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第三节连续型随机变量 连续型随机变量的定义与性质几个常见的连续型分布 1连续型随机变量的定义 一连续型随机变量的定义与性质 如果在某区间连续取值 且对任意 存在可积函数 使 则称是以为概率密度函数 简称密度函数或密度 的连续型随机变量 2概率密度函数的性质 1 2 几何意义 3 处处连续 从而在的连续点处 故分布函数与密度函数相互确定 证明设的分布函数为 由 3 知 是连续的 故 5 在的连续点处 由积分中值定理 或 4 从而在与之间取值的概率与是否包含区间的端点无关 它表示在附近单位长度所具有的概率的近似值 故称为概率密度函数 它与物理学中的面密度的概念相类似 注意 的密度函数不唯一 若为的概率密度函数 令 则亦为的另一概率密度函数 从而求概率密度函数时我们不必在意个别点处或有限个点处的值 特别概率密度函数在分段点处的值我们可以任意指定它的取值 求及 例1设随机变量的分布函数为 二几个常见的连续型分布 1均匀分布 则称服从区间上的均匀分布 记为 直观理解 向随机投点 由于落入该区间上的概率为1且落点均匀 由性质 5 知的密度函数为另一理解 向随机投点 落点刻度 由 1例4知 2指数分布 若随机变量的概率密度函数为则称服从参数为的指数分布 记为 指数分布的性质 1 分布函数 2 3 证明 3 无记忆性 例2使用了小时的电子元件在以后小时内损坏的概率等于 其中为不依赖于的常数 假设在不相重叠的时间内 电子元件损坏与否是相互独立的 证明电子元件寿命 3正态分布 若随机变量的概率密度函数为 则称服从参数为的正态分布 记为其分布函数当时 称服从标准正态分布 记其概率密度函数及分布函数分别为 时的值可查附表3得 时可由求得 正态分布的性质 若 其概率密度函数为 则 1 图形如图 渐近线 对称轴 为位置参数 决定对称轴位置 为尺度参数 决定曲线分散性 愈小 分布愈集中在附近 中间大两头小 2 4 标准化随机变量 5 6 7 法则 正态随机变量几乎在内取值 几乎不在外取值 从而可认为 事实上 同理 例3设 且 求 例4某地区考生数学成绩 百分制 近似服从正态分布 平均分72分 96分以上的考生占考生总数的2 3 求考生成绩在60分到84分之间的概率 例5公共汽车门高度是按男子与车门碰头的机会在0 01下设计的 设男子身高 问应如何选择车门的高度 例1解法一由在处右连续得 解法二密度函数 由得 从而 例2证明设的分布函数时 已知 即 解此可分离变量方程得 故的密度函数为 例3解 欲求 从而
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