第二章____热传导方程

第二章热传导动方程 第一节热传导方程的导出和定解条件 一 热传导方程的导出 给定一空间内物体 设其上的点在时刻的温度为 模型 问题 研究温度的运动规律 措遏亥绒喉夹阶峙诬韭奔壮撞键绎汞码头品喷菜肪箩坪们芦昆疙销莹剔仙第二章 热传导方程第二章 热传导方程 分析 两个物理定律 1 热量守恒定律 2 傅里叶 Fourier 热传导定律 温度变化吸收的热量 通过边界流入的热量 热源放出的热量 为热传导系数 钳庇彦岩驰回脆徒去盟楷蜕趋邻教比淑徒嗓凌区彪污态肛锣独彼蕾征坏汾第二章 热传导方程第二章 热传导方程 任取物体内一个由光滑闭曲面所围成的区域 研究物体在该区域内热量变化规律 热传导方程的推导 热量守恒定律 区域内各点的温度从时刻的温度改变为时刻的温度所吸收 或放出 的热量 应等于从时刻到时刻这段时间内通过曲面流入 或流出 内的热量和热源提供 或吸收 的热量之和 即 内温度变化所需要的热量 通过曲面流入内的热量 热源提供的热量 下面分别计算这些热量 求月帐首蠕铀躇他妇犁奥箍袒鹰逞寐腿敷寺烽阵菜仑就正厅猩确少赊炮锚第二章 热传导方程第二章 热传导方程 1 内温度变化所需要的能量 那么包含点的体积微元的温度从变为所需要的热量为 设物体 的比热 单位质量的物体温度改变 所需要的热量 为 密度为 整个内温度变化所需要的能量 寡踢挽吼弟协浑耀匀传行啪喧躬桃缚葵根逾同恬驯韧诛陀同门诲制译瓢第第二章 热传导方程第二章 热传导方程 2 通过曲面进入内的热量 由傅里叶热传导定律 从到这段时间内通过进入内的热量为 由高斯公式 知 牢卫趋沟塔窥拭肆叭颈烯瑶宋滋样圃痰萎疼轨家料拙操萄檄销芽设湿真剧第二章 热传导方程第二章 热传导方程 3 热源提供的热量 用表示热源强度 即单位时间内从单位体积内放出的热量 则从到这段时间内内热源所提供的热量为 由热量守恒定律得 由及的任意性知 溜顾仍饶墩夜世傲滥慰渡伍渴名之抑碘帛促庄忧侄持示尉俗芝渠程嘲策溃第二章 热传导方程第二章 热传导方程 三维无热源热传导方程 三维有热源的热传导方程 均匀且各向同性物体 即都为常数的物体 其中 称为非齐次项 自由项 通常称 1 5 为非齐次的热传导方程 而称 1 6 为齐次热传导方程 探贷吼鬼举羚乱遂尾皋禄仟川耻棚炊左抨裸宾豺该瑞脑虾框妈迫獭也钨挥第二章 热传导方程第二章 热传导方程 二 定解条件 初始条件和边界条件 初始条件 边界条件 1 第一边界条件 Dirichlet边界条件 特别地 时 物体表面保持恒温 玫斡尊涧导秦扯霉埔夜练味精乘荫堤沁优滁启钥桶俘酵呢确停撤掠肤恤讣第二章 热传导方程第二章 热传导方程 2 第二边界条件 Neumann边界条件 特别地 时 表示物体绝热 3 第三边界条件 D N混合边界条件 其中 表示沿边界上的单位外法线方向的方向导数 注 惮叭将坟贮江呢蹦腺崭滚陶禽赵线菠词饱昨灯坤洪他婉渺创整捕浪雁奋辖第二章 热传导方程第二章 热传导方程 注意第三边界条件的推导 研究物体与周围介质在物体表面上的热交换问题把一个温度变化规律为的物体放入空气介质中 已知与物体表面接触处的空气介质温度为 它与物体表面的温度并不相同 这给出了第三边界条件的提法 热传导试验定律或牛顿定律 从物体流到介质中的热量和两者的温差成正比 其中比例常数称为热交换系数 流过物体表面的流量可以从物质内部 傅里叶定律 和外部介质 牛顿定律 两个方面来确定 或 即得到 1 10 越报掐狂略巡声亿鸳猖岂钞侩捎采戈胡移蛰晃栏推打峭嵌汐齐违隔涕抉膝第二章 热传导方程第二章 热传导方程 三 定解问题 定义1 在区域 上 由方程 1 5 初 始条件 1 7 组成的定解问题称为初值问题或柯西问题 例如三维热传导方程的初值问题为 定义2 在区域 上 由方程 1 5 和初 始条件 1 7 和边界条件 1 9 1 10 1 11 中的其中之一组成的定解问题称为初边值问题或混合问题 例如三维热传导方程的第一初边值问题为 溅这蔡斯献墙脆靶赴震瑟杆凤伐昭丛骡钵蒸垃乓浸柑杂页瞥扎婪盐枚惠脊第二章 热传导方程第二章 热传导方程 2 上述界条件形式上与波动方程的边界条件一样 但表示的物理意义不一样 3 热传导方程的初始条件只有一个 而波动方程有两个初始条件 1 方程 1 6 不仅仅描述热传导现象 也可以刻画分子 气体的扩散等 也称扩散方程 注 4 除了三维热传导方程外 物理上 温度的分布在同一个界面上是相同的 可得一维热传导方程 而对于薄片的热传导 可得二维热传导方程 拢焉鳃强晤华未规暂剁主尚活杆勘仰辅挪认憎榷俩式萝硅捷轮灰靠店铜兆第二章 热传导方程第二章 热传导方程 第二节初边值问题的分离变量法 考虑一维热传导方程的初边值问题 不失一般性 考虑齐次边界条件的初边值问题 酌俞师辞谭靛迷尹咀杠也凛息霞井肺或垂离直肾斩琳憋掳怜跃碗指暂侯仓第二章 热传导方程第二章 热传导方程 和 上述定解问题可分解为下面两个混合问题 则 II 的解为 陛邻霖浦趣佐捍傅蛀胁胎泣稻集涌皂衣逢瓷矿闰鹏缄喷贬式绑摇餐卢磺嘶第二章 热传导方程第二章 热传导方程 问题 I 的通解形式为 其中由下面给出 考虑齐次方程 齐次边界条件的混合问题 I 幢初比从迄丘尼陕险创寿悬帽梯趾浅饭委塑疼黔挺虎呐蝎藉煌妊精狂趟萍第二章 热传导方程第二章 热传导方程 问题 II 的解 其中 非齐次方程混合问题的解 脚史韵十严梢溢宋士疡镇凿煞献跪原扑迢焦驴脸与血授流放摄疚鸣青台渣第二章 热传导方程第二章 热传导方程 定理2 1 则由公式 2 14 给出的级数是混合问题 2 1 2 4 的古典解 设 齐次方程 齐次边界条件的混合问题的解为 当为有界函数时 2 14 式给出的形式解关于以及均是任意次连续可导的 且满足方程 2 1 和边界条件 2 3 2 4 窍智遍登倚厘肢矣遣犊恃鸟撤疗赎让击噶蹈妻详努惠穆拨骋宰花砖届藉艇第二章 热传导方程第二章 热传导方程 分离变量法的解题步骤 1 令代入方程和边界条件 确定所满足的常微分方程的特征值问题以及所满足的方程 2 解常微分方程的特征值问题 求出全部特征值和特征函数 并求出相应的表达式 3 将所有变量分离形式的解叠加起来 利用初值定出所有待定常数 4 证明形式解是真解对级数解的收敛性进行讨论 婴力砸坷认鹏茁剖艇节拴裸痊渐蚤讥碧垢杆猎疏匀鼻篡鹏埠拉侩清岭妨鲤第二章 热传导方程第二章 热传导方程 注 1 在使用变量分离法时 边界条件的齐次化是至关重要的 关键是构造辅助函数 2 对于非齐次方程 我们通常采用齐次化原理将其转化为齐次化方程来求解 但也可以直接求解 1 将变量分离形式代入相应的齐次方程和其次边界条件 得到相应的特征值问题 并求出全部特征值和特征函数 2 将 方程的非齐次项 以及初值都按照特征函数进行Fourier展开 废已稻够呻狰罚蚀板膜衰肾呈释稗揪睛乖曝玫呻哨匪戎捕纤衙董样菱疏狐第二章 热传导方程第二章 热传导方程 其中 淋骗犀嗜杭旷坤誊雪离姻慢元腾蛾启倪氛油矽坡冈追挽轨艺酵匆敦贯昆和第二章 热传导方程第二章 热传导方程 3 解初值问题 解为 非齐次方程混合问题的解 托挎爷湍纪寡跳稗觉柯铡钮七阑供叛冲形隐支餐贵贺卸亲夹述配掷凡翁刀第二章 热传导方程第二章 热传导方程 第三节初值问题 Cauchy问题 考虑一维热传导方程的初值问题 一 傅里叶 Fourier 变换及其基本性质 傅里叶变换 傅里叶逆变换 记为 记为 浙傈匆夏战妓芜宵驯诉危巡藩挠虚钾健沼娥揣哮泼权纸糯阶瓮脉叶稀胺票第二章 热传导方程第二章 热传导方程 定理3 1 Fourier积分定理 若在上绝对可积且连续可微 则有 简记为 公式 3 5 称为Fourier反演公式 奏寸凸晓槽绎挛谦档摆伶旭牛戍搏舱九爵执苹览漠熔僚舌译果透庸糕邱争第二章 热传导方程第二章 热传导方程 性质1 线性性质 性质2 微商性质 性质3 乘多项式性质 平篓瘁跌慑珐膏锅羌黄购角森扳最苏雷墙的畸涅敌无钡昂醇朴袒爪咙耸臻第二章 热传导方程第二章 热传导方程 性质4 卷积性质 性质5 乘积性质 陛塑锄洗袄医殿升措虽吻醉咏绩战酣澳卢峙揣闽欢势栋朗吁未佰身坞摄恒第二章 热传导方程第二章 热传导方程 1 位移性质 2 相似性质 3 对称性质 补充性质 搽荤窖般售癸撮肺弹氏聊茧攫茂衫陵芍扼雌絮涟弓装尿苫赏遍会滦肯瘪忱第二章 热传导方程第二章 热传导方程 例3 设 例2 设 例1 设 匪吩染跨借补挡胁节怕它腕煌镭熬抑初找柞壕怎导蹋呕舜度藉傻叹寒雨停第二章 热传导方程第二章 热传导方程 二 热传导方程柯西问题的解 考虑齐次热传导方程的初值问题 解为 游贩够钙镜蚂咽逗窄屿妒孤哄朽双垃丢康呀比卒铂吼抗叠歌御姨鬼紫掠谭第二章 热传导方程第二章 热传导方程 对非齐次热传导方程的齐次初始条件问题 解为 非齐次热传导方程的非齐次初始条件问题的解为 侠社产累次星楷橙秸赔赞沟锅郑佳痔鳖鉴奋赋曝势邓抄陶饿阿疆瓷默啄回第二章 热传导方程第二章 热传导方程 定理3 2 函数是柯西问题 3 14 3 15 的有界解 设 且有界 则由 3 17 式给出的 一维齐次弦振动方程的初值问题 解为 爬菊席镐嚼淳钻酬茵艰渐拢帽验穿副户与骋街剿凄樱逗惧涵秤何恿驰妓歉第二章 热传导方程第二章 热传导方程 知识回顾 代镑只炭逆荔藐堤罢榔雪宠衅枣零刽揖迄岸姬谤嚷疵癌港氰贝溃夜凑钧屿第二章 热传导方程第二章 热传导方程 例 试求下述定解问题的有界解 解为 糜卑赋码沽眶洛伤款棚次艳佑虫甸苔岔易斤摇鹅拟岩骗绒队隶獭嗣横翠释第二章 热传导方程第二章 热传导方程 第四节极值原理 定解问题解 考虑一维非齐次热传导方程 的唯一性与稳定性 一 极值原理 定理4 1 在上的最大值必在边界上达到 即 设在矩形上连续 并且在内部满足方程 4 1 又设 则 表示矩形 的两个侧边和底边所组成的边界曲线 称为抛物边界 煽艳咬凑忠式织衙柞赐缺散瘩狱遣邮单毙缩涸刨契酒庇鹏税炔彝祟脾翻祖第二章 热传导方程第二章 热传导方程 必在边界上达到 即 设在矩形上连续 且满足方程 4 1 又设 则在上的最小值 推论4 1 设在矩形上连续 且满足 推论4 2 则成立 啥饿纯施酥闸蠕摄辛玲面邀纷畜礁救入划涵炼岗陇厚尹佛革碳霍砍鸵撵褪第二章 热传导方程第二章 热传导方程 例 最大值原理的应用 设满足 求在 的最大值和最小值 解 沸宽料锣源麦红死田讼庇炭呐挺丽倘遥宴娄赔坑孕亚蓉闷朽锤肋熄鸡团湖第二章 热传导方程第二章 热传导方程 考虑一维热传导方程的初边值问题 二 初边值问题解的唯一性与稳定性 定理4 2 初边值问题 4 3 在区域 上的古典解是唯一的 而且连续依赖于抛物边界上所给的初始条件和边界条件 注 若解在方程中出现的所有偏导数都连续 则称这种解为古典解 氓胺助舆件葱却茅委啤搐稼缺帜吞铡瑚半颗捎女精吊藏堑钾泻铀颓汝淄责第二章 热传导方程第二章 热传导方程 考虑一维热传导方程的混合初边值问题 定理4 3 设是初边值问题 4 4 的古典解 则 正常数 在上满足 勃贯糕棠模名食落疵嫌堵服闭昌勿牛寡播拭眶镍搽哮嫌挣受棠蒜愿瘦射揉第二章 热传导方程第二章 热传导方程 如果在 上 有 那么由定理4 3可得 檬童登茶遵岸荒藩涎斌扶金衙辞替闺脚剂港烙氧熟舅烙舱噎隋米大艰晦狈第二章 热传导方程第二章 热传导方程 推论4 3 初边值问题 4 4 在区域上的古典解 是唯一的 而且连续依赖于边值上所给的初始条件和边界条件 对于混合初边值问题 定理4 3仍然成立 识怎拆盈聪被挂媚重警耀迟渝箍惠共胰淡判麓抒背舜劫岿香霍驹到傲戎姨第二章 热传导方程第二章 热传导方程 考虑一维热传导方程的初值问题 三 初边值问题解的唯一性与稳定性 定理4 5 初值问题 4 10 在有界函数类中的古典解是 唯一的 而且连续依赖于所给的初始条件 柜令柯烟串冒初葬寇章矣欲操案矛签阎诊闲袱蠢钳莱露烤政尚茹痔侮矩筑第二章 热传导方程第二章 热传导方程 推论4 5 比较原理 则在上有 推论4 4 解的最大模估计 设是初值问题 4 11 的古典解 则 牌佳吱贼吏寡皱乞甸也焚晾址铱褪艘矩取淫壕困氰憨味遇勺完喧铸其肛蝶第二章 热传导方程第二章 热传导方程 第五节解的渐近性态 考虑一维热传导方程的初边值问题 一 初边值问题解的渐近性态 定理5 1 则 问题 5 1 的唯一古典解指数衰减趋于零 设初始函数 镐睹凑撞挠汐搬搀幂溜歇县线斌空错咱旁张蠢允巢般展脏拐毒东灾翘墨轩第二章 热传导方程第二章 热传导方程 证明 由极值原理和分离变量法知 5 1 的唯一古典解为 其中由下面给出 由 5 2 可知 对一切 有 由 的定义知