结构力学第五版 李廉锟 第九章渐近法

9 1概述 直接解法 解联立方程 超静定结构的两种基本方法 力法 位移法 渐近法 联立方程 数学渐进解法 迭代法 不建立方程 人为约束受力状态 逐步调整 收敛于真实状态力矩分配法 无结点线位移刚架和连续梁无剪力分配法 特殊的有结点线位移刚架理论基础 位移法 结点位移 逐次调整 解题方法 渐近法 由荷载直接计算杆端弯矩不建立方程 适于手算 力矩分配法的正负号规定 力矩分配法的理论基础是位移法 故力矩分配法中对杆端转角 杆端弯矩 固端弯矩的正负号规定与位移法相同 即都假设对杆端顺时针旋转为正号 另外 作用于结点的外力偶荷载 作用于附加刚臂的约束反力矩 也假定为对结点或附加刚臂顺时针旋转为正号 力矩分配法的应用条件 理论基础 位移法 计算对象 杆端弯矩 计算方法 通过增量调整修正 逐步逼近真实状态 适用范围 连续梁和无侧移刚架 转动刚度表示杆端抵抗转动的能力 它在数值上等于使杆端产生单位转角时需要施加的力矩 其值与杆件的线刚度i EI l及远端的支承情况有关 1 转动刚度 劲度系数 转动刚度 A端一般称为近端 B端一般称为远端 9 2力矩分配法的基本原理 1 名词解释 转动刚度 转动刚度 转动刚度 思考 2 传递系数C 近端转角所施力矩对远端的影响远端固定C 0 5远端铰支C 0远端滑动C 1 CAB MBA MAB即 MBA CAB MAB 远端固定时 远端铰支时 远端定向时 C 1 2 C 0 C 1 与远端支承情况有关 3 分配系数设A点有力矩M 求MAB MAC和MAD 如用位移法求解 于是可得 分配弯矩 MAB MBA MBC MABF MBAF MBCF MB 0 最后杆端弯矩 MBA MBAF MBC MBCF MAB MABF 然后各跨分别叠加简支梁的弯矩图 即得最后弯矩图 一 单结点连续梁的力矩分配法 i 2kN m 附加刚臂 确定基本体系 固定刚臂 计算固端弯矩 结构无结点转角位移时 交汇于结点各杆固端弯矩的代数和 称为该结点的不平衡力矩 并规定顺时针转向为正 20kN A C B i MB 一 单结点连续梁的力矩分配法 i 2kN m 20kN A C B i 放松刚臂 计算刚臂转动Z1时结点的反力矩R11 计算转角Z1 一 单结点连续梁的力矩分配法 i 2kN m 20kN A C B i 力矩分配 由于 一 单结点连续梁的力矩分配法 力矩传递 由于转角Z1引起的远端弯矩称为传递弯矩 有 计算最终杆端弯矩 作最终弯矩图 固定 计算固端弯矩和结点不平衡力矩 计算分配系数 i 2kN m 20kN A C B i 放松 计算分配弯矩 计算传递弯矩 叠加 计算最终杆端弯矩 画弯矩图 单结点连续梁的力矩分配法小结 荷载作用下的杆端弯矩 由载常数表查得 将结点的不平衡弯矩改变符号 乘以交汇于该点各杆的分配系数 所得到的杆端弯矩称为该点各杆的分配弯矩 将结点的分配弯矩乘以传递系数 所得到的杆端弯矩称为该点远端的传递弯矩 杆端固端弯矩 全部分配弯矩和传递弯矩的代数和即为该杆端的最终杆端弯矩 固定状态下交汇于结点各杆固端弯矩的代数和 称为结点的不平衡弯矩 例1 用力矩分配法作图示连续梁的弯矩图 1 B点加约束 MAB MBA MBC MB MBA MBC 150 150 90 2 放松结点B 即加 60进行分配 60 设i EI l 计算转动刚度 SBA 4i SBC 3i 分配系数 0 571 0 429 分配力矩 34 3 25 7 17 2 0 3 最后结果 合并前面两个过程 0 571 0 429 150 150 90 34 3 25 7 17 2 0 167 2 115 7 115 7 0 167 2 115 7 300 90 M图 kN m 计算固端弯矩和结点不平衡力矩 计算分配系数 例9 1 计算分配弯矩 计算传递弯矩 计算杆端弯矩 画弯矩图 AB AC AD 传递弯矩 0 9 3用力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架 概念 多结点 逐次对每个结点运用单结点的基本运算以连续梁为例 说明力矩分配法 约束 放松 再约束 再放松 逐次渐近真实状态的 具有多个结点转角的多跨连续梁 1 先将所有刚结点固定 计算各杆固端弯矩 2 轮流放松各刚结点 每次只放松一个结点 其他结点仍暂时固定 这样把各刚结点的不平衡力矩轮流进行分配与传递 直到传递弯矩小到可略去时为止 这种计算杆端弯矩的方法属于渐近法 只需依次对各结点使用上述方法便可求解 步骤 3 最后累加固端 分配和传递得结果 例 用力矩分配法计算图示的三跨连续梁的内力 EI 常数 解 1 首先引用刚臂将两个刚结点1 2固定 2 计算结点1 2处各杆端的分配系数 结点1的分配系数为 结点2的分配系数为 3 计算固端弯矩 4 计算结点的不平衡力矩 结点1的不平衡力矩为 结点2的不平衡力矩为 5 按轮流放松结点 进行弯矩分配与传递 固端弯矩MF 结点 分配传递 结点 分配传递 结点 分配传递 结点 分配传递 结点 分配传递 结点 分配传递 结点 分配传递 结点 分配传递 最后弯矩 150 150 75 75 386 289 0 193 96 5 96 5 48 2 48 2 27 5 20 7 13 8 6 9 6 9 3 4 3 4 1 9 1 5 1 0 0 5 0 5 0 2 0 2 0 1 0 1 6 计算杆端最后弯矩最后 将各杆端的固端弯矩和历次所得到的分配弯矩和传递弯矩总和加起来 便得到各杆端的最后弯矩 根据各杆杆端的最后弯矩作弯矩图 略 本节叙述的方法同样可适用于无结点线位移的刚架 力矩分配法的基本步骤 计算分配系数 根据位移法原理 在刚结点处附加刚臂 由各杆的相对线刚度和远端支承情况确定转动刚度并计算分配系数 计算固端弯矩和结点不平衡力矩 叠加法计算最后杆端弯矩 根据最后杆端弯矩画弯矩图 弯矩的分配与传递 逐个循环放松或固定相应的结点使力矩平衡 每平衡一个结点时 按分配系数将该结点的不平衡力矩反号分配于各杆端 然后将各分配弯矩乘以传递系数 传递至远端 将上一步骤循环应用直至分配弯矩减小到规定值为止 上述步骤可应用于无结点线位移的连续梁和刚架 分配和传递可从任意一点开始 前述从不平衡力矩最大点开始 经验证明这样可加速收敛 由弯矩分配法思路可知 对多结点问题它是一种逐渐逼近精确解的近似方法 因为分配系数小于1 传递系数也小于1 因此一轮分配 传递后 新的不平衡力矩一定比原来的小 理论上经过无限次分配 传递结构一定达到平衡 也即可以获得问题的精确解 实际应用时 一般只进行二 三轮的分配和传递 例9 3 对称结构 取半跨 无剪力 滑动支座 i EI 8 1 iij 8 3120 84s 84883 24 解 例1 6kN m 20kN A C B EI EI 用力矩分配法画弯矩图 计算固端弯矩和结点不平衡力矩 计算分配系数 分配和传递 计算最终杆端弯矩 画弯矩图 解 例2 用力矩分配法画弯矩图 i 40kN A C B i 55kN m 计算固端弯矩和结点不平衡力矩 计算分配系数 分配传递 计算最终杆端弯矩 画弯矩图 解 例3 画弯矩图 计算固端弯矩 计算分配系数 分配传递 计算杆端弯矩 画弯矩图 画弯矩图 解 例4 解 画弯矩图 例4 解 例5 画弯矩图 计算分配系数 计算固端弯矩和结点不平衡力矩 分配和传递 计算杆端弯矩 画弯矩图 解 分配和传递 例6 用力矩分配法画弯矩图 杆端弯矩 22 8 0 10 06 25 5050 25 2 4 4 2 8 169 0 64 1 280 72 0 16 0 32 0 32 0 16 45 754 340 2 40 2100 100 解 说明 计算C点的分配系数 MUCD向外传递时 D点按铰支 25 5050 2516 7 33 3 解 杆端弯矩 22 84 0 10 06 2 4 4 2 8 169 0 0 64 1 280 72 0 16 0 32 0 32 0 16 45 6854 3240 2240 22100 100 M图 kN m 说明 计算C点的分配系数 MUCD向外传递时 D点按固支 解 例7 用力矩分配法画弯矩图 计算固端弯矩和结点不平衡力矩 计算分配系数 分配和传递 计算最终杆端弯矩 画弯矩图 40kN m 100kN B D i 1 A C i 1 i 2 15kN m 解 MC 10kN m M图 kN m 解 例8 画弯矩图 例9 画下列两刚架的弯矩图 a b 解 a 为画有两个刚结点的无侧移刚架 b 可以由对称性取半刚架计算 其中i1 i2值为相对线刚度 解 a b 解 例9 画下列两刚架的弯矩图 a b 力矩分配法小结 1 单结点力矩分配法得到精确解 多结点力矩分配法得到渐近解 3 进行力矩分配时 相邻结点不可同时放松 应逐个放松 传递 当结点较多 大于3个 时 可以同时放松所有的不相邻结点 以加快计算过程 4 力矩分配法是一种增量渐近法 精度可以控制 一般当传递力矩达到固端弯矩的5 以下时 即可终止计算 不再传递力矩 2 力矩分配 放松结点 过程宜从结点不平衡力矩大的结点开始 可加快收敛速度 且不平衡力矩要变号 无侧移刚架 基本未知量只含结点角位移 力矩分配法 求解无侧移刚架 有侧移刚架 基本未知量含有结点线位移 1 概述 1 两类刚架 2 两类解法的用途 无剪力分配法 求解符合某些特定条件的有侧移刚架 9 4无剪力分配法 对于有侧移的一般刚架 力矩分配法并不能单独解算 而必须与位移法联合求解 由于这样作并不简便 因此已很少采用 但是 对于工程中常见的符合某些特定条件的有侧移刚架 根据力矩分配法的基本原理 提出了一个非常适用的手算方法 即无剪力分配法 它可以看作是力矩分配法的一种特殊情况 该方法可极为简便地应用于计算在水平荷载作用下的单跨多层对称刚架 2 无剪力分配法的应用条件 a 半刚架 b 柱剪力图 1 水平梁 两端无相对线位移 2 柱 剪力可由静力平衡求出 剪力静定柱 柱两端虽有侧移 但其剪力可根据静力平衡条件直接求出 满足条件才能用无剪力分配法解 考察特殊的半刚架 例 满足条件 竖柱AB CD不是剪力静定杆件 不符合无剪力分配法的应用条件 仅梁有轴力FP 3 解题思路 零剪力杆 等效图 求固端弯矩 查表 最后弯矩 柱侧移端修正为滑动查表求解 柱远端修正为滑动力矩分配法求解 等效图虽有侧移 但侧移不产生弯矩 故可用力矩分配法 因柱的剪力为零 故称无剪力分配法 例1 试求作图示刚架的弯矩图 解 梁BC无相对线位移 杆AB为剪力静定柱 可采用无剪力分配法 1 固端弯矩 柱AB 柱B端修正为滑动 杆BC B端固支C端铰支 2 转动刚度 分配系数 传递系数CBA 1 柱远端A修正为滑动 3 力矩分配法计算图表 无剪力分配法的基本步骤 下面以图 a 所示刚架为例说明无剪力分配法的基本步骤 由静力平衡条件计算竖杆剪力 转化成图 b 所示的等效刚架 显然有FS1 F1和FS2 F1 F2 取图 b 所示系统为研究对象计算固端弯矩 其中AB和BC均可看作一端固定一端定向支承的杆件 而BD和CE可看作是一端固定一端铰支的杆件 注意 由于各竖杆都是定向支承杆 杆端虽的水平侧向位移 但不影响竖杆内力 因此对于图 b 所示等效刚架中的侧向位移可不作为基本未知量 这是无剪力分配法的根本所在 无剪力分配法的基本步骤 注意区分剪力静定杆的滑动端与固定端 注意剪力静定杆上除承受本层荷载外 杆顶端还承受上层传来的剪力 根据计算结果作结构的弯矩图 按无侧移刚架力矩分配法计算分配系数 分配弯矩 结点不平衡力矩 传递弯矩 并进行分配和传递计算最后杆端弯矩 无剪力分配法只适用于结构中有线位移杆件的剪力是静定的一类结构 或者当结构中除无侧移杆件外 其它杆件的剪力都能由静力平衡条件确定时才能应用 无剪力分配法的应用条件 例2 试求作图示刚架在水平力作用下的弯矩图 1 固端弯矩 柱侧移端修正为滑动 下柱 上柱 4 8 5注意 仅梁有轴力 2 分配系数 柱远端修正为滑动 汇交A结点 B滑动 汇交B结点 A C滑动 3 力矩分配法计算图表 半刚架图 梁长度减半加倍 解 例 画弯矩图 杆侧圆圈内为杆件的相对线刚度 计算竖杆剪力 显然有FS1 20kN和FS2 40kN 计算固端弯矩和结点不平衡力矩 计算分配系数 解 列表进行分配传递 求杆端弯矩 M图 kN m 画弯矩图 例9 4 用无剪力分配法计算图示刚架 1 固端弯矩 2 分配系数 3 力矩分配与传递 例题试用无剪力分配法计算图示刚架 绘M图 4 绘制最终弯矩图 M图 单位 kN m 剪力分配法的本质及其适用范围 剪力分配法是计算承受水平结点荷载的刚架内力的一种实用算法 它假定刚架横梁为无限刚性 即不计刚性结点转动的影响 只考虑结点的侧移 从而使位移法的计算大为简化 即 剪力分配法的适用范围为 刚性横梁的排架或刚架承受水平结点荷载 9 5剪力分配法 实际工程中 横梁不是无限刚性 所以剪力分配法的计算结果是近似的 当横梁与立柱的线刚度之比时 剪力分配法的计算精度能满足工程要求 当时计算误差较大 可通过修正立柱的剪切刚度 如D值法 来调整计算 实际工程中 横梁不是无限刚性 所以剪力分配法的计算结果是近似的 当横梁与