x解析：选A.设P(x，y)，M(2，0)，N(2，0)，|4.则(x2，y)，(x2，y)，由|0，得44(x2)0，化简整理得y28x.故选A.5(2020郑州模拟)动点M在圆x2y225上移动，过点M作x轴的垂线段MD，D为垂足，则线段MD中点的轨迹方程是()A.1 B1C.1 D1解析：选B.如图，设线段MD中点为P(x，y)，M(x0，y0)，D(x0，0)，因为P是MD的中点，所以又M在圆x2y225上，所以xy25，即x24y225，1，所以线段MD的中点P的轨迹方程是1.故选B.6在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A(1，0)，B(2，2)，若点C满足t()，其中tR，则点C的轨迹方程是_解析：设C(x，y)，则(x，y)，t()(1t，2t)，所以消去参数t得点C的轨迹方程为y2x2.答案：y2x27ABC的顶点A(5，0)，B(5，0)，ABC的内切圆圆心在直线x3上，则顶点C的轨迹方程是_解析：如图，ABC与内切圆的切点分别为G，E，F.|AG|AE|8，|BF|BG|2，|CE|CF|，所以|CA|CB|826.根据双曲线定义，所求轨迹是以A，B为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，轨迹方程为1(x3)答案：1(x3)8设F1，F2为椭圆1的左、右焦点，A为椭圆上任意一点，过焦点F1向F1AF2的外角平分线作垂线，垂足为D，则点D的轨迹方程是_解析：由题意，延长F1D，F2A并交于点B，易证RtABDRtAF1D，则|F1D|BD|，|F1A|AB|，又O为F1F2的中点，连接OD，则ODF2B，从而可知|OD|F2B|(|AF1|AF2|)2，设点D的坐标为(x，y)，则x2y24.答案：x2y249如图所示，已知圆A：(x2)2y21与点B(2，0)，分别求出满足下列条件的动点P的轨迹方程(1)PAB的周长为10；(2)圆P与圆A外切，且过B点(P为动圆圆心)；(3)圆P与圆A外切，且与直线x1相切(P为动圆圆心)解：(1)根据题意，知|PA|PB|AB|10，即|PA|PB|64|AB|，故P点轨迹是椭圆，且2a6，2c4，即a3，c2，b.因此其轨迹方程为1(y0)(2)设圆P的半径为r，则|PA|r1，|PB|r，因此|PA|PB|1.由双曲线的定义知，P点的轨迹为双曲线的右支，且2a1，2c4，即a，c2，b，因此其轨迹方程为4x2y21.(3)依题意，知动点P到定点A的距离等于到定直线x2的距离，故其轨迹为抛物线，且开口向左，p4.因此其轨迹方程为y28x.10(2020宝鸡模拟)已知动圆P恒过定点，且与直线x相切(1)求动圆P圆心的轨迹M的方程；(2)在正方形ABCD中，AB边在直线yx4上，另外C，D两点在轨迹M上，求该正方形的面积解：(1)由题意得动圆P的圆心到点的距离与它到直线x的距离相等，所以圆心P的轨迹是以为焦点，直线x为准线的抛物线，且p，所以动圆P圆心的轨迹M的方程为y2x.(2)由题意设CD边所在直线方程为yxt.联立消去y，整理得x2(2t1)xt20.因为直线CD和抛物线交于两点，所以(2t1)24t214t0，解得t.设C(x1，y1)，D(x2，y2)，则x1x212t，x1x2t2.所以|CD|.又直线AB与直线CD之间的距离为|AD|，|AD|CD|，所以，解得t2或t6，经检验t2和t6都满足0.所以正方形边长|AD|3或|AD|5，所以正方形ABCD的面积S18或S50.综合题组练1设过点P(x，y)的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A，B两点，点Q与点P关于y轴对称，O为坐标原点若2，且1，则点P的轨迹方程是()A.x23y21(x0，y0)B.x23y21(x0，y0)C3x2y21(x0，y0)D3x2y21(x0，y0)解析：选A.设A(a，0)，B(0，b)，a0，b0.由2，得(x，yb)2(ax，y)，即ax0，b3y0.点Q(x，y)，故由1，得(x，y)(a，b)1，即axby1.将ax，b3y代入axby1，得所求的轨迹方程为x23y21(x0，y0)2若曲线C上存在点M，使M到平面内两点A(5，0)，B(5，0)距离之差的绝对值为8，则称曲线C为“好曲线”以下曲线不是“好曲线”的是()Axy5 Bx2y29C.1 Dx216y解析：选B.因为M到平面内两点A(5，0)，B(5，0)距离之差的绝对值为8，所以M的轨迹是以A(5，0)，B(5，0)为焦点的双曲线，方程为1.A项，直线xy5过点(5，0)，满足题意，为“好曲线”；B项，x2y29的圆心为(0，0)，半径为3，与M的轨迹没有交点，不满足题意；C项，1的右顶点为(5，0)，满足题意，为“好曲线”；D项，方程代入1，可得y1，即y29y90，所以0，满足题意，为“好曲线”3.如图，斜线段AB与平面所成的角为60，B为斜足，平面上的动点P满足PAB30，则点P的轨迹是()A直线B抛物线C椭圆D双曲线的一支解析：选C.母线与中轴线夹角为30，然后用平面去截，使直线AB与平面的夹角为60，则截口为P的轨迹图形，由圆锥曲线的定义可知，P的轨迹为椭圆故选C.4(2020四川成都石室中学模拟)已知两定点F1(1，0)，F2(1，0)和一动点P，给出下列结论：若|PF1|PF2|2，则点P的轨迹是椭圆；若|PF1|PF2|1，则点P的轨迹是双曲线；若(0，且1)，则点P的轨迹是圆；若|PF1|PF2|a2(a0)，则点P的轨迹关于原点对称；若直线PF1与PF2的斜率之积为m(m0)，则点P的轨迹是椭圆(除长轴两端点)其中正确的是_(填序号)解析：对于，由于|PF1|PF2|2|F1F2|，所以点P的轨迹是线段F1F2，故不正确对于，由于|PF1|PF2|1，故点P的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线的右支，故不正确对于，设P(x，y)，由题意得，整理得(12)x2(12)y2(222)x120.因为0，且1，所以x2y2x0，所以点P的轨迹是圆，故正确对于，设P(x，y)，则|PF1|PF2|a2.又点P(x，y)关于原点的对称点为P(x，y)，因为a2，所以点P(x，y)也在曲线a2上，即点P的轨迹关于原点对称，故正确对于，设P(x，y)，则kPF1，kPF2，由题意得kPF1kPF2m(m0)，整理得x21，此方程不一定表示椭圆，故不正确综上，正确结论的序号是.答案：5(一题多解)(2020东北三省四市一模)如图，已知椭圆C：1的短轴端点分别为B1，B2，点M是椭圆C上的动点，且不与B1，B2重合，点N满足NB1MB1，NB2MB2.(1)求动点N的轨迹方程；(2)求四边形MB2NB1面积的最大值解：(1)法一：设N(x，y)，M(x0，y0)(x00)由题知B1(0，3)，B2(0，3)，所以kMB1，kMB2.因为MB1NB1，MB2NB2，所以直线NB1：y3x，直线NB2：y3x，得y29x2.又因为1，所以y29x22x2，整理得动点N的轨迹方程为1(x0)法二：设N(x，y)，M(x0，y0)(x00)由题知B1(0，3)，B2(0，3)，所以kMB1，kMB2.因为MB1NB1，MB2NB2，所以直线NB1：y3x，直线NB2：y3x，联立，解得又1，所以x，故代入1，得1.所以动点N的轨迹方程为1(x0)法三：设直线MB1：ykx3(k0)，则直线NB1：yx3，直线MB1与椭圆C：1的交点M的坐标为.则直线MB2的斜率为kMB2.所以直线NB2：y2kx3.由得点N的轨迹方程为1(x0)(2)由(1)方法三得直线NB1：yx3，直线NB2：y2kx3，联立解得x，即xN，故四边形MB2NB1的面积S|B1B2|(|xM|xN|)3，当且仅当|k|时，S取得最大值.6在平面直角坐标系xOy中取两个定点A1(，0)，A2(，0)，再取两个动点N1(0，m)，N2(0，n)，且mn2.(1)求直线A1N1与A2N2的交点M的轨迹C的方程；(2)过R(3，0)的直线与轨迹C交于P，Q两点，过点P作PNx轴且与轨迹C交于另一点N，F为轨迹C的右焦点，若(1)，求证：.解：(1)依题意知，直线A1N1的方程为y(x)，直线A2N2的方程为y(x)，设M(x，y)是直线A1N1与A2N2的交点，得y2(x26)，又mn2，整理得1.故点M的轨迹C的方程为1.(2)证明：设过点R的直线l：xty3，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则N(x1，y1)，由消去x，得(t23)y26ty30，(*)所以y1y2，y1y2.由，得(x13，y1)(