圆锥曲线一轮复习

如题 21 图 已知离心率为 3 2 的椭圆 22 22 1 0 xy Cab ab 过点 M 2 1 O 为坐 标原点 平行于 OM 的直线l交椭圆 C 于不同的两点 A B 1 求椭圆 C 的方程 2 证明 直线 MA MB 与 x 轴围成一个等腰三角形 解 设椭圆C的方程为 0 1 2 2 2 2 ba b y a x 由题意得 2 8 1 14 2 3 2 2 22 222 b a ba cba a c 椭圆方程为1 28 22 yx 5 分 由直线OMl 可设mxyl 2 1 将式子代入椭圆C得 0422 22 mmxx 设 2211 yxByxA 则 2 21 mxx 42 2 21 mxx 设直线MA MB的斜率分别为 1 k 2 k 则 2 1 1 1 1 x y k 2 1 2 2 2 x y k 8 分 下面只需证明 0 21 kk 事实上 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 1 21 x mx x mx kk 4 2 4 1 2 1 2 1 1 2121 21 21 xxxx xx m xx m m 10 4 2 242 42 2 mm m 故直线MA MB与x轴围成一个等腰三角形 12 分 已知椭圆 过点 0 2 离心率 1 2 2 2 2 b y a x 0 baM 3 6 e 求椭圆的方程 设过定点 2 0 的直线 与椭圆相交于两点 且为锐角 其NlBA AOB 中为坐标原点 求直线 倾斜角的取值范围 Ol 解 由题意得 3 6 2 a c b 结合 解得 222 cba 12 2 a 所以 椭圆的方程为 4 分1 412 22 yx 设 则 2211 yxByxA OB OA 2211 yxyx 当时 不妨令 2 21 xx 3 62 2 OB 3 62 2 OA 当斜率不存在时 为锐角成立 6 分0 3 4 3 8 4OBOA AOB 当时 设直线 的方程为 21 xx l 2 xky 由 得 2 1 412 22 xky yx 12 2 3 222 xkx 即 0121212 31 2222 kxkxk 所以 8 分 2 2 21 2 2 21 31 1212 31 12 k k xx k k xx 4 2 2 2 2121 2 21 2 21 xxxxkxxkyy 2 24 2 4 2 24 31 412 31 24 31 1212 k kk k k k kk 10 分 2 2 31 8 k k 2121 OBOAyyxx 0 31 124 2 2 k k 解得 12 分33 kk 综上 直线 倾斜角的取值范围是 13 分l 3 2 3 已知椭圆 过点 0 2 离心率 1 2 2 2 2 b y a x 0 baM 3 6 e 求椭圆的方程 设直线与椭圆相交于两点 求 1 xyBA AMB S 解 由题意得 3 6 2 a c b 结合 解得 222 cba 12 2 a 所以 椭圆的方程为 5 分1 412 22 yx 由 得 6 分 1 1 412 22 xy yx 12 1 3 22 xx 即 经验证 0964 2 xx0 设 2211 yxByxA 所以 8 分 4 9 2 3 2121 xxxx 2 21 2 21 2 21 2 ABxxyyxx 11 分 2 103 4 2AB 21 2 21 xxxx 因为点到直线的距离 13 分MAB 2 2 2 120 d 所以 14 分 4 53 2 2 2 103 2 1 2 1 dABS AMB 已知椭圆 22 22 0 yx Cab ab 1 的离心率为 6 3 过右顶点 A 的直线 l 与椭圆 C 相交于 A B 两点 且 13 B 1 求椭圆 C 和直线 l 的方程 2 记曲线 C 在直线 l 下方的部分与线段 AB 所围成的平面区域 含边界 为 D 若曲线 222 2440 xmxyym 与 D 有公共点 试求实数 m 的最小值 解 1 由离心率 6 3 e 得 22 6 3 ab a 即 22 3ab 2 分 又点 13 B 在椭圆 22 22 1 yx C ab 上 即 22 22 3 1 1 ab 4 分 解 得 22 124ab 故所求椭圆方程为 22 1 124 yx 5 分 由 2 0 13 AB 得直线 l 的方程为2yx 6 分 2 曲线 222 2440 xmxyym 即圆 22 2 8xmy 其圆心坐标为 2 G m 半径2 2r 表示圆心在直线2y 上 半径为2 2的动圆 由于要求实数 m 的最小值 由图可知 只须考虑0m 的情形 设GA与直线 l 相切于点 T 则由 得4m 10 分 22 2 2 2 m 当4m 时 过点 42 G 与直线 l 垂直的直线 l 的方程为60 xy 解方程组 60 20 xy xy 得 24 T 12 分 因为区域 D 内的点的横坐标的最小值与最大值分别为1 2 所以切点TD 由图可知 当GA过点 B 时 m 取得最小值 即 22 1 32 8m 解得 min 71m 14 分 过点 1 0 C的椭圆 0 1 2 2 2 2 ba b y a x 的离心率为 2 3 椭圆与x轴交于两点 过点C的直线l与椭圆交于另一点D 并与x轴交于点P 直线 0 0 A aBa AC与直线BD交于点Q 1 当直线l过椭圆的右焦点时 求线段CD的长 2 当点P异于点B时 求证 OQOP 为定值 设直线l的方程为 2 1 0 1 kkkxy且 代入椭圆的方程 化简得08 14 22 kxxk 解得 14 8 0 2 21 k k xx或 代入直线l的方程 得 14 41 1 2 2 21 k k yy 所以 D的坐标为 14 41 14 8 2 2 2 k k k k 又直线AC的方程为1 2 y x 直线BD的方程为 2 42 21 x k k y 联立解得 12 4 ky kx 即 12 4 kkQ 而P的坐标为 0 1 k 所以4 12 4 0 1 kk k OQOP即OQOP 为定值 x y O P Q A M F1 B F2 N 设椭圆设椭圆 的左 右焦点分别是的左 右焦点分别是 1 C 22 22 1 0 xy ab ab 下顶点为 下顶点为 线段 线段的中点为的中点为 为坐标原点 为坐标原点 21 F FAOABO 如图 若抛物线如图 若抛物线 与与轴的交点为轴的交点为 且经过 且经过 2 C 2 1yx yB 21 F F 点 点 求椭圆 求椭圆的方程 的方程 1 C 设 设 为抛物线为抛物线上的一动点 过点上的一动点 过点作抛作抛 5 4 0 MN 2 CN 物线物线的切线交椭圆的切线交椭圆于于两点 求两点 求的最大值 的最大值 2 C 1 CQP MPQ 解 解 由题意可知 由题意可知 0 0 1 1 则 则 0 0 2 2 故 故 BA2b 令令得得即即 则 则 1 1 0 0 1 1 0 0 故 故 0y 2 10 x 1x 1 F 2 F1c 所以所以 于是椭圆 于是椭圆的方程为 的方程为 222 5abc 1 C 22 1 54 xy 设 设 由于 由于知直线知直线的方程为 的方程为 N 2 1t t 2yx PQ 即即 2 1 2 ytt xt 2 21ytxt 代入椭圆方程整理得 代入椭圆方程整理得 22222 4 1 5 20 1 5 1 200txt txt 222222 400 1 80 1 5 1 4 tttt 42 80 183 tt 2 12 2 5 1 1 5 t t xx t 22 12 2 5 1 20 4 1 5 t x x t 故故 222 121212 1414 4PQtxxtxxx x 242 2 514183 1 5 ttt t 设点设点到直线到直线的距离为的距离为 则 则 MPQd 22 2 222 41 1 51 55 14145 14 tt t d ttt 所以 所以 的面积的面积S SMPQ 1 2 PQ d 2422 2 2 151418351 21 5 5 14 tttt t t 42 5 183 10 tt 22 5 9 84 10 t 5105 84 105 x y O P Q A M F1 B F2 N x y O P Q A M F1 B F2 N 当当时取到时取到 经检验此时 经检验此时 满足题意 满足题意 3t 0 综上可知 综上可知 的面积的最大值为的面积的最大值为 MPQ 105 5 已知点是离心率为的椭圆 C 上的一点 斜率为 2 1 A 2 2 0 1 2 2 2 2 ba a y b x 直线 BD 交椭圆 C 于 B D 两点 且 A B D 三点不重合 2 求椭圆 C 的方程 面积是否存在最大值 若存在 求出这个最大值 若不存在 请说明理由 ABD 又点在椭圆上 2 1 1 2 21 22 cc 2 2 c 椭圆方程为 4 分 2 a2 b 1 42 22 yx 0648 2 b2222 b 7 分 2 2 21 bxx 4 4 2 21 b xx 设为点到直线的距离 9 分 dAbxy 2 3 b d 10 分 22 8 4 2 2 1 bbdBDS ABD 已知椭圆 22 22 1 0 xy ab ab 的左焦点为F 离心率 e 2 2 M N 是椭圆 2 0 上的的动点 求椭圆标准方程 设动点 P 满足 直线 OM 与 ON 的斜率之积为 1 2 2OPOMON 问 是否存在定点 使得为定值 若存在 求出 12 F F 12 PFPF 的坐标 若不存在 说明理由 12 F F 若在第一象限 且点关于原点对称 点在轴上的射影为 连接M M NMxA 并延长交椭圆于点 证明 NABMNMB 20 解 由题设可知 2 2 2 2 2 2 c ac c a 分 故 3 分 222 2bac 故椭圆的标准方程为 4 分 22 1 42 xy 设 由可得 1122 pP P xyM x yN xy2OPOMON 5 分 12 12 2 2 P P xxx yyy 由直线 OM 与 ON 的斜率之积为 1 2 可得 即 6 分 12 12 1 2 y y x x 1212 20 x xy y 由 可得 22 222222 12121122 2222 2 2 PP xyxxyyxyxy M N 是椭圆上 故 2222 1122 24 24xyxy 故 即 8 分 22 28 PP xy 22 1 84 PP xy 由椭圆定义可知存在两个定点 使得动点 P 到两定点距离 12 2 0 2 0 FF 和为定值 4 2 9 分 设 1122 M x yB xy 由题设可 知 10 分 112212111 0 0 0 0 0 xyxyxxA xNxy 由题设可知斜率存在且满足 AB l 121 121 2 NANB yyy kk xxx 12 分 121 121 11 MNMB yyy kk xxx 将 代入 可得 2222 21212211 22 212121 2 2 2 11 MNMB yyyyxyxy kk xxxxxx 13 分 点在椭圆 故 M B 22 1 42 xy 2222 2211 2222 2121 2 2 44 10 MNMB xyxy kk xxxx 所以 14 分101 MNMBMNMB kkkkMNMB 如图 正方形 ABCD 内接于椭圆 且它的四条边与坐标轴平行 22 22 1 0 xy ab ab 正方形 MNPQ 的顶点 M N 在椭圆上 顶点 P Q 在正方形的边 AB 上 且 A M 都在第 一象限 I 若正方形 ABCD 的边长为 4 且与轴交于 E F 两点 正方形 MNPQ 的边长为 2 y 求证 直线 AM 与 ABE 的外接圆相切 求椭圆的标准方程 II 设椭圆的离心率为 直线 AM 的斜率为 求证 是定值 ek 2 2ek 依题意 2 2 A 4 1 M 0 2 E 2 1 2 4 AMAE 3 分0AMAEAMAE 为外接圆直径直线与的外接圆相切 5 分AE Rt ABE AMABE 由解得椭圆标准方程为 10 分 22 22 44 1 161 1 ab ab 22 1 205 xy 设正方形的边长为 正方形的边长为 ABCD2sMNPQ2t 则 代入椭圆方程得 A s s 2 M st t 22 22 1 xy ab 14 分 22 22 22 22 1 2 1 ss ab stt ab 22 22 1 3 14 3 st asst t bsst 2 2 2 5 1 4 bts e at 为定值 15 分 2 2 tsts k stst 2 22ek 设点 E F 分别是椭圆的左 右焦点 过点 E 垂直于椭圆长轴的 22 22 1 0 xy Cab ab 直线交椭圆于 A B 两点 是正三角形 ABF 1 求椭圆的离心率 2 过定点作直线 与椭圆 C 交于不同的两点 P Q 且满足 3 0 D l2DPQD O 是坐标原点 当的面积最大时 求椭圆的方程 OPQ 设点 E F 分别是椭圆的左 右焦点 过点 E 垂直于椭圆长轴的 22 22 1 0 xy Cab ab 直线交椭圆于 A B 两点 是正三角形 ABF 1 求椭圆的离心率 2 设椭圆 C 的焦距为 2 过点 P 3 0 且不与坐标轴重合的直线交椭圆 C 于 M N 两点 点 M 关于 x 轴的对称点为 求证 直线过 x 轴一定点 并求 M M N 此定点坐标 已知抛物线的焦点为 Fxy4 2 1 若直线 过点 M 4 0 且 F 到直线 的距离为 2 求直线 的方程 lll 2 设 A B 为抛物线上两点 且 AB 不与 X 轴垂直 若线段 AB 中点的横坐标为 2 求证 线段 AB 的垂直平分线恰过定点 22 解 1 由已知 x 4 不合题意 设直线 L 的方程为 4 xky 由已知 抛物线 C 的焦点坐标为 1 0 1 分 因为点 F 到直线 l 的距离为 2 所以 2 1 3 2 k k 3 分 解得 所以直线 L 的斜率为 5 52 k 5 52 5 分 所以直线 l 的方程为 4 5 52 xy 7 分 2 设 A B 坐标为 A B 11 y x 22 y x 因为 AB 不垂直于 x 轴 设直线 AB 的方程为 bkxy 8 分 联立方程 消去 y 得 bkxy xy4 2 0 42 222 bxbkxk 9 分 2 21 24 k bk xx 因为 AB 中点的横坐标为 2 故4 24 2 k bk 整理得 k k b 2 22 由 AB 中点的坐标为 2 2k b 得 AB 垂直平分线的方程为 12 2 1 2 x k bky 分 将代入方程 并化简整理得 k k b 2 22 显然定点 4 0 04 kyx 线段 AB 的垂直平分线恰过定点 4 0 14 分 已知抛物线的顶点在坐标原点 O 焦点 F 在 x 正半轴上 倾斜角为锐角的直线 过 F 点 l 设直线 与抛物线交于 A B 两点 与抛物线的准线交于 M 点 l 0 其中FBMF I 若 求直线 的斜率 1 l II 若点 A B 在 x 轴上的射影分别为 A1 B1 且成等差数列 2 11 FAOFFB 求的值 依题意设抛物线方程为 0 2 2221 2 yxByxAppxy 直线 0 0 yMkkl点的纵坐标为的斜率为 则的方程为l p x p F直线准线方程为 2 0 2 0 2 2 20 yy p M p xky 因为 FBMF 即 2 020 y p xyp 故 2 2 p xp I 若得02 2 1 22 2 22 ypxy p xp及由时 3 2 3 2 2 py p x 故点 B 的坐标为 3 2 3 p p 所以直线 5 分 3 22 3 03 pp p kkl BF 的斜率 II 联立得y p xkypxy消去 2 2 2 0 4 2 22 222 pk xppkxk 则 4 2 21 p xx 又 7 分 2 2 pp x 故 9 分 42 2 4 4 2 2 2 1 p pp p x p x 因为成等差数列 2 11