【高等数学】题目_用高等数学知识解初等数学题的优越性.doc

题目：用高等数学知识解初等数学题的优越性外文题目：With higher mathematics knowledge solution elementary mathematics superiority高等数学知识解初等数学题的优越性【摘要】 本文把高等数学与初等数学联系起来，理论结合实际地介绍了用高等数学知识解初等数学题的优越性【关键词】 高等数学 初等数学 The Several Methods in Resolving Limits of Number SequenceGong Lu【Abstract】 The limit is a very important conception of mathematical analysis In the mathematical analysis， almost all of the important conceptions， such as derivative、integration、series are defined by the limit And the limit of number sequence is the base of the limit The methods in resolving limits of number sequence involve some theorems and skills It is highly important to grasp these methods The thesis expounds the definition of the number sequence firstly At the same time， some typical examples are illustrated Finally， related methods are summarized in this thesis 【Keywords】 Limits of number sequenceConvergence and divergenceSeek the limit目 录引言.11 高等数学与初等数学之间的区别及联系.12 导数在初等数学中应用.2 2.1 定义法.22.2 单调数列法.2 2.3 柯西准则.3 3微积分在初等数学中应用.43.1 求和法.4 3.2 两边夹法.43.3 运用单调有界收敛原理.53.4 运用级数收敛的必要条件.73.5 用施笃兹定理.83.6 利用积分中值定理.9 3.7 利用数列极限与函数极限的关系.9 3.8 积分法.11 3.9 变量替换法.123.10 拉格朗日定理.133.11利用Abel变换求数列的极限.144 结束语.15参考文献.16 引 言高等数学是高等师范院校的主要基础课之一，现在大部分学生都存在这样一种观点 ;学习那么多的高等数学知识对今后从事初等数学教育没有太大的用处，这种观点无疑是错误的,。高等数学的一些知识和中学数学是相通的, 有些解题方法甚至可以直接迁移到中学数学中来。高等数学的方法可以使我们居高临下地去观察初等数学问题, 帮助我们确定解题思路,寻求更简捷的解法。作为以后将要从事的中学数学教师工作，也是有必要教中学生适当的用高等数学的方法去处理一些初等数学的问题，因为运用高等数学的方法解答某些初等数学问题,不仅简便,能得出多种解法,并且还能激发学生学习高等数学的积极性，提高学生解决问题的能力。作为教师本身，却更有必要掌握用高等数学的方法研究初等数学的问题。这样，可减少盲目性，做到心中有数。例如在初中涉及到解二元一次方程组，作为一名教师，应了解二元一次方程组解的情况，对一个二元一次方程组在什么情况下有唯一解、无解或有无穷多解，并能阐明产生上述三种情况的原因.而只有学习了线性方程组解的理论，才能对这个问题有本质的认识.把教材内容讲清楚。 本文通过实例来说明用高等数学知识解初等数学问题的必要性和优越性。高等数学与初等数学之间的区别及联系高等数学是在初等数学的基础上发展的.而初等数学是高等数学的基础。从学习数学的途径上看.无疑应该先学习和掌握初等数学.然后才能学习和运用高等数学。反之，学习高等数学能加深对初等数学的理解，可以提高我们解决问题的能力。高等数学与初等数学的联系之一是高等数学对初等数学理论上的支持.即初等数学中一些无法阐述清楚的理论问题，必须利用高等数学的知识才能解决。 例如:用初等数学的方法研究函数的增减性、求极值，最值等种种特性有很大的局限性.而在高等数学中利用极限、导数、级数等知识，可用比较完备的方法研究函数的特性。在学习高等数学时，从方法上要和初等数学进行比较。例如选择一些既可以用高等数学又可以用初等数学解决的问题，分别采用两种方法解答。通过对比性我们就会体会到知识的相关性，激发学习的兴趣，还提高我们的理解能力和认识水平。如证明三角形中位线定理、三角形三线定理，平行四边形对角线相互平分定理等等，除利用初等数学方法证明之外，还可以利用解析几何学中向量法证明。函数的递增性，中学对这一问题是通过观察图象直观描述的，没有给出理论上的证明，可以说是在中学阶段没有得到充分解决的问题。而在高等数学中，则通过求导数判定函数在某个区间上的递增性的方法来解决。即设在（a,b）内可导，当 时，有0，则 在（a,b） 内递增(ab,a b实数)。由于，所以，函数 在 上单调递增，由此得到理论上的证明。再如，有这样一个题：“求和：”，如果只用初等知识直接求和，那是办不到的，我们如果采用数学分析中广泛使用的“欲进先退”的策略，先分后合，问题便迎刃而解: 导数在初等数学中应用导数是高等数学的主要内容之一。用导数解初等数学题简便易行，不需要多大技巧，而且适用面较宽。例如1， 讨论函数的单调性例1判断函数 和 在 上的增减性。 解：令得或，令，得，所以在和内单调增加，在单调减少。，故在内单调增加。用以上导数讨论函数 和的单调性时，均无需多大技巧，且过程简单，若用初等数学知识讨论，需要一些技巧，且解法要繁琐，困难很多。例如，对于函数，令则故在内单调增加，对于函数，若同样令，故在内单调增加由此可知，利用导数求单调区间，其解题方法固定，它比用单调性的证明要简单也容易理解与掌握。2 求曲线的切线方程例2 求曲线在时的切线方程解： 故，又当时，所以，当时，切线方程为，即。由这个例题可以看出，用导数解此类题是多么简单！运用初中数学知识，曲线的切线的定义都很难给出，就更别说求它的方程了。3 柯西不等式在初等数学中的应用我们在高等数学中学习过柯西不等式，它的定义是：如果为两组实数，则当且仅当 时，等式成立。1 在证明代数不等式中的应用例1 已知正数满足，求证： 证明：由柯西不等式，可得 由于，所以又由于都是正数，且所以，这个例题如果运用初等数学内容去求证，过程无疑会很繁琐，而且计算量大，稍不留意就会出错，而用高等数学中柯西不等式去做，解法自然就简单明了了。下面我们再看另外一个例子。2 求函数的极值 例2 如果，求的最小值。 解：当且仅当时，等式成立。 所以，所求的最小值为。像这样一个看上去很难下手的题，我们运用柯西不等式就很容易求出结果。从以上两个例题的解法中我们就可以体现用柯西不等式解初等数学中一些题的优越性5 定积分的应用例1 求由曲线得交点（1，1），（3，-1），（0，0）如果运用初等知识去计算这个题目的面积，应该是解不出来的，而用高等数学中定积分的知识，此题便迎刃而解了。下面我们再来看定积分的另外一个应用。1、 有一直线与抛物线y=x2相交于A、B两点，AB与抛物线所围成图形的面积恒等于，求线段AB的中点P的轨迹方程。解：设抛物线y=x2上的两点为A（a，a2），B（b，b2），不妨设ba，直线AB与抛物线所围成图形的面积为S。则 * 由（*）得，这就是所求的P点的轨迹方程。这个题目也要用到定积分的知识才能解得出，由此，我们可以看出定积分在解初等数学题时的必然性和优越性。 2向量在初等数学中的应用。 向量具有数与形的双重性，一方面，向量具备数的大小、正负、可运算等属性;另一方面，向量也具备方向、位置、长度和夹角等形的特征.故它既可以用代数关系表示。也可以用几何直观形式表示，使数形转化得以实现.因此，很多中学数学问题往往可以用向量的适当形式表示，转化更容易得到解决.下面通过向量在初等代数中的应用举例，初步探讨如何利用向量解决中学数学中的一些问题.在初等代数中，等式、不等式的证明，函数最值的求解等往往要进行复杂的计算，但应用向量将数量转化为向量，然后利用向量知识求解，有时能化繁为简，化难为易，起到事半功倍的效果.1， 用向量证明等式不等式证明等式一般说来都要进行繁杂的运算，如果等式具有向量代数某些特征时，应用向量知识较为简单。例1：（其中），求证： 分析：由，可联想到向量的模，由可联想到向量的数量积，由此可构造，进行证明 证明：若，则结论显然成立；若不全为0，构造向量，设它们的夹角由已知条件知，所以或，即，所以证明不等式主要依据有关向量的不等式例2设 ，且，求证: .证: 设 , 则 = .所以原不等式成立.2用向量解有关三角函数题例4. 求函数的最值。解：原式可化为令构造向量则所以例5. 已知，且，求，的值。解：原条件可化为构造向量则由，的地位相同知3用向量解无理函数的最值问题求无理函数最值问题，按常规方法求解具有一定的难度，若能用向量知识解答将会使求解变得容易。首先我们来看几个向量的性质：性质1 若，则当且仅当时等式成立性质2 ，当且仅当a，同向平行时右边等式成立，a，反向平行时左边等式成立。性质3 ，当且仅当方向相同且两两平行时等式成立。（1）型（同号）例6. 求函数的最大值。解：构造向量由性质1，得当且仅当，即时，（2）型例7. 求函数的最大值。解：原函数可变为取且构造向量由性质1，得从而当且仅当，即时，（3）型（）例8. 求函数的最小值。解：构造向量由性质2，得当且仅当a与b同向平行时等式成立所以（此时）3线性方程组理论在初等数学教学中的应用1在空间解析几何中的应用求过点与平面平行且与直线相交的直线的方程例2：求过点与平面：平行且与直线相交的直线的方程。解：设直线的方向向量为，由直线的方程知的方向向量为，且过点，有与相交，因此，即，展开得，又与平行，所以，联立得方程组：求解，令为自由未知量，取，求得，故所求直线的方程为： 3在求解二元方程组上的应用齐次线性方程组理论的一个重要结论是:齐次线性方程组有非零解的充要条件是其系数行列式等于零，利用这一结论也可以求解二元方程组,求解时只需将其中一个变量作为常数即可。例2：求解方程组的全部解解：将看成常数，则方程组可改为 ；则有求解得带入方程组求解，得到 。故原方程的全部解为： 6微积分的应用7利用微分中值定理证明不等式微分中值定理包括罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理等。如:f(b)-f(a)=f() ，(b-a) ab利用在(a,b)内的特点证明不等式。例1 证