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矩阵光学 魏光辉第一章 矩阵及其运算1.1矩阵、矢量和张量矩阵的概念：对角矩阵： （对角矩阵即为除了对角线的元素外，其它元素阶为零）单位矩阵：标量、矢量和张量：三维空间的m阶张量可以有个独立分量，n维空间的m阶张量可以有个独立分量。矢量可以视为一阶张量，标量可以视为零阶张量。电场是一个矢量。一个矢量可以用行阵或列阵来表示；一个二阶张量可以用方阵表示；m阶张量可以用行列矩阵表示。1.2矩阵的加法和乘法矩阵加法：矩阵乘法：A为矩阵，B为矩阵，C为，C为矩阵。其中。若，则B可以描述P维空间中的n阶张量，若，则C为矩阵，由此可见，一个张量矩阵可以被列数与其行数相同的方阵左乘，得到另一个具有相同行列数的矩阵。因此，一个用单列矩阵表示的矢量，被列数与其行数相同的方阵左乘，仍得相同行数的矢量。矩阵的减法：；由多项式为元素的矩阵可以进行分解，例：矩阵连乘：A为矩阵，B为矩阵，C为矩阵，则，有。（注意：如果矩阵A和B中至少有一个是零矩阵，则它们的乘积C=AB必为零矩阵；但如果C=AB为零矩阵，则A和B不一定为零矩阵。）矩阵乘法性质：1、 矩阵乘法满足结合律；2、 矩阵乘法不满足交换律；满足交换律的特例：（1）一个常数与矩阵相乘；（2）单位矩阵与任一同阶方阵对易；（3）任意方阵与其自身对易，并与其自身的任意次幂对易；（4）阶数相同的对角矩阵可以对易；3、 满足乘法对加法的分配律：A(B+C)=AB+AC4、 设A、B是行列数相同的两个矩阵，且K和L是两个常数，则有：K(A+B)=KA+KB;(K+L)A=KA+LA;K(LA)=(KL)A;K(AB)=(KA)B=A(KB).1.3变换的矩阵表示正交变换：认为长度不变的变换即为正交变换。在三维空间中，直角坐标系有一个转动，则有，其长度为保持不变，即，所以为正交变换。展开可写为：，其中称为正交矩阵。进行两次变换后可写为：进行n次变换后，则有：变换举例：研究矩阵的n次方，其中 其中，这是激光器谐振腔的ABCD方程。对标量、矢量和张量的概念作进一步讨论：（1） 标量：在正交变换下，数值不变的量。例如，矢量的长度。（2） 矢量：矢量的长度再坐标轴的正交变换下保持不变。如，在一直角坐标系的旋转用表示，其中，这里省略了矢量符号，变换后为，且，其中某一矢量B可以表示为，和分别为矢量B在旧、新坐标下的分量。用点乘方程两侧，则有。由此可见，正交矩阵的各个分量可以写为：，则。（注：微分算符的变换规则与矢量相同，即）（3） 张量：定义矢量的一种运算方法，并矢。设U和V为两个矢量，则，则即为一个二阶张量，其中，张量之间再进行并矢可以得到更高阶的张量。为了确定张量的正交变换规则，首先定义两条基本运算法则：（1） 张量与矢量点乘：，则有，类似地，但二者并不相等，即张量与矢量点乘不具有交换律。（2） 两个二阶张量的点乘：这是一个标量，可以证明，满足交换律。由此可导出张量的正交变换的规则，设新、旧坐标系为和，张量可以表示为，用点乘方程的后部，则有，设，则有，此即为二阶张量在坐标轴进行正交变换时所遵循的变换规律。扩展到高阶张量为，对称张量： 反对称张量： 由定义可看出反对称张量对角元为0，即 可以用一个对称张量T(S)和一个反对称张量T(A)之和组合成一个二阶张量。证明：令，并设，由矩阵加碱法，则有，根据矩阵对称性质，可知，则有，两式联立可有，1.4转置矩阵转置矩阵：特例：行阵的转置为列阵，列阵的转置为行阵；两个矩阵的转置等于它们各自转置并反转乘积的次序，即，推广到n个矩阵相乘的情况，则有。对称方阵：若方阵A的转置等于它自身，即。对称方阵性质：（1）其转置仍为对称方阵；（2）数乘对称方阵仍为对称方阵；（3）两对称方阵的和仍为对称方阵；（4）两对称方阵的乘积仍为对称方阵的条件为这两个方阵满足乘法规律，并适合乘法交换律，即；（5）单位方阵与任意同阶对称方阵乘积仍为对称方阵；（6）对称方阵的n次幂仍为对称方阵；（7）两个同阶对角方阵的乘积仍是对角方阵，且是对称方阵，n个同阶对称方阵的乘积仍为对角方阵，其对角元等于各因子相应对角元之积。正交方阵：若方阵A和它的转置为单位矩阵，即，则称A为正交方阵。单行矩阵为正交的条件是它左乘其转置列阵得到数1，即（总后面分析可见，正交方阵满足：）。1. 5逆矩阵行列式：方阵A的行列式可表示为二阶行列式展开：三阶行列式展开：行列式不为零的矩阵称为“非奇异矩阵”；两个方阵乘积的行列式，等于它们各自行列式的乘积：；n个方阵乘积的行列式，等于它们各自行列式的乘积：；（注意：相乘矩阵的行列式满足乘法交换律，即）逆矩阵：，称和互为逆矩阵，并且逆矩阵是唯一的。 （注：非奇异矩阵才有逆矩阵，这里为了避开矩阵的“伴随阵”和行列式的“代数余子式”等概念，不详细介绍逆矩阵的求法，高阶逆矩阵可以用Matlab的函数求得。）两个方阵乘积的逆矩阵，等于两个方阵之逆按相反次序的乘积：（注，若存在，则与都必然存在；若与存在，则必然存在，这与1.2节中所述的两矩阵相乘为零的问题有所不同。）1. 6厄米矩阵和酉矩阵共轭矩阵：，则称和互为共轭矩阵共轭矩阵的性质：（1）加法规测：；（2）乘法规则：，特例：若B为一个常复数，则有；共轭转置矩阵：方阵A的共轭转置矩阵记为共轭转置矩阵的性质：（1）加法规则：；（2）乘法规则：；厄米矩阵：如果方阵A的共轭转置矩阵是它自身，则称A为厄米矩阵，即，由定义可见其方阵的对角元必为实数；酉矩阵：如果方阵A的共轭转置矩阵是原矩阵的逆矩阵，则称A为酉矩阵，即；厄米矩阵的典型例子，泡利矩阵：么正矩阵：么正矩阵S满足如下关系，；么正变换：由么正矩阵S实现的变换为么正变换，即；矩阵的迹：方阵的对角元素之和称为方阵的迹，即；注意，在求迹符号下，对只有两个矩阵相乘的顺序可以轮换，因此；由此可以得出一个重要结论，么正变换不改变矩阵的迹。证明：，证毕。若么正矩阵A的元素为实数，则有，方阵A称为正交矩阵，因此正交矩阵满足，实么正矩阵即为正交矩阵（与1.4节接轨，可知正交矩阵必为么正矩阵）。1. 7特征值和特征向量设n阶方阵，和n维非零向量，若存在方程满足，则称为A的特征值，a为属于此特征值的特征向量。用单位矩阵乘以方程两侧，则有， 方程称为方阵A的特征方程，方程的根即为A的特征值。若n阶方阵的特征值为，则总可以找到么正矩阵S，使得，称对角矩阵与相似，此么正变换为相似变换。更一般的情况，若存在一可逆矩阵P，使得，则称A与B相似，并且二者的特征值相同。证明：特殊矩阵的特殊性质：（1） 厄米矩阵的本征值是实数；（2） 么正矩阵的本征值模为1； 证：（3）么正变换不改变矩阵的本征值；证： 则为的本征值，所属向量为第二章 几何光学中的矩阵方法所谓几何光学，其中所讨论的问题都设定为波长趋于零，不考虑衍射，可以认为是旁轴近似，无相差光学系统。2.1光线矢量与光线的矩阵变换2.1.1 光线方程与光线矢量光线方程： ，其中表示光线上p点的位置矢量，是光线弧长的函数，时光程函数。此式表明空间p点的光线在其切线方向的单位增量与该点介质折射率的乘积等于光程函数的梯度。如图2.1所示，和是两个相邻波阵面， 因此有，（注，其中用到）即，此式表明p点光程函数的梯度在光线切线方向上的投影等于光线上该点的折射率。光线方程的微分形式：即。若已知折射率的空间分布，便可求出矢量r的具体形式，确定光线的传播形式。按直线传播的光线方程为，。在非均匀介质中的情况，也可以采用线性方程描述光线的传播，如图2.1所示，和两点的位置矢量和的关系可表示为，光线上此两点处的单位切线矢量和之间的关系为，的方向垂直于，。定义以位置矢量r和单位矢量s的基矢的光线矢量，在直角坐标系中有，其中l，m，n是单位矢量s的方向余弦。在旁轴近似下，认为光线沿z轴传播，则，如图2.2所示，其中为单位矢量s在XOZ平面和YOZ平面内的投影与Z轴的夹角。由于z轴方向坐标的增量近似等于光线弧长的增量，光线矢量的独立基矢减少为四个，即，它们都是z的函数。2.1.2 光线矢量的线性变换，光线变换矩阵光线矢量在介质中的传播为线性变换，可写为， 或 矩阵M为光线变换矩阵。若传播介质为z轴对称性质，则方程可以简化为，其中和为距z轴的距离和与z轴的夹角（旁轴近似下，即为与x轴或y轴夹角的方向余弦）。2.1.3光路可逆性质与光线变换矩阵的逆矩阵光路的可逆性质：光线能够沿原来的传播路径逆向传播。光线变换矩阵的逆矩阵：设光线逆向传播的矩阵为，则有求逆矩阵，若光线在均匀介质中传播，则有和符号规则：（1）沿z轴方向，则为正，反之为负；（2）基矢y沿Y轴方向为正，反向为负；（3）基矢沿z轴逆时针方向为正，顺时针方向为负。由此符号规则，逆向传播的光线矢量的变换关系为， 或 此式的物理图像如图2.3所示，由此可见，对于光线的逆向传播，在加入了基矢的正负号的考虑之后，其变换矩阵可以写为正向传播矩阵的元素a和d互换位置形成逆矩阵，而基矢的正负号不改变。2.1.4光现在不同介质中的连续变换几何光学中的光线传播可以归为光线在各种介质及其界面或由典型光学元件组成的光学系统中的连续变换。如图2.4所示，每个传播单元的变换矩阵为，则有，将整个光学系统视为一个整体单元，则有， 或 由于矩阵乘法满足分配律，因此可以将相邻的m个矩阵进行相乘，再整体进行连乘，如两个透镜组成的光学系统，可以分解为四个界面和三中传播介质组成的变换系统，其变换方程可写为，其中透镜的变换矩阵可写为，透镜的变换矩阵可写为，所以有， 2.1.5 ABCD法则重写光线矢量基矢的变换方程组，有，两式相除有，其中值可以看作光波阵面的曲率半径，如图2.3中的SP，则有普适方程， ABCD方程，此方程描述光波阵面的曲率半径在传播介质中的变换规律。2.2 典型光线变换矩阵2.2.1 光线在均匀介质内传播的光线变换矩阵 ，则 其中L为转播距离。2.2.2 平面介质界面的折射矩阵2.2.3 平面反射矩阵，其中要考虑的符号变换2.2.4 球面介质界面的折射矩阵，其中为球面曲率半径，注，若是凸面镜值为负，若是凹面镜值为正。2.2.5 球面反射矩阵，注，将球面反射设为情况下的球面折射，并考虑的符号变换可直接推出此式。若，则变为平面反射。2.2.6 薄透镜的光线变换矩阵，设透镜屈光度为，则。2.2.7 梯度折射率介质的光线变换矩阵所谓梯度折射率介质，其折射率分布可写为，（注：对于矢量来说，对于入射光或透射光，从z轴逆时针转动时；而对于反射光，从z轴顺时针转动时。）（存在的问题：当光线反射时，角度的正负如何确定；在计算球面介质界面的变换矩阵时，其入射角和出射角如何计算）2.3 近轴光学的基本公式2.3.1 光线变换矩阵元素与光学系统参数的关系可以选取物面和象面作为出射面和入射面，也可以选取其中的某一光学元件作为研究对象，变换矩阵可写为。光学系统的成象性质可以用已知的共轭面和共轭点来描述，这些共轭面和共轭点称为光学系统的参数：主平面的位置求法：设关学系统入射与出射端面的光线变换矩阵为，则光线在主平面之间的变换矩阵为，其中为物方主平面到入射面的距离，为象方主平面到出射面的距离。光矢量在注平面之间的变换关系为，由于，因此可有；根据光路可逆原理，当光线从传到时，变换矩阵为，还是根据，有。因此，由此方程组给出了光学主平面位置与系统光线变换矩阵元素的关系。焦点：光学系统象方焦点定义为无穷远轴上物点的共轭象点，为象方焦点，类似为物方焦距。以主平面、为入射面和出射面，物点的光线矢量为和，则有规定象方焦点位于主平面之右时焦距为正，否则为负。利用类似的方法，反向考虑刚才的情况，可以得出物方焦距。当物空间与象空间折射率为和时，两方的焦距关系为。光学系统的两个焦点位置有时用入射面、出射面与光轴的交点距两焦点的距离确定，称为截距，可写为，。节平面和节点：角放大率等于一的对一共轭面为节平面，其与主轴的交点为节点，入射光线与出射光线平行。光线从物方节点传至象方节点的变换矩阵为，由节点性质，则可得出，；若光学系统空间与象空间的折射率分别为和，则可写为。2.3.2透镜系统的物象关系对于厚透镜或透镜组的情况，焦距的计算应分别与物方主平面和象方主平面作为基准。高斯公式：，其中为象距，为物距，为象方焦距。物平面AB至象平面的光线矩阵为，选取光线矢量为入射光线，其共轭光线矢量应为，则可得， 或 ， 证毕。注，其中认定沿光线传播方向的距离为正。物象垂直放大率：定义象高与物高之比为垂直方大率。仍以图2.15为研究对象，设两点的光线矢量为和，则有，又逆矩阵公式可以反推出，。牛顿公式：，此式表明位于物方焦点左方的物点，则象点位于象方焦点的右方；而位于物方焦点右方的物点（虚物点），其象点位于象方焦点的左方。物象空间不变式：，此式表明，若没有外界能量输入，象面上的亮度总低于物面的亮度。2.3.3 光线变换矩阵元素为零所表示的特殊变换重写变换方程组：，讨论元素A,B,C,D中某一元素为零的情况。（1） A=0，又由，则有，则有，表示无穷远物与焦平面上共轭点的光线变换。如图2.16所示。（2） B=0，则变换方程组变为，矩阵元素A表示垂直放大率，又因为，则为光线逆向传播时的垂直放大率。说明物面AB上任一点发出的所有光线都应汇集于象点相应的共轭点上，可见B=0意为入射面和出射面为共轭面，如图2.17所示。（3） C=0，则，光学系统为无屈光度系统，平行光经过后仍为平行光，这意味着系统必须共焦。则称为广义共焦系统。变换方程组为。这样的共焦系统，出瞳与入瞳直径之比为，角度之比为。图2.18所式的望远镜即为这种系统。望远镜的变换矩阵为，其中B=0，可见是指入射面和出射面为共轭平面。（4） D=0，由光路可逆原理及光线变换逆矩阵可知，D=0即为A=0的逆向光线传播。表示透镜系统的物方与无限远象平面上的共轭点光线的变换。由上面分析可见，A,B,C,D四个元素分别为零的情况，是指不同的入射面与出射面之间的特殊关系。2.3.4 对符号规则的进一步说明符号规则归纳：（1）光轴为z轴，沿光线传播的方向为z轴正方向；（2）基矢y向上为正；（3）基矢由平行与z轴的基线计算，在向右为正z轴的坐标系中，逆时针为正；在向左为正z轴的坐标系中顺时针为正；（4）单元矩阵参考面之间的距离沿光线传播方向由入射参考面至出射参考面计算，并取正值；若入射参考面至出射参考面的顺序逆光线传播方向，其间距离取负值。光波面曲率半径的符号沿光线传播方向由光波面形状确定，发散球面波的波面曲率半径为正会聚球面波的波面曲率半径为负。2.3.5 举例1. 两透镜组合光学系统的光学参数和物象变换两透镜焦距之间的距离的符号规定为，使增大时为正，减小时为负。则与之间的光线变换矩阵为，则系统的组合焦距为；主平面的位置为，；组合焦点的主截距为，。物象关系的讨论：物面到象面的变换矩阵为，由B=0解出物象之间的关系为，物象垂直放大率为，其中。当时，两透镜变为望远镜系统。2. 连续变焦系统所谓连续变焦系统是指利用两个或两个以上透镜组的移动改变系统的组合焦距，并保持最后象面位置不变。设透镜的焦距分别为，其相邻透镜前后焦点间的距离为，入射面和出射面之间的变换矩阵可写为，相乘后得到矩阵个元素为，可得到组合透镜的焦距为，象方截距可写为，为使恒定不变，使用此式可解出和的关系。2.4 光线变换矩阵的特征值与变换系统的特征光线2.4.1 光线变换矩阵的特征值与特征光线二阶矩阵的特征值为，其中用了。特征变换下，入射光线矢量与出射光线矢量满足，可写为；特征光线可写为，；也可写为，其中表示特征光波在光学系统入射面和出射面出的波面的曲率半径，表示轴上物点和象点指光学系统两端界面的距离。由此可见，入射光线和出射光线在光学系统的入射面和出射面出具有相同的波面参数。以双透镜的情况为例，其变换矩阵为，其特征值为，有两种简单情况：（1），共焦情况，则特征值为，则特征光线为，其中。 （a）在情况下的物理图像为，（b）在情况下的物理图像为。（2），则有，若设，则，特征光线为，如图所示。若将光学系统的物象共轭面作为入射面与出射面，则变换矩阵中有B=0，AD=1，则特征值为。当时，特征光线为；当时，。物象共轭面之间的光线变换属于特征变换，也是一种等波面变换。2.4.2 特征光线的横向放大比横向放大比：，可见光线变换矩阵的特征值表示了特征光线的横向放大比，则，可见m为正时，同号，入射光线与出射光线位于光轴的同一侧，异号时，特征光线与光轴有一个或奇数个实交点。2.5 非共轴系统的光线变换矩阵 （略）所谓非共轴是指写入射的情况或是光学元件摆放不正的情况。2.6 光程函数的矩阵表示本节将光程函数表示为光线变换矩阵和光线矢量位矢函数的计算方法。如图所示，任意光学系统的变换矩阵为，为出射面和入射面上的任意两点，满足，可将作为已知量来确定两点光线矢量的方向，则有， 其中用到设两点的光程函数为，要推导的即为的表达式。认为分别所在波面的曲率半径为，是光轴上的两点，与在同一个平面内，设之间的相位差为，这两点的相位为，而又有， 所以 ，也可写为 ，将的表示式代入，则有，其中。若点位于不同的纵向切面，则为二维问题，则光程函数表达为，举例：1. 用光程函数表达式计算杨氏双缝干涉场点的图样取决于两点光场在点的相干叠加，则有，已知厚度为L的均匀介质的光线变换矩阵为，两点光场在点的相位差为， 其中两点场在点相干增强的条件为，相消的条件为，干涉条纹宽度为 注：以上讨论以近轴光学为前提，。若将挡住，则讨论的是在光屏的菲涅尔衍射，点的光场为， 。2. 狭缝在透镜焦平面上产生的弗朗和费衍射两焦平面间光线变换矩阵为，由于，则得到，将代入费涅尔衍射积分为， 。若出现B=0的情况，即在计算共轭物象点之间的光程时，可以采用如下的变换公式，在物象共轭面间的变换矩阵为，重写光程函数，则有， 并考虑有， 则有，此光程函数仅与物点高度有关，而与方向无关。这是理想光学成像的马吕斯-杜平定理的一种表述。其推广表述为，有物点发出的所有光线在光学系统中以相等的光程到达共轭点。第三章 高斯光束的矩阵变换与光学谐振腔3.2 高斯激光束3.2.1均匀球面放光束球面波形式：；复数形式为，其中，当改用直角坐标时，球面波场在空间点的表示式为，其中用到 。均匀球面波的等相位面为一系列同心圆，两相邻的波面的曲率半径为，若球面曲率半径无穷大时光波变为平面波。在第二章所讨论的光线变换是指球面波或平面波波面法线中某一实际法线的变换。3.2.2 基模高斯光束基模高斯光束的表示：其中各个参量为，为高斯光束的光斑半径；为束腰，即高斯光束最小的光斑；是波面曲率半径；是附加相位；称为共焦参量。比较高斯光束与球面波，可见二者的波面都是球面，但二者的场振幅在横截面的空间分布，场振幅和波面曲率半径，附加相位沿光传播方向的变化规律是不同的。（1） 高斯光束的光斑：其实振幅部分为，在z=0的光轴处，有，可见只有当，才近似有，所以高斯光束的振幅随z衰减缓慢，体现了激光方向型好的特点。在横截面上，振幅分布呈现高斯函数，如图所示。通常定义高斯光斑的半径为振幅A衰减到是的r值，激光光学系统的孔径一般应保证为，以保证巨大部分光通过。将光斑公式略作变换为，可见随着z以双曲线函数变化。双曲线的顶点坐标为，双曲线的焦点坐标为。此公式可看作传播激光能量的光线，激光的光线不是以直线传播而是以双曲线的轨迹传播，如图所示。（2） 高斯光束的波面曲率半径：的表达式可写为，观察的变化：当z=0，在束腰处，高斯光束的波面为平面；在的范围内，有无穷大逐渐减小，当，为最小；当，逐渐增大，至，有变为平面波。可见，高斯光束可称为振幅度费均匀的变曲率中心球面波。（3） 高斯光束的发散角：发散角的定义，可见，当z=0，；当，；当并趋于无穷大时，此称为远场发散角。3.2.3 厄米特分布高阶模高斯光束矩阵孔径激光谐振腔产生横向场分布含有厄米特多项式函数的激光束。其电场表示为， 其中m,n为横模阶次，它表示厄米多项式取零值的个数，当m=n=0时，此式变为基横模。把m,n0的激光波型称为高阶模。可以证明，以横向场分布函数的最外拐点定义的高阶横模光斑半径与高斯光束光斑之间有以下关系，；发散角之间的关系为，。3.2.4 拉革尔分布高阶模高斯光束圆形孔径激光谐振腔产生的横向场分布含有拉革尔多项式银子的激光束。其电场表达式为，其中p,l为横模阶次，p表示场振幅在径向为零的节点数，l表示角向为零的节点数，当p=l=0时，此式变为基模形式。3.2.5 椭圆高斯光束椭圆高斯光束是一种象散波面激光束，当激光谐振腔内含有象散光学元件，如布儒斯特板或倾斜的透镜、反射镜等，其输出的激光束为椭圆高斯光束。半导体激光器，由折叠腔或环形激光谐振腔产生的激光为椭圆高斯光束。其电场表达式为，其中，其中和分别为光束在XOZ和YOZ平面内的束腰半径，2a为两个束腰之间的距离，坐标原点选在两束腰间距的中点。仍采用最大振幅处的横坐标为光斑半径，椭圆高斯光束的光斑半径为，可见长半轴和短半轴随z变化。由于椭圆高斯光束可以分为两个垂直平面内独立的一维高斯光束，所以其传播变换可以圆形基模高斯光束的研究方法分别在两个主截面内进行。3.2.6 高斯光束的复曲率半径，激光束变换的ABCD法则以基模高斯光束为例，设一复数，则有由此式可见，此式与球面波的公式完全类似，只是曲率半径为复数。可见基模高斯光束相当于具有复数波面曲率半径的均匀球面波光束，则表示实数曲率波半径变化的ABCD法则也可用于此处，即，A,B,C,D仍为变换矩阵元素。举例：以均匀介质内传播的情况为例，证明ABCD法则的正确性，其变换矩阵为，设基模高斯光束的束腰为，束腰处（z=0）的复曲率半径为，坐标为z处的复曲率半径为，则有实部与实部相等，虚部与虚部相等，则有，此R(z)的表达式与3.2.1中所述相同，证明了ABCD法则的正确性。为了描述光斑半径和波面曲率半径的实数变换式，将变换方程改写为，利用，简化后为，其中利用了AD-BC=1的条件。通常将光学变换的入射面和出射面选择在变换前后的束腰处，由此可以给出高斯光束变换前后束腰光斑的大小及其位置关系。令，由表达式中的分母，可写为，根据阿AD-BC=1，则有，则有则束腰光斑半径为 或 ，其中为变换前后的共焦参量，为束腰光斑。只要选定高斯光束变换前后的参考面及相应的光学变换矩阵，便可求出高斯光束变换前后的参数关系。3.3 高斯光束的光学变换3.3.1 高斯光束在均匀介质中的变换均匀介质的变换矩阵为，利用公式， ，则有，若取，即将坐标原点取在束腰处，既，则以上两式变为， 其中。若由已知的光斑半径和波面曲率半径求出束腰及其位置z，则有，3.3.2 高斯光束的单透镜变换入射面和出射面之间的变换矩阵为，注：其中采用的符号规则为，正透镜的焦距为正值，负透镜的焦距为负值，距离沿光束传播方向为正，反之为负。利用和的公式，则有，注：用到。1. 求出射光束在距透镜的截面处的光斑半径及波面曲率半径设，即薄透镜出射面的光束参数，将代入上两式，则有，可简化为， 。若讨论薄透镜对其两侧表面的高斯光束复参数的变换，设入射面的光束参数为，出射面的光束参数为，则，代入变换方程，则有，即，则可以看出高斯光束的光斑在无吸收的透镜两侧保持不变，有可以看出波面的曲率半径按几何光学规律变化。当，透镜后焦点出的光束参数，根据和的公式，应为，此公式经常用于测量激光束远场发散角。2. 求出射光束束腰的光斑半径及其位置设位于处，应用入射面和出射面皆为束腰的变换方程，则有 即 或 束腰的半径为，有以上两式还可以推导出，如图可见，几何光线的透镜变换可以看作是高斯光束在束腰的极限情况，或为的情况。高斯光束的单透镜变换有如下特点：（1） 当，则，则位于透镜前焦面的束腰经变换后位于透镜的后焦面，束腰半径为，为最大值；（2） 当，则，可见高斯光束变换后的束腰位置与几何光束不同，并非是物点趋向前焦点，而象点趋向无穷远；（3） 对于正透镜，当，即入射光的束腰位于透镜前焦点之左，则，变换后的光束束腰位于透镜后焦点之右；当，即入射光束束腰位于透镜前焦点与透镜之间，则，即变换后的束腰位于透镜后焦点之左，若，则束腰位于透镜与后焦点之间，若，则束腰位于透镜之左，即束腰为虚腰；当，即入射光束束腰位于透镜之右，为虚腰，则，变换后的束腰为实腰；（4） 在如下两中情况下可以用几何光学变换来近似处理高斯光束的变换。一是，即为长焦距透镜对小束腰光斑高斯光束的变换，或者束腰光斑距离透镜非常远时的变换；二是，此时，即为短焦距透镜对大束腰光斑高斯光束的变换，近似为平行光线入射成像，出射光束的束腰位于透镜后焦面附近，束腰半径趋于零。实际中，知道了五个参数中的三个，则可以求出其它两个，下面给出这些关系：（1） 已知，即为已知了，求其它两个参数 其中有解的条件为；（2） 若已知（或），可求出焦距为， 或 有解的条件为和；（3） 若已知（或）、，求焦距为，或 有解的条件为。以上分析仍可用于厚透镜和透镜系统。符号规则的强调：坐标的原点选在矩阵的起始参考面处，Z的正方向沿光束传播方向。正透镜的焦距为正，负透镜的焦距为负。沿光线的传播方向，发散光束的波面曲率半径为正，汇聚光束的波面曲率半径为负。3.3.3 高斯光束的望远镜激光应用中采用望远镜系统进行激光束的准直，望远镜的变换能够在短距离内实现大波面曲率半径的变换，获得近似平面波的输出。为不失一般性，将具有任意相互关系的两个透镜光学系统广义的定义为望远镜，以表示其角放大率，以表示两透镜的离焦量，以表示两透镜的间距，并将焦距长的透镜称为物镜，将焦距短的透镜称为目镜，如图所示。所讨论的问题有二，（1）出射光束空间中距物镜出射面为的截面处的光斑及波面曲率半径的变换规律；（2）出射光束束腰及其位置的变换规律。设入射光束束腰为，距目镜的入射面的距离为，由到之间的变换矩阵为，代入和的公式，则有，1. 出射光束空间中距物镜出射面为的截面处的光斑及波面曲率半径的变换规律，考虑三种特殊情况：（1），光斑半径公式可近似表示为，作为计算物镜孔径的近似公式，其中忽略了；而曲率半径公式可表示为，（2），在物镜的后焦面出的光学参量公式为，可见望远镜物镜后焦面的光斑半径恒为，与望远镜的离焦量无关。（3）若，即在目镜和物镜组成的组合光学系统的后焦面上出的光学参数为， 可见此公式与单透镜结果相似。2. 出射光束束腰及其位置的变换规律设出设光束束腰为，距物镜表面为，利用和的公式，则有，当，即目镜和物镜重焦，则有，可见变换后的光斑大小和入射光束的位置无关，激光光束经重焦望远镜变换后，其束腰光斑增大了M倍，远场发散角压缩了M倍。注：变换后的束腰位置与入射束腰位置有关。当，即望远镜离焦时，扩束比有极大值，则由公式，可得，令，代入的公式中，可得 其中定义一个新的参量K，令则以上和式可以表示为更简单的形式，有，图3.9所示的是随、或K变化的函数关系。图中横坐标的取值为的倍数。可见望远镜变换中的光束束腰光斑大小和离焦量或K有很大关系，下面给出几种和K取特殊值时，望远镜的变换特性：（1） K=0，则有代入，可有 或；根据，则有。出射束腰光斑位于物镜后焦面处。采用这种离焦应用能使望远镜的扩束比增大，当然也可以利用望远镜的调焦特性，利用离焦量的变化在最大压缩比的范围内改变实际压缩比。实际上望远镜的最大压缩比发生在物镜前焦点与经过目镜变换后的束腰相重合的时候，即。（2），则有代入和的公式，则有，变换后的束腰距物镜后焦面最远。K=1时在之左；K=-1时在之右。（3），则有代入和的公式，则有，以上讨论可用作检查望远镜是否重焦的实验方法的理论依据。用经过望远镜变换后的光束远场发散角进行判断，判据为，并任意变换的比值，其结果应保持不变。若望远镜离焦，可借助改变的比值或离焦量造成的的变化方向进行调节。3.3.4 高斯光束的聚焦用单透镜或透镜组实现高斯光束的聚焦，重写和的公式为，获得小值的有两种方法：一是采用短焦距透镜；二是增大入射光束腰半径或束腰距透镜前焦点的距离。聚焦光斑不能无限减小，至多达到光学系统最小孔径所决定的衍射极限。以单透镜为例，设透镜的通光孔径为D，将的公式变形为，式中，其中为聚焦透镜入射孔径出的光斑半径。若令，A为聚焦透镜的数值孔径，则主要的光能量的近似半径为，方括号的因子一般约等于1，聚焦透镜的数值孔径一般也小于1，所以激光聚焦能够得到的最小光斑只能达到聚焦光束的光波长量级。3.3.5 高斯光束的连续透镜变换如图所示，透镜链有两个不同焦距的薄透镜组成链的单元，透镜的焦距为，间隔为d，讨论有s个单元组成的透镜链对高斯光束的变换。一个单元的透镜链变换矩阵为，可得，由s个单元组成的透镜链的变换矩阵为，其中，其中，。设入射光束在第一个透镜单元入射面处的光束复参数为，经过s个透镜组后的光束复参数为，为有限值的条件为为实数，而为实数的条件为，。3.3.6 高斯光束在类透镜介质中的变换所谓类透镜介质即为梯度折射率介质，其变换矩阵为，高斯光束的复参数在类透镜介质中的变换规律应为，其中为高斯光束在类透镜介质内z=0的共焦参量。利用高斯光束光斑半径和波面曲率半径的公式，则有，如图3.11所示，及随z的变换规律，可见：（1），即z=0处的初始束腰光斑时，在的范围内随z减小。当时，光斑缩小为新的束腰，并有，波面在正z 方向为负，绝对值随z逐渐减小。在处，出现极小值，有；（2），即初始光斑时，随z增加而减小，沿正z方向为正，绝对值随z逐渐减小，直至极小值；（3），即入射光斑的束腰半径为时，高斯光束在类透镜介质内以恒定光斑的细光束平面波形式传播，此乃类透镜介质中独有的一种特殊传播模式。梯度折射率材料可制作平面透镜，长度为的梯度光学棒与其两端平面的光线变换矩阵为，其等效焦距为，截距为。对于折射率梯度较小的梯度棒，当所取长度也较小时，则有，则矩阵可表示为，其等效焦距为，等效截距为。这种平面梯度平面镜可等效为，如图3.12所示透镜。3.3.7 激光束的质量评价与多模激光束的传输变换（略）第四章 偏振光学矩阵补充：椭圆偏振的数学表示（注：此节所用符号与正文符号有所不同）一般的椭圆偏振光分量可一写为，则有，将代入的表达式，则有，则方程即为任意斜椭圆方程。考虑偏振电场的长短轴处为椭圆的极值点，则有，因此椭圆的轴线方向与x轴的夹角为，对两边求导得，最后可以得出关系式，（未证）可见时，椭圆的轴线方向与x，y方向一致。几种特殊的情况，水平偏振光；，竖直偏振光；，偏振方向与x轴夹角为的线偏振光；，右旋圆偏振光；，左旋圆偏振光。4.1 偏振光的第一种矩阵表示琼斯矩阵4.1.1 偏振光的琼斯矩阵表示取OXYZ右手直角坐标系，OZ为光轴方向，则单色偏振光在X,Y上的电场分量可写为，可写为复指数形式，在琼斯矩阵中，用二维列矩阵表示，其中，并有。注意，若要比较两个分量必须是在同一时间（t），同一地点（z）。由此，琼斯矩阵可以写为，一般情况下，此为椭圆偏振光，其光强为，由于应用中往往对振幅不感兴趣，可以提到矩阵之外，则有，其中，而为振幅比，。则为归一化的琼斯矩阵。当时，琼斯矩阵为，从到的过程如图所示，可见，（1） 当时，旋向为左，当，旋向为右；（2） 在时，当时，椭圆长轴方位在一、三象限，当或时，椭圆长轴方位在二、四象限；当，椭圆长轴方位在或方向上；（3） 若，则偏振为一、三象限的线偏振；若，则偏振为二、四象限的线偏振；（4） 在时，若，对应为左旋正椭圆偏振光；，对应为右旋正椭圆偏振光。4.1.2 两束偏振光的叠加在琼斯矩阵中，两束同频率、同方向的偏振光叠加，可由矩阵相加求得，在相加时要考虑两分量共同的振幅和相位，即矩阵前的系数部分。（1） 一束单位左旋圆偏振光与一束右旋圆偏振光相加，先认为两束光的绝对相位相同，则有可见合成后为一束沿X方向振动的线偏振光，若两束光有一个相位差，则有，可见，合成后为一线偏振光，偏振方向与X轴夹角为。（2）精密测定弱相位变化的实验光路。一束45度偏振的光被一个Savavt偏振分束器分为两束偏振垂直的光，并横向错开一个d，在经过“镜向”对称放置的第二块Savavt镜子，使之合成为一路光。其中在一路光中加入一个相位片，则矩阵表示式为，由此可探测光路中的微弱偏振变化。（3）一束偏振方向为45度的偏振光与一束偏振方向为-45的偏振光合成，则有合成为一个沿X方向的线偏振光，若后者较前者落后，则有，合成为一个右旋圆偏振。（4）纵向塞曼稳频激光器，输出是两个旋转方向相反的圆偏振光，两者之间有一个固定的频差，合成的光束为，合成光为一束线偏振光，偏振方向随时间旋转，旋转频率为拍频的一半。4.1.3 偏振光的分解考虑将一束偏振光分解为两个正交的琼斯矢量。正交琼斯矢量：两个琼斯矢量满足，称为正交琼斯矢量，若每个矢量的强度为，称为正交归一琼斯矢量。例如：（1）笛卡尔基矢量对，；（2）左旋圆偏振基矢和右旋圆偏振矢量，。一个琼斯矢量可以分解为， 或 还可以用左旋圆偏振基矢和右旋圆偏振矢量进行分解，其中表示逆时针转动的单位电矢量，当t=0时，其位置与X轴平行，用复振幅和其相乘，表示矢量强度为，不再是1，并且t=0时，该矢量与X轴有一个夹角；表示顺时针转动的单位电矢量，当t=0时，其位置与X轴平行，用复振幅和其相乘，表示矢量强度为，不再是1，并且t=0时，该矢量与X轴有一个夹角。用这两个矢量进行叠加，仍可以分解任意偏振态的琼斯矢量，则有， 或者 ，（其中称为笛卡尔琼斯矢量，称为圆琼斯矢量），其中。可以推得逆变换矩阵，由于，所以F是酉矩阵。用圆琼斯矢量来计算波的强度， 。研究一般情况，任意选取两个不正交，不归一的椭圆振动和作为基矢，可以将笛卡尔琼斯矢量表示为和的线性组合，为调节的复振幅。分别在XY轴上的分量为。与的变换矩阵为，称为广义琼斯矢量，是以作为偏振基矢的琼斯矢量，变换矩阵为，其逆变换矩阵为，当为正交归一矩阵时，则有，并满足，变换矩阵可以写为，可见，F是酉矩阵，则强度可表示为，。4.1.4 坐标系旋转引起的琼斯矩阵的变化如图，将坐标系沿原来的坐标系旋转一个角度，则有，写为矩阵形式，有，其中。若把新坐标投影到旧坐标，则为，则有，可见，可见为酉矩阵。用新坐标下的琼斯矢量求光的强度，4.1.5 椭圆偏振光的两种表示方式及相互转换（1） 第一种表示方式其中，为椭圆率，b为短半轴，a为长半轴，右旋向则符号为“+”，左旋向则符号为“-”，的定义域为，为右旋，为左旋，由于，所以以X轴恒为长轴，此乃长轴位于的正椭圆态，若，则均大于零，所以超前于分量，是右旋偏振；若，则，所以落后于分量，是左旋偏振。说明相对于逆时针转过的角度，即椭圆长轴相对于轴逆时针转过的角度，的定义域为。（2） 第二种表达法其中为y分量与x分量的振幅比，定义域为恒大于零。当时，为X偏振，当时，为Y偏振，当时，。，是y分量超前于x分量的相位差，的定义域为，当，X轴为快轴，为左旋偏振；当，Y轴为快轴，为右旋偏振。（3） 两种表达法的关系1. 已知求解要进行比较，先注意在的表达式重要考虑的项，则有则有，比较实部与虚部， 上下相除为， 则有，即此为由计算的公式。注意到，由于光的能量没有改变，则有，又有 则有 现在求导由计算的公式，由公式，两边取模方，则有，两式相减则有，则从计算的公式为，的唯一性分析：判断的取值，若，可以取一、三象限，若，可以取二、四象限；再观察偏振的旋向，若是左旋，则，应取三、四象限，若是右旋，则，应取一、二象限，可以同时满足的是唯一的。判断的取值，若，则可以取二、三象限，若，则可以取一、四象限，但由于的定义域为，所以不存在双值解。2. 已知求解即 ，或者 ，又有，即，或者 则从计算的公式为，的唯一性分析：判断的值，若，则在一、二象限，又因为，所以取第一象限；若，则在三、四象限，又因为，所以取第四象限。另一种方法为，若，则为右旋偏振，若，则为左旋偏振，。计算出，便可由，计算出，根据和的值，便可以唯一的确定出，满足的定义域。4.2 琼斯矩阵在偏振光学中的应用4.2.1 双折射介质的琼斯矩阵考虑一个单轴双折射介质，两个主方向为，认为为晶体光轴方向，入射光为，出射光为，则有，其中，此乃v分量落后于u分量的相位，o光是寻常光，其方向与晶体光轴垂直，e光是非常光，其方向与晶体光轴平行，对于负晶体，对于正晶体，忽略共同的相位因子，则变换矩阵可写为，表示快速方向位于u方向的双折射琼斯矩阵。为了处理一般情况，考虑双折射晶体主轴与X偏振方向有一个夹角，如图所示。为了计算介质的作用，先把入射光的分量转换到系中去，然后利用变换矩阵求得系中的出射分量，在变换到系中，则由其中简写为，其中。举例：1.一个X偏振光，通过快轴在45度方位的1/4波片后的出射光。 此乃一个右旋圆偏振光。2. 一个偏振方向为的线偏振光，通过一个主轴于X轴平行的1/2波片。，略去共同的相位，则有，为一个与原来偏振方向对称于X轴和Y轴的先偏振光。表4.2表示了各种偏振光学元件的琼斯矩阵，其波片是按快轴（u方向）的方位于OX轴之间的夹角值与相位差值代入公式计算的结果。4.2.2 二向色性介质与偏振器的琼斯矩阵考虑二向色性介质，设和分别为非常光和寻常光的消光系数，设光轴方向为u，厚度为d的介质，琼斯矩阵为，其中，为非常光和寻常光的吸收率，为正二向色性，为负二向色性。若，则琼斯矩阵为，即为X轴的偏振器。若偏振器与X轴有夹角，则琼斯矩阵为，。4.2.3 旋光介质的琼斯矩阵旋光介质，当线偏振光通过时，偏振方位转过了一个角度；椭圆偏振光通过时，椭圆长轴转过了一个角度，而椭圆的形状与转向不变，即的大小和正负皆不改变，如图所示。当旋光角为正值时，意味着逆时针转过了一个角度，d是晶体厚度，a是比例旋光系数。其琼斯矩阵为， 或者 4.2.4 斜反射型光学元件的琼斯矩阵如图所示，一束光入射到一个介质面上，设入射光的电场矢量平面平行于入射面的分量为p，垂直于入射面的分量为s，其琼斯矢量为，其中，有菲涅尔公式可得，其中，为入射角和折射角，为入射方和折射方的折射率。若在基底介质平面上有一层玻璃，考虑到多次反射而产生的多数光的干涉，如图所示，则有，4.2.5 正全反射对偏振态及其变换的影响本节讨论两个问题，一是正反射镜对偏振光的琼斯矩阵的影响，二是偏振光正反射后通过偏振元件时其琼斯矩阵有什么变化。（1） 偏振光正反射后，若反射前后坐标系和的指向不变，则三维坐标系由右手系变为左手系，设反射前为，反射后为，二者振幅和相位的变化均一样，所以有，例如，一个线偏振光，反射前是一、三象限，反射后还是一、三象限，注意此时所说的一、三象限还是原来角度的观察，而不是面对光的角度。若一个左旋圆偏振光，反射后它还是左旋的，注意，这里所说的“左旋”是指按至的转向，“右旋”是指按至的转向。（2） 对于正反射后的偏振光，偏振器和双折射介质的琼斯矩阵没有变化，因为和没有变，所以偏振器和双折射介质在（X,Y）中的方位角没有变。对于自然旋光介质，反射后琼斯矩阵中的要变为，因为要保证偏振光正逆向通过自然旋光介质其偏振态保持不变，对于感生旋光器（法拉第旋光器），其琼斯矩阵不变，正逆向通过则旋光角加倍。4.2.6 圆琼斯矩阵及广义琼斯矩阵在笛卡尔坐标中，认为入射光，出射光，变换矩阵为，则有，现在把正交基（X,Y）换为任意椭圆偏振态（U,V），则有，则有，其中，分别为笛卡尔琼斯矩阵和广义琼斯矩阵，特例，对于圆琼斯矩阵，左旋圆偏振态和有旋圆偏振态作为入射和出射的基矢，则有，其中，例如，某一旋光笛卡尔琼斯矩阵为，在圆琼斯矩阵中表示为，为旋光角，此式表明左旋圆偏振超前右旋圆偏振分量的相位角为，变换方程可写为，可见，双折射介质对X,Y两线偏振光的传播速度不一样，二者有一个相位角，而旋光介质是对左、右圆偏振光传播速度不一样，二者之间的相位差角式旋光角的两倍，此为菲涅尔旋光理论的数学证明。4.2.7 偏振光合成与分解的六种特殊情况法则一：两束相位相同或相反的线偏振