第5章 频域分析法

第5章频域分析法 本章介绍的频域分析法是研究控制系统的一种经典方法 是在频域内应用图解分析法评价系统性能的一种工程方法 5 1频率特性 5 1 5 2 u t 和y t 虽然频率相同 但幅值和相位不同 并且随着输入信号的角频率 的改变 两者之间的振幅与相位关系也随之改变 这种基于频率 的系统输入和输出之间的关系称之为系统的频率特性 设线性定常系统的传递函数G s 可以写成如下形式 5 3 5 4 5 5 5 6 5 7 5 8 5 9 5 10 5 11 来统一表示 即 G j 还可以用直角坐标形式来表示 的实部 它也是 的函数 称为实频特性 的虚部 同样也是 的函数 称为虚频特性 5 1 1幅相频率特性 奈氏图 5 1 2对数频率特性 伯德图 在工程上 常常将分别表示在两个图上 且由于这两个图在刻度上的特点 被称作对数幅频特性图和对数相频特性图 1 对数幅频特性 2 对数相频特性5 1 3对数幅相频率特性 尼柯尔斯图 5 2频率特性的极坐标图 Nyquist图 5 2 1基本概念 如图5 1 a 中G j 曲线所示 由这条曲线形成的图像就是频率特性的极坐标图 又称为G j 的幅相频率特性 如果G j 1 以直角坐标形式表示 即因此 习惯上把图5 1 b 的G j 曲线也叫做G j 的极坐标图 图5 1频率特性G j 的图示法 a G j 的极坐标图示法 b G j 的直角坐标图示法 5 2 2典型环节频率特性的极坐标图 1 比例环节所以比例环节的频率特性为 5 13 图5 2比例环节频率特性极坐标图 图5 3积分环节频率特性极坐标图 2 积分环节积分环节的频率特性为 3 微分环节微分环节的频率特性为 5 14 5 15 图5 4微分环节频率特性极坐标图 4 一阶惯性环节一阶惯性环节的频率特性为 5 二阶振荡环节二阶振荡环节的频率特性为 5 16 5 17 图5 5惯性环节频率特性极坐标图 相应的幅频特性和相频特性为 据上述表达式可以绘得二阶振荡环节频率特性的极坐标图如图5 6所示 5 18 图5 6的曲线簇表明 二阶振荡环节的频率特性和阻尼比 有关 大时 幅值M 变化小 小时 M 变化大 此外 对于不同的 值的特性曲线都有一个最大幅值Mr存在 这个Mr被称为谐振峰值 对应的频率 r称为谐振频率 图5 6二阶振荡环节频率特性极坐标图 6 延迟环节其频率特性为 相应的幅频特性和相频特性为 5 19 图5 7延迟环节频率特性极坐标图 5 2 3系统的开环频率特性极坐标图已知反馈控制系统的开环传递函数为G s H s 将G s H s 中的s用j 来代替 便可求得开环频率特性G j H j 在绘制开环幅相频率特性曲线时 可将G j H j 写成直角坐标形式 或写成极坐标形式 给出不同的 计算出相应的R I 或者M 和 即可得出极坐标图中相应的点 当 从0 变化时 即可求得系统的开环幅相频率特性图 奈奎斯持图 简称奈氏图 图中的特性曲线简称为奈氏曲线 根据开环系统传递函数中积分环节的数目v的不同 v 0 1 2 控制系统可以分为0型系统 型系统 型系统 型系统等 1 0型系统的开环奈氏曲线其频率特性为 5 20 2 型系统的开环奈氏曲线 5 21 其频率特性为 5 22 5 23 图5 10 型系统的奈氏图 3 型系统的开环奈氏曲线其频率特性为 5 24 5 25 4 总结1 奈氏曲线的低频段 5 26 图5 11 型系统的奈氏图 2 奈氏曲线的高频段 5 27 5 28 3 奈氏曲线与实轴和虚轴的交点4 奈氏曲线的中频段 5 29 5 30 图5 12 a 奈氏曲线高频段的形状 b 奈氏曲线低频段的形状 图5 13中频段特性形状的多种变化 例如 设 型系统的开环频率特性为 若 型系统的开环频率特性为 5 3奈奎斯特稳定判据及稳定裕度5 3 1奈奎斯特稳定性判据的基本原理 奈奎斯特稳定性判据是利用系统的开环奈氏曲线 判断闭环系统稳定性的一个判别准则 简称奈氏判据 1 特征函数F S 1 G s H s 和F平面 5 35 5 31 5 32 5 33 5 34 图5 15从S平面到F平面的映射关系 保角变换 a S平面 b F平面 2 幅角原理和公式N P Z矢量F s 的幅角是矢量F s 的幅角改变量为 5 37 5 36 5 38 式 5 38 表明 当S平面上的变点s沿符合前述条件的封闭曲线C按顺时针方向绕行一圈时 F平面上对应的封闭曲线C 将按顺时针方向包围原点 Z P 次 这一重要性质可概括为如下的公式 5 39 式 5 39 也可改写成上式表明 当已知特征函数F s 的极点也即已知开环传递函数G s H s 的极点在S平面上被封闭曲线C包围的个数P及已知矢量F s 在F平面上包围坐标原点的次数N 即可求得特征函数F s 的零点 也即闭环传递函数的极点 在S平面被封闭曲线C包围的个数 式 5 40 是奈氏判据的重要理论基础 5 40 图5 16F平面上F s 端点形成的封闭曲线 a N 2 b N 0 c N 0 3 奈氏轨迹及其映射 为了使特征函数F s 在S平面上的零点 极点分布及在F平面上的映射情况与控制系统稳定性分析联系起来 必须适当选择S平面上的封闭曲线C 显然Z值应等于零 包围整个右半S平面的封闭曲线如图5 17所示 它是由整个虚轴和半径为 的右半圆组成 变点S按顺时针方向移动一圈 这样的封闭曲线称为奈奎斯特轨迹 图5 17S平面的奈奎斯特轨迹 图5 18F平面的奈奎斯特曲线 F j 曲线 对于图5 17S平面上半径为 的右半圆 映射到F平面上的特征函数F s 为 上述判别闭环系统稳定性的方法可以进一步简化 由于特征函数F s 定义为 5 41 5 42 5 43 图5 19GH平面的奈氏曲线 式5 43表明 F平面上的曲线F j 如果整个地向左平移1个单位 便可得到GH平面上的G j H j 曲线 这就是系统的奈氏曲线图 如图5 19所示 前面已经说明 为了使闭环系统稳定 特征函数F s 1 G s H s 的零点都应位于s平面的左半部分 也就是说 式 5 40 中的Z应等于零 因此式 5 40 应改变为 式5 44是奈奎斯特稳定性判据的基本出发点 5 3 2奈奎斯特稳定性判据 1 奈奎斯特稳定性判据1应用奈奎斯特稳定性判据判别闭环系统稳定性的一般步骤如下 5 44 绘制开环频率特性G j H j 的奈氏图 作图时可先绘出对应于 从0 的一段曲线 然后以实轴为对称轴 画出对应于 0的另外一半 计算奈氏曲线G j H j 对点 1 j0 的包围次数N 由给定的开环传递函数G s H s 确定位于s平面右半部分的开环极点数P 应用奈奎斯特判据判别闭环系统的稳定性 2 奈奎斯特稳定性判据2位于无限小半圆上的变点s可表示为 5 45 5 46 5 47 图5 23绕过位于原点上的极点的奈氏轨迹 a 修改后的奈氏轨迹 b 无限小半圆的放大图 现对不同类型的系统 型系统 型系统 分别讨论如下 图5 24 型系统的奈氏曲线 2 型系统 型系统的v 2 与上述分析类似 不同的是这时的奈氏曲线的增补段 是从按顺时针方向到的无限大半径的圆弧 如图5 25所示 图5 25 型系统的奈氏曲线 3 系统开环传递函数的极点都在S平面左半部分的稳定性判别这种情况下 系统是称为开环稳定的 又称为最小相位系统 即P 0 图5 28描述了开环稳定 即最小相位系统 的0型 型和 型系统的奈氏曲线图 图5 28简化奈氏图作图与稳定性判别示例 a 0型系统 b 型系统 c 型系统 4 利用奈氏判据确定稳定系统可变参数的取值范围如果系统中有某一个参数 或某几个参数 可以在一定范围内取值 其取值范围可以根据奈氏判据的要求来选择 即为了使闭环系统稳定 可以根据奈氏曲线通过 1 j0 点的这一条件来选定参数 图5 29闭环控制系统 例7 设有如图5 29的闭环控制系统 为使闭环系统稳定 试用奈氏判据求出比例控制器的Kp的取值范围 Kp 0 设受控对象的传递函数为 解系统的开环传递函数为 开环频率特性为 实频特性和虚频特性为 假设奈氏曲线 G j H j 曲线 通过 1 j0 点 则得到临界稳定的情况 如图5 30所示 这时 解上面两式 可得 图5 30例7的奈氏曲线 5 系统具有迟延环节的稳定性分析 对于具有迟延环节的控制系统 其开环传递函数包含有迟延环节的传递函数e s 因此开环传递函数一般由下式描述 为不含迟延环节的传递函数 系统的开环频率特性可表示为 5 48 5 3 3频域法分析系统的相对稳定性 5 51 5 52 根据奈氏判据已知 如果系统的开环传递函数没有极点在右半S平面上 则闭环系统稳定的充分必要条件是系统的开环幅相频率特性G j H j 不包围 1 j0 点 稳定裕量通常用下面定义的相位裕量和增益裕量来度量 1 相位裕量 PhaseMagin 常简写为PM 设一稳定系统的奈氏曲线 G j H j 曲线 与负实轴相交于G点 与单位圆相交于C点 如图5 34所示 C点处的频率 c称为增益穿越频率 又称为剪切频率 c处的相角与 180 负实轴 的相角差 称为相位裕量PM 即 图5 34稳定系统的奈氏曲线 图5 35不稳定系统的奈氏曲线 2 增益裕量 GainMargin 常简写为GM 当奈氏曲线与负实轴相交于G点时 如图5 34所示 G点的频率 g称为相位穿越频率 又称为相位交界频率 这时 g处的相角幅值为 G j g H j g 定义 G j g H j g 的倒数为增益裕量GM 并用Kg表示 即 5 53 5 4频率特性的对数坐标图 Bode图 5 4 1基本概念频率特性的对数坐标图是频率特性的另一种重要图示方式 频率特性对数坐标图是将开环幅相频率特性G j H j 写成 5 54 将幅频特性M 取以10为底的对数 并乘以20得L 单位为分贝 dB 即 5 56 5 57 图5 36对数频率特性图 伯德图 a 对数幅频特性 b 对数相频特性 在对数相频特性图中 以为纵坐标 以 为横坐标 横坐标也是以对数分度 纵坐标用等刻度分度 这样 与对数幅频特性一样 也形成一个半对数坐标系 如图5 36 b 所示 将对数幅频特性L 和对数相频特性 合称为对数频率特性图 又称为伯德图 Bode图 图5 37半对数坐标 图5 37半对数坐标 每个10倍频程中 与lg 的对应关系如表5 1所列 对数幅频特性的 斜率 是指频率 改变倍频或十倍频时L 分贝数的改变量 单位是dB octave 分贝 倍频 或dB dec 分贝 十倍频 一般dB octave较少采用 常用的是dB dec 图5 37中纵坐标L 20lgM 称为增益 M 每变化10倍 L 就变化20分贝 dB 斜率 的概念在具体绘制伯德图时很有用 使用对数频率特性表示法的第2个优点是可以大大简化绘制系统频率特性的工作 5 4 2典型环节频率特性的伯德图 1 比例环节 K 比例环节的伯德图如图5 38所示 5 58 图5 38比例环节的伯德图 2 积分环节和微分环节 s 5 59 5 60 图5 39积分环节 1 s 和微分环节 s 的伯德图 3 一阶惯性环节和比例微分环节 1 Ts 一阶惯性环节的对数幅频特性和相频特性分别为 1 当 T 1时 低频时 则由式 5 61 可得 5 61 2 当 T 1时 高频时 则由式 5 61 可得 当 T 1时 式 5 62 可进一步近似为 在 2 T 即 T 2处 精确值为 5 62 5 63 图5 40惯性环节的伯德图 比例微分环节 1 Ts 的对数幅频特性和相频特性为 5 64 图5 41一阶惯性环节的对数幅额特性曲线采用渐近线时的误差值 图5 42比例微分环节 1 Ts 的伯德图 二阶振荡环节的对数幅频特性和相频特性为 当 n时 低频段 由式 5 65 可得 当 n时 高频段 由式 5 65 可得 5 65 从图5 44可以看出 渐近线的误差在 n附近为最大 并且 值越小 误差越大 当 0时 误差将趋近于无穷大 图5 44二阶振荡环节幅频特性的误差曲线 其幅频和相频特性为 5 4 3系统开环伯德图的绘制 例9 设系统的开环传递函数为 试绘制开环对数频率特性图 伯德图 5 66 解从系统的开环传递函数G s H s 可知 系统由比例环节 4 积分环节惯性环节比例微分环节 0 5s 1 和二阶振荡环节等5个典型环节所组成 除比例环节和积分环节无转角频率外 其余3个典型环节的转角频率依大小排列分别为 1 0 5 2 2 3 8 因此 可将开环频率特性按以下次序排列来绘制伯德图 将开环传递函数分成5个典型环节相乘后 可得开环对数幅频特性和相频特性分别为 上式中 二阶振荡环节的参数为 0 2 n 8各环节及开环系统的伯德图均表示在图5 46的半对数坐标系上 将L1 L5 叠加 即可求得开环对数幅频特性曲线 如图5 46 a 所示的实线 L 图5 46例9的伯德图 图5 46例9的伯德图 绘制开环对数相频特性曲线时 先作出各环节的相频特性曲线然后进行代数相加 如图5 46 b 所示的 如果要求得到精确的对数幅频特性 可在各转角频率处根据图5 41和图5 44加以修正 由上述例题可见 串联环节的对数幅频特性也可以直接绘出 从典型环节的对数幅频特性可见 在低频段 惯性 振荡和比例微分等环节的低频渐近线 均为零分贝线 因此 对数幅频特性L 的低频段主要取决于比例环节和积分环节 理想微分环节一般很少出现 而在 1处 积分环节 为过零点 因此在 1处 对数幅频特性的高度仅取决于比例环节 即L 1 20lgK 此时的斜率 则主要取决于积分环节的多少 每多一个积分环节 则斜率便降低 20dB dec 若有V个积分环节 则在 1处的斜率便为 20VdB dec 在确定了低频段以后 往后若遇到一阶惯性环节 经交接频率 L 的斜率便降低 20dB dec 遇到二阶振荡环节 过交接频率 则斜率便降低 40dB dec 若遇到比例微分环节 过交接频率 则斜率增加 20dB dec 这样 掌握了以上规律 就可以直接画出串联环节的总的渐近对数幅频特性 其步骤是 分析系统是由哪些典型环节串联组成的 将这些典型环节的传递函数都化成标准形式 即各典型环节传递函数的常数项为1 根据比例环节的K值 计算20lgK 在半对数坐标纸上 找到横坐标为 1 纵坐标为的点 过该点作斜率为 20VdB dec的斜线 其中V为积分环节的数目 计算各典型环节的转角频率 将各转角频率按由低到高的顺序进行排列 并按下列原则依次改变L 的斜率 若过一阶惯性环节的转角频率 斜率减去20dB dec 若过比例微分环节的转角频率 斜率增加20dB dec 若过二阶振荡环节的转角频率 斜率减去40dB dec 如果需要 可对渐近线进行修正 以获得较精确的对数幅频特性曲线 5 4 4最小相位系统和非最小相位系统如果系统的开环传递函数在右半S平面上没有极点和零点 则称为最小相位传递函数 具有最小相位传递函数的系统 称为最小相位系统 例如 具有下列开环传递函数的系统是最小相位系统 开环传递函数在右半S平面上有一个 或多个 极点和零点 称为非最小相位传递函数 例如 具有下列开环传递函数的系统为非最小相位系统 显然 最小相位系统的相角变化为最小 自动控制系统中迟延环节是最常见的非最小相位传递函数 5 5用开环频率特性分析系统的性能5 5 1系统开环对数频率特性与闭环稳定性的关系 1 用伯德图确定稳定裕量 图5 48稳定系统的伯德图 图5 49不稳定系统的伯德图 在伯德图中 增益裕量通常用分贝数来表示 即 对于稳定系统 见图5 34 所以为负 由式 5 68 可知 增益裕量是正的 我们称增益裕量是正的 用来表示 5 68 对于不稳定系统 在伯德图上表示相位裕量 和增益裕量Kg dB 可用上述同样的方法参照图5 35的奈氏图来对应确定 如图5 49所示 增益裕量和相位裕量通常作为设计控制系统的频域性能指标 实践表明 当GM和PM在下列范围内取值时 控制系统一般可以得到较为满意的动态性能 2 伯德定理简介 线性最小相位系统的幅频特性是一一对应的 在某一频率 例如剪切频率 c 上的相位移 主要决定于同一频率上的对数幅频特性的斜率 离该频率越远 斜率对相位移的影响越小 5 5 2系统开环对数频率特性与闭环稳态误差的关系对于一定的输入信号 控制系统的稳态误差与系统的类型及开环放大系数K有关 1 0型系统 图5 50使幅频渐近线以 20dB dec斜率通过剪切点的例子 其对数幅频特性为从图中可以看出 0型系统的对数幅频特性在低频段有如下特征 低频段渐近线斜率为0 dB dec 高度为20lgKP 5 69 图5 510型系统的对数幅频特性 如果已知幅频特性曲线低频段的高度 就可由式 5 69 求出位置误差系数KP 从而可求出系统的稳态误差ess 2 型系统其对数幅频特性为 5 70 图5 52 型系统的对数幅频特性 型系统的对数幅频特性曲线在低频段有以下特征 渐近线斜率为 20 dB dec 渐近线 或其延长线 与0 dB 线 即 轴 的交点为 KV 由此可以求出系统的稳态速度误差系数KV 从而进一步可求出系统的稳态误差ess 渐近线 或其延长线 在 1时的幅值为20lgKV 由此也可以求得速度误差系数KV 从而可求出稳态误差ess 3 型系统其对数幅频特性为 5 71 图5 53 型系统的对数幅频特性 由此可以求出系统的稳态加速度误差系数Ka 从而可以求出系统的稳态误差ess 渐近线 或其延长线 在 1时的幅值为20lgKa 由此也可以求出系统的稳态加速度误差系数Ka及稳态误差ess 5 5 3开环对数频率特性与系统时域性能之间的关系 图5 54对数幅频特性曲线的3个频段的划分 1 伯德图的对数幅频特性曲线中频段 剪切频率 c附近的频段 与系统动态性能的关系所谓中频段宽度h定义为设一系统的开环频率特性为 5 72 5 73 图5 56给出了典型二阶系统的结构图 对数幅频特性图和时域的阶跃响应曲线 由图5 56 a 可知 二阶系统的开环传递函数为 5 74 5 75 2 频域性能指标 相位裕量 与时域性能指标 超调量 P和调整时间ts的定量关系1 相位裕量 c 与超调量 P之间的定量关系 图5 57二阶系统开环对数幅频特性 5 76 5 77 5 78 5 79 图5 58二阶系统相位裕量 和阻尼比 的关系 3 相位裕量 c 与调整时间ts之间的定量关系调整时间ts的近似表达式为 5 80 5 81 将式 5 82 的函数关系绘成曲线 如图5 60所示 4 高阶系统 5 82