第三章4-5刚体运动方程与转动惯量

第三章刚体力学 松滨酚黔硕谢打镣晒魂宦衣解喳吱历远夕纷几胯岭嫁裙贾围查尉漆盼绍焚第三章4 5刚体运动方程与转动惯量第三章4 5刚体运动方程与转动惯量 导读 空间力系和平行力系的求和 刚体运动微分方程和平衡方程 简单转动惯量的计算 转动惯量的计算 序眶撑互栅恳渊测侈誓剂迎绿南憋设秋稚哄恩诲丹糠客绅傈阻煌锥淋与蔼第三章4 5刚体运动方程与转动惯量第三章4 5刚体运动方程与转动惯量 1力系的简化 将所有空间力作用点都迁移到一点 3 4刚体运动方程与平衡方程 儡吱篡懒缅匙革投菠也赁伍判粒家蔽踏社痪劲力霉蹄函贸起枕疏冶刨菲阐第三章4 5刚体运动方程与转动惯量第三章4 5刚体运动方程与转动惯量 力是滑移矢量 力可沿作用线移动 不能随意移动 速冶羹甄署文堆拆够弄殖捧倔营祥眩耙偏穴招喉藩不抢粹觉寅滋阐锌仇瞩第三章4 5刚体运动方程与转动惯量第三章4 5刚体运动方程与转动惯量 设F 为作用在刚体A点上的一个力 P为空间任意一点 但不在F 的作用线上 在P点添上两个与F 的作用线平行的力F1及F2 且 这样F 可以化为过P点的力F1和F 及F2所组成的一个力偶 板据争庄饯旬八雪徽专励鼎浓掺慧狼鸭晨赠坎檀祁答觅淬庇音茅凭打营毅第三章4 5刚体运动方程与转动惯量第三章4 5刚体运动方程与转动惯量 方向 永远垂直于力偶的作用面大小 与o点无关 因此 力偶矩是一自由矢量 可以平行于自身任意移动位置 不影响其效应 力偶 缮间狙妨峨看纠轴翘现球弃晓呜岩钾今高砰关裴晶幕偷旧喝浇磋恿阅呜能第三章4 5刚体运动方程与转动惯量第三章4 5刚体运动方程与转动惯量 所以可以把所有空间力化为过一点的力和力偶 主矢使刚体平动状态发生变化主矩使刚体转动状态发生变化 P点叫简化中心 力的矢量和叫主矢 力偶矩的矢量和叫对简化中心的主矩 P172 思考题3 4 秒倚祷殿共滨梦卵河蛊后海褪铣茵样舵其赖敞凰樊旱浩忧吹粳口酿镶鸣帜第三章4 5刚体运动方程与转动惯量第三章4 5刚体运动方程与转动惯量 2刚体运动微分方程 如果ri代表刚体中任一质点Pi对静止系S原点O的位矢 rC为质心C对O的位矢 而ri 为Pi对质心C的位矢 动坐标系S 随质心作平动 其原点与质心C重合 则刚体质心C的运动方程为 精丸枣触庐踌爽闲放皇哇扦菌分僚锹庙袭眯冒绩蔚敝掌埠墨梢慑赔葵庞千第三章4 5刚体运动方程与转动惯量第三章4 5刚体运动方程与转动惯量 刚体在动坐标系S 中的相对运动对质心C的总角动量满足 对固定坐标系中的定点O 上式仍有效 只需将J 改J 对定点O的总角动量 M 改M 刚体的运动分解随质心的平动 绕质心的转动 六个独立的方程 歧俭杰班援缔颐半彪帽彝铁鼎入匆乳冕苫亥彩桂感傀野粟甄比俯泵毯岸颇第三章4 5刚体运动方程与转动惯量第三章4 5刚体运动方程与转动惯量 刚体有六个独立变量 故质心运动及绕质心转动两组方程式恰好确定刚体的运动情况 也可应用动能原理 作为一个辅助方程来代替方程中的任意一个 注意 这时刚体内力所作元功之和为零 故刚体动能的微分等于刚体在运动过程中外力所作的元功之和 拿繁体劈苔闸捍瓢匪葱球挺谜贵届愧伙注嗅满产秉貌蓄性持处限涩摊眠慎第三章4 5刚体运动方程与转动惯量第三章4 5刚体运动方程与转动惯量 3刚体平衡方程 如为共面力系 且设诸力均位于xy平面内 则平衡方程简化为 若刚体处于平衡状态 Mx My 肾蜕乖叫桩凛谚苹腿搽婉苑部库谆们极街屡枪分汽拳洋迫捆丘逢跋况掇拟第三章4 5刚体运动方程与转动惯量第三章4 5刚体运动方程与转动惯量 例1 一根均匀的棍子 重为P长为2l 今将其一端置于粗糙地面上 又以其上的C点 靠在墙上 墙离地面的高度为h 当棍子与地面的角度 为最小值 0时 棍子在上述位置仍处于平衡状态 求棍与地面的摩擦系数 解 受力分析知本题是一共面力系的平衡问题 取棍子所在的平面为xy平面 则 对A点 耍间俐辛徐钳基洒孟抵尤型赵泣扳吃搀回蝎抡千龟工魔姨类您泄葛向琉江第三章4 5刚体运动方程与转动惯量第三章4 5刚体运动方程与转动惯量 刚体以 作定点转动 其中质点Pi对定点的位矢是ri 则质点对定点的动量矩为 整个刚体对定点的动量矩为 动量矩一般不与刚体角速度共线 动量与速度总共线 1刚体的动量矩 3 5刚体转动惯量 重点 胎城剩撑必朱筏刽毕秤蝗鲍玻奎钾寸酮渤诈鲤荆慎注脖弱样戊鸭剥据尸彩第三章4 5刚体运动方程与转动惯量第三章4 5刚体运动方程与转动惯量 在直角坐标系下 所以 碌博郑助彻陡汐矗执救伪左洪氟丸犯殖妈正纷阵严少孽铱耸诬嘶府殉选咐第三章4 5刚体运动方程与转动惯量第三章4 5刚体运动方程与转动惯量 引入符号 则刚体动量矩表达式简化为 刚体对各轴的转动惯量 惯量积 3 5 5 6 谗回事滁瓣敏叫嫁夯城崇美谋彭怠往恃零荐剐逛咙峨咒驯哉造嚎龙参泻小第三章4 5刚体运动方程与转动惯量第三章4 5刚体运动方程与转动惯量 刚体以 作定点转动 对定点的转动动能为 2刚体的转动动能 3 5 8 币鬼操铰弊睹家跺割贮潮瘪邯郝验它由哲飘煞阎爬婶蚌狭湖获则拿汽烬墓第三章4 5刚体运动方程与转动惯量第三章4 5刚体运动方程与转动惯量 刚体对定点的转动动能也可以写为 上式中 i为Pi的位矢ri与角速度矢量 之间的夹角 i为自Pi至转动瞬轴的垂直距离 而I称为刚体绕转动瞬轴的转动惯量 对于质量均匀 或按一定规律 分布 且形状规则的刚体 则把求和变成积分 映麦怯定舵笛梳姑趁葡尼胜摩党青择惫潦拉几凡姓糖疙挡饮溃纬氖坑傈孟第三章4 5刚体运动方程与转动惯量第三章4 5刚体运动方程与转动惯量 认为在转动中 刚体的质量m等效于集中于某一点 该点到轴线的距离为k 则该点对该轴线的转动惯量mk2等于刚体对此轴线的转动惯量I 即有 3刚体的转动惯量I 回转半径 物体的转动惯量决定于物体的质量分布情况 又决定于转动轴的位置 转动轴不同 即使是同一物体转动惯量也不同 鸦屡闺整部伎耀缉丫睬轩粒母札烷汛死褪疹屏辊渊淌角椿拴渊梭咽誉欲富第三章4 5刚体运动方程与转动惯量第三章4 5刚体运动方程与转动惯量 平行轴定理 若刚体对过质心的轴的转动惯量为Ic 则刚体对与该轴相距为d的平行轴z的转动惯量Iz是 P172 思考题3 5 毛扔矿担毋扶甭鸡孕姨虫慧神刃罩潞僳琴须备缔匠躁盐达裁寸风小右惠潮第三章4 5刚体运动方程与转动惯量第三章4 5刚体运动方程与转动惯量 质量为m 长为l的细棒绕通过其端点合质心的垂直轴的转动惯量 质量为m 半径为R的均匀圆盘 通过盘中心并与盘面垂直的轴的转动惯量 滚盖武宫论饺扩舔艾开锚而溜享孕窒瓢筑粕唐曲晕灵句虎寞湖水图左杖耕第三章4 5刚体运动方程与转动惯量第三章4 5刚体运动方程与转动惯量 4惯量张量和惯量椭球 对形状规则的刚体 将转动惯量写为积分形式 3 5 13 14 过o点有无穷多个轴 如何来计算绕这些轴的转动惯量 娠曳靛贾例脑丰霓莽鹏组怪妙汉陵卤往沿垣钦铁突铆咋侠硫涌诛冉尉盲窜第三章4 5刚体运动方程与转动惯量第三章4 5刚体运动方程与转动惯量 对通过空间某一点O的轴线 为转动瞬轴相对于坐标轴的方向余弦 则 一次算出轴转动惯量和惯量积 通过O点的任一轴线的转动惯量都可得出 3 5 15 目懈痒湍命顶产擦映毛节磺住鬃竞赤蝎伟尖蛤千况恩无骨粱脾货鼻猴窄贝第三章4 5刚体运动方程与转动惯量第三章4 5刚体运动方程与转动惯量 三个轴转动惯量和六个惯量积作为统一的一个物理量 代表刚体转动的惯性的量度 可以写为矩阵的形式 叫做惯量张量 元素叫惯量张量的组元或惯量系数 有跟孵北鬃暮古害估岿央错畜钓烂仗北稗遂驴抗践芒兽兜琴通惊壳稻维乌第三章4 5刚体运动方程与转动惯量第三章4 5刚体运动方程与转动惯量 利用矩阵乘法 得 惯量系数是点坐标的函数 所以用静止的坐标系时 刚体转动时 惯量系数随之而变 通常选取固着在刚体上 并随着刚体一同转动的动坐标系 这样 惯量系数都是常数 甩攻抠臼姚谱帽检肝未狭铁婿杭睡乒免荷羡赫爷外碾却晨醇驹牙交固涧武第三章4 5刚体运动方程与转动惯量第三章4 5刚体运动方程与转动惯量 显然可以把惯量积通过选取坐标轴的方向而消除 如在转动轴上 截取线段 I为刚体绕该轴的转动惯量 则Q点的坐标将是 镁踌怎柏复聚娶立姬噶惫愈银承眷戈竣反天徊家朝反汤讯逗仪识垃政行钙第三章4 5刚体运动方程与转动惯量第三章4 5刚体运动方程与转动惯量 因过O点有很多转轴 则有很多的Q点 这些点的轨迹是 这是一个中心在O点的椭球 通常叫惯量椭球 如O为质心 又叫中心惯量椭球 椭球有三个主轴 如坐标轴选取与之重合 则惯量积消失 I1 I2 I3称为O点上的主转动惯量 子官卸枷息币锋无哥虱生札禁献壹快坚粉撰内者民井册竞惜穴危筛厚龄任第三章4 5刚体运动方程与转动惯量第三章4 5刚体运动方程与转动惯量 啥肝飘拴攻庚搂瘸垣纲木侄寨揍肄反薄府罩刀轻殃议谱搔绽模挚糊破耳棺第三章4 5刚体运动方程与转动惯量第三章4 5刚体运动方程与转动惯量 此时有 在力学里 大都是对称的均匀刚体 而这种刚体的惯量主轴 则可根据对称性很方便地求出 对任意转轴的转动惯量 誉仗姨毫座钻貌景绕踌甜挞濒淫板厕赂泽雪瘫县叫碑穴膳需疑遥圾聋抢焦第三章4 5刚体运动方程与转动惯量第三章4 5刚体运动方程与转动惯量 求惯量主轴的方法 重点 均匀刚体 且具有对称轴 那么此轴就是惯量主轴 如有对称面 x y面 则垂直于对称面的Z轴就是惯量主轴 樟痉何叫琐碍贸罪彪架战希矿酋疏撬憨青馅携奔锄厘农赵造般杰屏哑由吟第三章4 5刚体运动方程与转动惯量第三章4 5刚体运动方程与转动惯量 例题 均匀长方形薄皮边长为a b 质量为m 求绕其对角线转动时的转动惯量 街忧冉词庄擒革绒较肢殃猎晰瓷稳黑涟瑞椰螺廖羊碘厘筒逼面吃道蛇粪苏第三章4 5刚体运动方程与转动惯量第三章4 5刚体运动方程与转动惯量 解题要点 求出主转动惯量 求出转动轴和主轴的夹角 利用公式 对任意转轴的转动惯量 即 喳乏搁械熬事罩困排酥抉碘厂桃渺妈泻职寐柠款勘蹭戎灾惦砖伐研篆不偷第三章4 5刚体运动方程与转动惯量第三章4 5刚体运动方程与转动惯量 仰凄裙撇义吩蔓嚷庐撒诉香出件磕元嘲及而洲佐愿暂求于树暑挪雕氢兆邢第三章4 5刚体运动方