第4章 傅立叶变换

第四章傅立叶变换离散时间傅里叶变换DTFT离散傅立叶变换DFT 傅立叶1768 1830 Fourier JeanBaptisteJoseph 法国数学家 物理学家最早使用定积分符号改进符号法则 根数判别方法傅立叶级数创始人1807 热的传播 推导热传导方程中发现解函数可以由三角函数级数构成的级数形式表示1822 热的分析理论 傅立叶级数 分析等理论 傅立叶分析方法的历史 古巴比伦人 三角函数和 描述周期性过程 预测天体运动1748年欧拉振动弦的形状是振荡模的线性组合1753年D 伯努利弦的实际运动可用标准振荡模的线性组合来表示1759年拉格朗日不能用三角级数来表示具有间断点的函数 1822年傅立叶 热的分析理论 中提出并证明周期函数的正弦级数展开原理 奠定了傅立叶级数的理论基础1829年P L狄里赫利周期信号傅立叶级数表示的若干精确条件19 20世纪两种傅立叶分析方法 连续与离散1965年Cooley Tukey IBM 发明FFT算法 连续时间傅立叶变换 FT 物理意义 频域 如何分解出CEG分量 傅立叶变换的导出 每个频率分量 频域 时域 频率为 分量 提取单个频率分量 Fourier变换 Fourier正变换为什么用 知识拓展 无穷窄的带通滤波器 实际中不可实现采用如下可实现的滤波器小波变换 四种常用的傅立叶变换 时域 频域 离散 连续 离散时间傅立叶变换 连续 连续 连续时间傅立叶变换 离散 离散 离散傅立叶变换 连续 离散 连续时间傅立叶级数 信号与系统 数字信号处理 11 155 信号与系统与数字信号处理区别 数字信号处理 信号与系统 问题分析系统求系统 FTvsFS 13 155 DTFTvsDFT 14 155 FSvsDFT 15 155 连续时间傅立叶变换 FT 正变换分解 提取 反变换合成 还原 非周期连续时间信号 非周期连续频率函数 常见信号频谱 连续时间傅立叶级数 FS 周期 正变换 反变换 收敛性抽样定理 周期连续时间信号 非周期离散频谱函数 常见信号频谱 离散时间傅里叶变换 DTFT 正变换 反变换 非周期离散信号 周期连续频率函数 常见信号频谱 例 DTFT频谱的性质 1 模与幅角 2 对于实序列 证明 DTFT的收敛条件 convergence 无穷项求和 例 低通滤波器 p105 例3 8 周期冲激串periodicimpulsetrain DTFT的性质 1 线性 2 时间反转 证明 m n 3 时移 证明 m n n0 幅度 功率 谱不变仅影响相位谱 解 4 频移 证明 调频广播 频率调制 5 频域微分 证明 6 卷积 证明 m n k 7 调制定理 也称为加窗定理 证明 高频 例 幅度调制 低频 低通滤波 解调 低频 高频 例 加窗 无限长序列 窗函数 加窗后频谱产生失真 测不准原理 时域分辨率 频域分辨率 常数 加窗实例 加窗后频谱产生失真 正弦序列 8 帕斯瓦尔公式 证明 时域的能量等于频域的能量 称为能量谱密度 特例 LTI离散时间系统的频率响应 傅立叶变换 信号 不同频率正弦信号的线性组合 频率响应 幅度响应 相位响应 实冲激响应 例 求滑动平均滤波器频率响应 解 为什么是折线 M的变化有何影响 例 输入信号通过3阶FIR高通滤波器 观察输出信号幅度和相位的变化 Matlab仿真图形 比较绛红与蓝色线 有何区别 相位 产生延时 幅度 滤除cos 0 1n 频率分量 相延迟 phasedelay 和群延迟 groupdelay 不同频率的正弦分量 系统相延迟 相位失真 相延时 群延迟 滤波器平均延迟的一个度量 是相位在一个窄带信号上的近似延迟 群延时 群延时 线性相位 滑动平均滤波器的群延时 意义 群延时为常量 与频率无关 线性相位 离散傅里叶变换 N点有限长序列 离散傅立叶变换DiscreteFourierTransformDFT 定义 性质 IDFT证明 证明 证明 N2 N N 1 DFT IDFT复数乘法DFT IDFT复数加法 例 X k 的DFT频谱 DTFT与DFT的关系 离散 连续 插值 插值公式 DFT用于DTFT的数值估算 补零 M大小对X k 的影响 解 1 2 增大M可以提高信号DFT的频率分辨率 N大小对信号周期估计的影响 N 128和N 129时的DFT频谱 N为周期的整数倍 频谱的尖峰为正弦的频率 N不是周期的整数倍 出现模糊 单频模拟信号DFT 宽频DFT频谱 原因 129点 128点 时域上看 波形的突变产生多种频率分量 频域上看 y n 与x n 的关系 频域采样 离散 连续 例 对进行8点均匀抽样 其逆变换 若做4点抽样 其逆变换 混叠 频域采样率不够 时域信号会发生混叠 序列的循环移位 DFT的性质 有限长序列的运算 移位与循环移位 性质 证明 有限长序列的分类 共轭对称 共轭反对称 任意复序列可分解为共轭对称和共轭反对称部分 共轭对称部分 共轭反对称部分 特例 实序列 偶对称 奇对称 任意实序列可分解为偶对称和奇对称部分 偶对称部分 奇对称部分 圆周共轭对称 圆周共轭反对称 N点序列可分解为圆周共轭对称和圆周共轭反对称部分 圆周共轭对称部分 圆周共轭对称部分 几何对称 几何反对称 DFT的对称关系 复序列DFT的对称关系 序列 DFT频谱 实序列DFT的对称关系 DFT频谱对称关系 序列 DFT频谱 为何实序列有这样的对称关系 x n cos 0 1n 的DFT频谱 例 x n cos 0 1n 的DFT频谱 DFT的性质 已知 线性 循环时移 时移 DTFT DFT 幅度 功率 谱不变 仅影响相位谱 DFT 对偶 圆周卷积 回顾 N点序列的线性卷积 yL n 的长度 N点序列的圆周卷积 yC n 的长度 线性卷积与圆周卷积的关系 线性卷积 圆周卷积 L M N 1点圆周卷积 线性卷积 两个实序列DFT的计算 实序列DFT的计算 基本思想 利用DFT的对称性 2N点实序列DFT的计算 2N点实序列v n 两个有限长序列的线性卷积 用DFT计算线性卷积 基本思想 线性卷积 圆周卷积 DFT计算 有限长序列与无限长序列的线性卷积 基本思想 无限长卷积 有限长卷积之和 1 重叠相加法 与h n 做L M N 1点圆周卷积 2个 M N 1 点DFT 2 重叠保留法 与h n 做L N M N 1点圆周卷积 重叠相加vs重叠保留 课后思考 两种方法具相同效率 圆周卷积vs线性卷积 圆周卷积 线性卷积 分帧运算乘法3 N 2 logN加法3 N logN 单点运算乘法N N加法N N 1 延时为N点 延时仅为1点 2次FFT1次IFFT 线性卷积无优势 折中 N 3圆计算量 线计算量N 128圆计算量 8 线计算量 短时分析短时 加窗 傅立叶变换 基音周期不同 语谱图三维短时功率谱 声音九色鹿 清音频谱能量分布在整个频率段内 无明显衰减 浊音频谱能量集中在低频率区 衰减较快 基于语谱图的清浊音分析 静音频谱能量很小 频率与乐谱 乐音 发音物体有规律地振动而产生的具有固定音高的音 五线谱与短时傅立叶分析 N2 N N 1 DFT IDFT复数乘法DFT IDFT复数加法 快速傅立叶变换FFT 1965年 J W Cooley和J W Tukey首次提出了DFT运算的一种快速算法此后相继出现了各种用于计算机平台的改进FFT算法FFT使DFT的运算时间可缩短一 二个数量级 使DFT的运算可以应用到实际中 按时间抽取法 DFT N 2点DFT 时间抽取法蝶形运算 一次乘法 两次加法 偶部 奇部 N点DFT分解 2点DFT 例 N 8按时间抽取的FFT运算流图 时间抽取FFT的特点 1 奇偶抽取与比特逆序 例 N 8 二进制000001010011100101110111 二进制000010100110001011101111 时间抽取法流程 比特逆序 例 N 8 输入顺序01234567 二进制码000001010011100101110111 码位倒读000100010110001101011111 输出顺序04261537 2 原位运算 频率抽取法 按k的奇偶将X k 分为两部分 偶序 奇序 频率抽取法蝶形运算 按频率抽取的FFT N 8 信号流图 频率抽取法中的比特逆序 例 N 8 二进制000001010011100101110111 二进制000010100110001011101111 前半部 后半部 频率抽取法流程 IFFT算法 IDFT DFT IFFT 运算量分析 乘法加法DFTN2N N 1 FFT N 2 log2NNlog2N改善比2N log2N N 1 log2N 例 DFTFFT乘法加法乘法加法12816384165124488962566553665792102420485162 7 1052 7 1052304460810241 0 1061 0 106512010240 乘法 加法 浮点 定点 小结 DTFTDFTFFT 频谱分辨率Fs 128Hz