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利用幂级数的性质 特别是性质3和性质4 可以求出一些较为复杂的幂级数的和函数 利用幂级数的和函数又可以求出一些较为复杂的常数项级数的和 这是属于由给出的幂级数求和函数的问题 其反问题为 问题1 给定一个函数f x 假定它在区间 a b 上具有任意阶导数 如何求出f x 在区间 a b 上的幂级数 第五节 函数展开成幂级数 定理 泰勒中值定理 如果函数f x 在含有点 的区间 a b 内有直到n 1阶的连续导数 的一个n次多项式 与一个余项 之和 即 则当x在 a b 内取任何值时 f x 可以表示为 其中 一 泰勒公式及泰勒级数 其中 称之为马克劳林公式 再令 则余项又可以写成 二 泰勒级数 若f x 在 称为f x 的泰勒级数 问题2 除了 显然在 f x 的泰勒级数收敛于 处 外 泰勒级数是否一定收敛 如果它收敛 它是否一定收敛于f x 上具有任意阶导数 则在泰勒公式中 让多项式的项数趋于无穷 得到级数 泰勒级数的前n 1项部分和即为 所以有 由泰勒公式有 所以有 所以 定理 设f x 在 的充分必要条件是 则f x 在该邻域内可以唯一表示 或展开 为泰勒级数 内具有任意阶导数 特别 当 称其为f x 的马克劳林级数 函数f x 在 1 f x 在该邻域内是否具有任意阶导数 2 当 时 泰勒级数成为 内是否可以展开为泰勒级数 或马克劳林级数取决于下面两个条件 时 是否满足 二 函数展开成幂级数 一 直接展开法 将f x 展开成马克劳林级数的步骤如下 如果在x 0处某阶导数不存在 则停止计算 并求出收敛半径R和收敛域I 3 考察在收敛域I内余项 的极限 是否为0 如果为0 则f x 在收敛域I上的马克劳林展开式即为 注意 在上述展开中一定要验证条件 例1 将函数展开成马克劳林级数 解 1 2 写出函数的马克劳林级数 求收敛域 3 在收敛域内考察余项的极限 所以 在 可展成马克劳林级数 例2 将函数展开成马克劳林级数 解 利用 可以定出 所以 并可用比值判别法求得收敛域 例2 将函数展开成马克劳林级数 并可用比值判别法求得收敛区间 解 利用 可以定出 所以 可展成马克劳林级数 二 间接展开法 间接展开法是以一些已知函数的幂级数展开式为基础 利用幂级数的性质 变量代换等方法 间接求出一些较为复杂函数的幂级数展开式 例如 分别令 则得 例1 将函数和分别展开成x的幂级数 解 1 因为 所以等式两边关于x求导得 2 因为 例1 将函数和分别展开成x的幂级数 解 因为 例2 将函数展开成x的幂级数 解 例2 将函数展开成x的幂级数 解 也收敛 所以有 例3 将函数展开成 x 1 的幂级数 解 在上式中取 例3 将函数展开成 x 1 的幂级数
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