学而思2013年春季素质123班难题汇总(共15讲)

学而思2013年春季素质123班难题汇总第一讲 勾股定理题型一：+，小学阶段看到平方要想到:正方形面积、平方差公式。题型二：毕达哥拉斯定理，毕达哥拉斯树。题型三：立体图形的勾股。题型四：折纸。两步解法：设一个未知数、利用平方差求解。题型五：圆中的勾股，寻找由弦的端点、弦的中点、圆心构成的直角。11、【第二单元，折纸，补充题】将B点折到AD边上的E点，E是五等分点，AE1，求三角形BCF的面积。【难度级别】【解题思路】此题充分体现了“设一个未知数、利用平方差求解”的良好解题思路。AE1，DE4，AD5，BC5，EC5。在直角三角形EDC中，DE4，EC5，所以DC3。设FBx，则在直角三角形AEF中，EFx，AF3-x， +，-1，应用平方差公式，3(2x-3)1，x。三角形BCF的面积：5。【答案】。12、【第三单元3.天圆地方】在如下图的圆中，正方形ABCD的边长为8，圆心O到AB的距离为5，求正方形EFGH的面积。【难度级别】【解题思路】看到圆，找弦，找直角三角形。设HG2x，圆的半径为R。看弦HG，找直角三角形ONH，HNx，NO2x-5, +。如果能求出就可以求出x。再看弦DC，找直角三角形OMD，OM5+813，DM4，+185。所以，+185。到此，这个方程小学生不会解，可以尝试，也可以通过枚举进行筛选。113的平方分别是：1、4、9、16、25、36、49、64、81、100、121、144、169，从中找出2个相加185的，有：16+169、64+121。对于16+169，x4，2x-53不满足，对于64+121，x8，2x-511满足。因此，x8。正方形EFGH的面积：256。【答案】256。13、【学案3】下图是一个长为16，宽为10的长方形，沿着图中虚线的位置将这个长方形折叠成一个等腰梯形，则这个梯形的面积是_。【难度级别】【解题思路】正下方的一个直角三角形，斜边是10，底边的直角边是8，所以另一条直角边是6。设梯形的上底为2x，看正上方的一个直角三角形，一条直角边是x，另一条直角边是：1064，斜边是8-x，所以：+，利用平方差公式求解，-，8(8-2x)=16，x3。梯形的面积：(6+16)102110。【答案】110。14、【学案1】如图所示，直角三角形PQR的直角边为5厘米和9厘米，问图中3个正方形面积之和比4个三角形面积之和大多少？【难度级别】【解题思路】将斜的大正方形做弦图分割。图中所有三角形面积均相等，那么图中3个正方形与4个三角形的面积之差为X、Y、Z三个正方形的面积和：+122。【答案】122。15、【每日一题2】如图，直角三角形ABC中，两直角边长分别为7、24，三角形内一点P到各边的距离相等，则这个距离是_。【难度级别】【解题思路】设P到各边的距离为X，则由连接的两条虚线的对称性得到,直接三角形的斜边为：(7-X)+(24-X)31-2X。+49+576625，所以斜边边长为25。31-2X25，X3。【答案】3。16、【每日一题3】直角三角形一直角边为11，另两边均为自然数，则其周长为_。【难度级别】【解题思路】设斜边为c，另一直角边为a，则-。(c+a)(c-a)121，121只有两种分解：1211、1111，因c+ac-a，所以只有：c+a121，c-a1，解得：c61，a60。三角形周长为：11+60+61132。【答案】132。第二讲 完全平方数判断方法：尾数判断法，平方数的尾数只能是：0、1、4、5、6、9。偶指奇约性。不等式判断法。例如：=193619762025=，所以1976不是完全平方数。余数判断法(1) 3余0、1 （由A3余0、1、2来证明）(2) 4余0、1(3) 8余0、1、4(4) 16余0、1、4、9例如：P为大于3的质数，24余多少？2438。平方数3只能余0和1，而余0表示能整除3，P为大于3的质数，P不能整除3，所以3余1。平方数8只能余0、1、4，P为大于3的质数，P是奇数，也是奇数，奇数8只能余奇数，所以8余1。111，24余1。特别说明：判断一个数“是”完全平方数只有“偶指奇约性”这个方法（或者开方），其它方法（尾数判断法、不等式判断法、余数判断法）都是用来判断“不是”完全平方数的。21、【一单元(例4)】求一个最小的自然数，它乘以2后是完全平方数，乘以3后是完全立方数，乘以5后是五次方数。【难度级别】【解题思路】求最小，A至少有2、3、5三个质因数，设A，则2A，3A，5A由2|(x+1)，3|x，5|x 得到：15；由2|y，3|(y+1)，5|y 得到：20；由2|z，3|z，5|(z+1) 得到：24。 最小自然数：A。【答案】。22、【一单元(例5)】（口述题）从乘法算式12315中至少要删除多少个数，才能使剩下的数的乘积为完全平方数？【难度级别】【解题思路】删除无法配对的质数。首先，质数13、11无法配对，再考虑质数7、5、3、2。1，质因数13是1次方；1，质因数11是1次方；2，质因数7是2次方；3，质因数5是3次方；5，1，质因数3是5+16次方；7，3，1，质因数2是7+3+111次方；删除奇数次方的，251113101113，删除10、11、13这3个数。【答案】3。23、【一单元(例6)】从1!、2!、3!、100!这100个数中去掉一个数，使得剩下各数的乘积是一个完全平方数，请问：被去掉的那个数是什么？【难度级别】【解题思路】变形，看指数的奇偶性。A1!2!3!100!指数为偶数的保留，指数为奇数的各提取出来一个底：246100(21)(22)(23)(250)(2222)(12350)50!是完全平方数，所以去掉50!这个数。【答案】50!。24、【二单元(例3)】100名同学，编号为1100，面向南站成一排，第1次全体同学向后转；第2次编号为2的倍数的同学向后转；第3次编号为3的倍数的同学向后转；第100次编号为100的倍数的同学向后转；这时，面向南的同学有_名？【难度级别】【解题思路】转偶数次朝南，转奇数次朝北。编号有多少个约数，此同学就转多少次。平方数有“奇约性”，平方数有奇数个约数，非平方数有偶数个约数。100，10个有奇数个约数，1001090个有偶数个约数，所以面向南的有90人。【答案】90。25、【二单元(例4)】100名同学，编号为1100，面向南站成一排，第1次全体同学向右转；第2次编号为2的倍数的同学向右转；第3次编号为3的倍数的同学向右转；第100次编号为100的倍数的同学向右转；这时，面向东的同学有_名？【难度级别】【解题思路】朝向与转的次数相关，转的次数与约数个数相关。平方数有奇数个约数，奇数个约数面朝东或朝西，转4次一圈，约数个数4余1面朝西，约数个数4余3面朝东。100，有10个平方数。约数个数1335393759约数个数4余1331313311面朝东【答案】5。n26、【三单元(例3)】(1)形如111(n1，n个1)的完全平方数有_个；n(2)形如14444(n1，n个4)的完全平方数有_个；【难度级别】【解题思路】余数判断法，第(1)题用4的余数，第(2)题用16的余数。(1) 114余3，1114余3，后面每再增加1个1，和前面的余数3可以构成31，31473，4都余3。但是，完全平方数4的余数不能是3（只能是：0、1），所以，形如111的数都不是完全平方数。(2) 2个4：144，3个4：1444。4个及4个以上的4：1444416余12，后面每再增加1个4，和前面的余数12可以构成124，12416712，所以4个以上4时，16余数都是12，余数尾数都是2。但是，完全平方数16的余数尾数不能是2（只能是0、1、4、9），4的个数大于3个时就没有完全平方数了。所以，形如14444的完全平方数有2个：144，1444。【答案】0，2。27、【三单元(例5)】+1（m、n为自然数）能否为平方数？【难度级别】【解题思路】用余数判断法，8的余数来判断。3的偶数次方：，98余1，若干个1相乘还是1，8余1；3的奇数次方：3，98余1，8余3。根据m、n的奇偶性，有4种组合情况：m奇n奇，8余3，8余3，(+1)8余7；m奇n偶，8余3，8余1，(+1)8余5；m偶n奇，8余1，8余3，(+1)8余5；m偶n偶，8余1，8余1，(+1)8余3。(+1)8的余数是3、5或7，但是，完全平方数8的余数是0、1、4，所以+1不是完全平方数。【答案】不能。28、【学案1】称能表示成1+2+3+k的形式的自然数为三角数。有一个四位数N，它既是三角数，又是完全平方数，则N_。【难度级别】【解题思路】题目较难，慢慢消化。1+2+3+k，k(k+1)2。因为k和k+1是两个连续的自然数必有一个奇数，所以有：奇数。相邻自然数互质，“奇数”与“”也互质，于是：“奇数”，“”，mn。到这里，没有更好的办法了，只能从“N是一个四位数”入手，缩小取值范围。32N99，即：32mn99。又因为与2差1（相邻），有：7m12 （得出这个范围有点难度，我最后采用估算的方法：2，m1.4n，nm1.4，321.4991.4，45140，7m12）。当m7时，49，25，1225；当m9时，81，相邻偶数为80和82，不是平方数，无解；当m11时，121，相邻偶数为120和122，不是平方数，无解。所以，N1225。【答案】1225。29、【学案3】有两个两位数，它们的差是14，将它们分别平方得到的两个平方数的末两位数（个位数和十位数）相同，那么这两个两位数是多少？【难度级别】【解题思路】正确理解“两个平方数的末两位数相同”，意思就是“两个平方数的差末两位是00”。设两个两位数是n和n+14，则100|-。-28(n+7)47(n+7)，所以25|(n+7)，有三组解：n18n43n68n+1432n+1457n+1482【答案】18、32；43、57；68、82。2A、【每日一题6】已知是一个四位数，若两位数是一个质数，是一个完全平方数，是一个质数与一个不为1的完全平方数之积，则满足条件的所有四位数有哪些？【难度级别】【解题思路】题目给的3个条件都比较深奥，需要认真逐步分析这几个条件。先用第1个条件“是一个质数”，B只能是1、3、7、9。再用第2个条件“是一个完全平方数”，只有16、36。最后用第3个条件“是质数与完全平方数之积”，只有可能是：41768，9763，即：A3或8。到这里，只要回过头来讨论一下B1和3就可以了：B1时，3163，31是质数，16是平方数，637，满足题意；8168，81不是质数；B3时，3363，33不是质数；8368，83是质数，36是平方数，6817，满足题意。【答案】3163，8368。2B、【补充题】a、bcd是10以下正整数，、a是完全平方数，求四位数是多少？【难度级别】【解题思路】设，。a只能是1、4、9。当a1000时，1000+，(x+y)(x-y)1000。31x45，10y32，41x+y76。10005020，x35,y15, 1225。当a4000时，4000+，(x+y)(x-y)4000。63x71，10y32，73x+y103。400010040，x70,y30，4900，有0舍弃；40008050，x65,y35，4225。当a9000时，9000+，(x+y)(x-y)9000。94x100，10y32，104x+y132。900012075，无整数解。【答案】1225，4225。第三讲 类比与猜想简单来说，本讲就是找规律，这种方法在考试中也是常用的。知识点一(1)、奇数数列求和的通项式：1+3+5+7+(2n-1)知识点一(2)、立方和的通项式：+知识点一(3)、分数裂项：母积子和差，解释：分母是乘积，分子是分母两数的和，或者分母两数的差。知识点二(1)、滚圆，一个 半径为R的圆沿周长为C的任意凸图形外围滚动一周，圆扫过的面积为：2RC+4。知识点二(2)、特殊位置法，俗称“任我意”，这指是在几何图形中的应用。如果图形中有些线段的长度没有给定，可以对图形进行变形（也包括等积变形），变到“特殊位置”求解。知识点二(3)、勾股定理的类比与猜想，二维：+，三维：+，猜想四维：+，三维面的勾股：+(面积分别为、的相互垂直的三个直角三角形，共用直角顶点和直角边，它们的斜边构成面积为的斜面三角形)。知识点三(1)、特殊值法，俗称“任我意”，这指是在应用题中的应用。在应用题中，如果3个量只知道其中1个量，并且求解的还是这个量，可以采用“任我意”法进行求解。当然，再知道第二个量的关系（是知道量的关系而不是量具体的值），仍然可以采用“任我意”法。知识点三(2)、总差分差，在火车过桥、鸡兔同笼、牛吃草、分苹果分房间等应用题中，存在着“总量”的差和“分量”的差，两个差相除往往就可以求得需要的结论。本讲学习的是“类比”的方法（即：找规律），学习的是“猜想”的思想，同学们可以认真领会。例题、学案和作业，题目都不难，故不对题目做解析。31、【每日一练3】两枚一模一样的硬币，半径都是1厘米；把其中一枚硬币固定在桌面上，另一枚硬币贴住被固定的硬币，无滑动地绕固定硬币滚动一周，请问：（1）滚动的那枚硬币扫过的面积是多少平方厘米？（2）滚动的那枚硬币绕固定硬币公转了一圈，自转了几圈？（3）如果半径1厘米的硬币绕半径5厘米的圆环的外围无滑动地滚动一周，硬币自转了几圈？如果半径1厘米的硬币绕半径5厘米的圆环的内侧无滑动地滚动一周，硬币自转了几圈？ 【难度级别】【解题思路】滚动的自转，有点难。（1）2rC+21()+也可以用：圆环“大圆小圆”来求。（2）自转了几圈，看硬币边缘滚动的距离，而硬币边缘滚动的距离和硬币圆心走的距离相等。这样来想象：一枚硬币在平面上滚动，圆心前进的距离就等于硬币边缘滚动的距离，圆心前进，边缘滚动的距离就是，硬币就自转了一圈；硬币绕圆滚动，可以把圆的周长想象成展开成直线，道理是一样的：硬币边缘滚动的距离和硬币圆心走的距离相等。硬币绕固定硬币公转了一圈，硬币圆心走的距离：，而硬币自转一圈的距离是周长：，自转圈数：2。（3）外围：硬币圆心走的距离：，而硬币自转一圈的距离是周长：，自转圈数：6。内侧：硬币圆心走的距离：，而硬币自转一圈的距离是周长：，自转圈数：4。【答案】（1）；（2）2；（3）6，4。第四讲 分数的四则混合运算本讲包括的内容：分数的四则混合运算，分数与小数、百分数的互化、繁分数化简。常用的方法有：小数化分数（乘除中）、主分数线当除号、提前公因数、整体换元、放缩法等。五六年级，分数的四则混合运算是计算题的核心，本讲内容不算很难，孩子只要认真、仔细就没有问题。在计算中，要多观察，掌握一些巧妙的计算方法和技巧，看是否有可以凑整的、看是否有可以提取公因数的、看是否有可以约分的等等。切记，不要看到数多、式子复杂就头疼就放弃，动手算一算就会有眉目的，都是可以计算出来结果的。计算题，无论看上去多复杂，在杯赛中都属于送分题，孩子要敢于尝试，保持灵活的头脑。实在不行，只要有时间，就硬算。以下仅挑一些稍微复杂的题目进行解析，其它题目孩子自己认真去算好了。41、【第三单元2.(4)】计算：+【难度级别】【解题思路】猜想：这2个繁分式相加结果可能1，小数点省略的地方是个具体的数，但是不需要计算出来，可能会抵消掉。采用“整体换元”的方法。找公共的部分，设A，则原式+1【答案】1。42、【第三单元4.(3)】解方程：。【难度级别】【解题思路】提供两种方法，方法二计算的数大一些，方法一计算的数小。方法一，自上而下(1) ， ， 21， ， ， 。方法二，自下而上， ， ， ， ， ，。【答案】11。43、【2013年华杯赛初试，第1题】（是化简后的），求m+n？【难度级别】【解题思路】有2013、2014、2012，往一个数2013上凑，想到可能会约分。m+n672+6711343。【答案】1343。44、【学案4.(5)】若A（100个7），那么A的前两位小数（十分位和百分位）是多少？【难度级别】【解题思路】放缩法。A，即：3.14A3.4285，故A的前两位小数是1、4。【答案】1、4。第五讲 带余除法(1) bqr（rb），化除为乘：bq+r。(2) 高思记号、，xx+x，q，。51、【补充1】1979年,诺贝尔奖获得者李政道教授到中国科技大学讲学,他给少年班的同学出了这样一道算术题：有5只猴子在海边发现一堆桃子,决定第二天来平分.第二天清晨,第一只猴子最早来到,它吃掉一个,恰好可以分成5份,它拿上自己的一份走了。第2,3,4,5只猴子也遇到同样的问题,采用了同样的方法,都是吃掉1个,恰好可以分成5份，自己拿走一份，剩余4份，第5个猴子拿走后剩余4堆。问这堆桃子至少有多少个。【难度级别】【解题思路】N5a+1，4a5b+1，4b5c+1，4c5d+1，4d5e+1，求A。4d5e+15e+5-45(e+1)-4，d(e+1)-1，d+1(e+1)，其它类推。a+1(b+1)，b+1(c+1) ，c+1(d+1)。N5a+15(a+1)-45(b+1)-45(c+1)-4 5(d+1)-45(e+1)4(e+1)至少是256，N的最小值为：5256-4-43121。【答案】3121。52、【第二单元6】一个数除以8得到的商和余数的和为13，求所有满足条件的自然数。【难度级别】【解题思路】令N8q+r，根据题目条件，q+r13。N8(13-r)+r1047r。由于0r7，所以N104-7r有8个解：55、62、69、76、83、90、97、104。【答案】8个：55、62、69、76、83、90、97、104。53、【第二单元7】一个数除以8得到的商加上这个数除以9的余数，其和是13.求所有满足条件的自然数。【难度级别】【解题思路】令N8a+r19b+r2，明显ab。根据题目条件，a+r213。如果不会做，大不了对r2从08进行枚举，枚举过程中发现总是r14。r213-a，8a+r19b+(13-a)，r1139(a-b)，因为0r17，所以a-b1，r113914。从a+r213和0r28得到，5a13，所以N8a+r18a+4有9个解：44、52、60、68、76、84、92、100、108。【答案】9个：44、52、60、68、76、84、92、100、108。54、【第三单元5】请用高思记号表示：在11000中即不是5的倍数也不是7的倍数的数的数量。【难度级别】【解题思路】5的倍数的个数：，7的倍数的个数：。35的倍数的个数：，35的倍数既是5的倍数也是7的倍数。即不是5的倍数也不是7的倍数的个数：1000-+1000-200-142+28686。【答案】1000-+。55、【第三单元7】用x表示不大于x的最大整数，如4.14，2.52，则方程6x-3x-70的解是_。【难度级别】【解题思路】设x表示x的小数，则xx+x，原方程变为：6(x+xx-3x-703x+6x7，x1，6x6，所以x1，3x7，x2。当x1时，3+6x7，x，xx+x1+1；当x2时，32+6x7，x，xx+x2+2；【答案】1，2。56、【学案3】A(+)B(+)，请判断A、B的大小。【难度级别】【解题思路】注意到2011是质数。对于2k2010，比较和的大小。2011kq+r，2010kq+(r-1)，rk，因为2011是质数，所以2011不能整除k，所以r0，有kr10，得到：q，q，2k2010。令+M，则+M，A(+M)(2010+M)1+B(+M+)(2011+M+1)1+比较和，2010与2011互质，同时乘以(20102011)，变为2011M，变为2010(M+1)，再同时减2010M，2011M变为M，2010(M+1)变为2010，很明显M2010，所以。这与“糖水浓度原理”判断的结果相反，原因是：“糖水浓度原理”适用的条件是“分子小于分母”（糖水浓度一定小于100%）。本题分子明显大于分母，从上面的比较过程中也可以看出，如果M2010，则左右，“糖水浓度原理”就成立了。所以，1+1+，即：AB。解释一下“糖水浓度原理”，原糖水浓度为：(XY)，往水里加a份的糖，浓度变为：，因为糖水变甜了，浓度肯定变大了，所以：。 【答案】AB。57、【作业1】有三个自然数a、b、c，已知b除以a得商3余3；c除以a得商9余11；则c除以b，得到的余数是_。【难度级别】【解题思路】b3a+3（a3），c9a+11（a11）。c9a+113（3a）+113（b-3）+113b-9+113b+2所以，c除以b商3余2（b3a+332）。【答案】2。58、【作业3】一个两位数除351，余数是21，这个两位数最小是多少？【难度级别】【解题思路】设这个两位数为b、商为q，则351bq+21(b21)。bq351-2133023511，因为b21，所以b最小为21122。【答案】22。59、【作业4】在算式201311填上合适的除法算式，一共可以组成_个正确的除法算式。【难度级别】【解题思路】2013bq+11（b11），bq2013-112002271113。2002有222216个约数，b为2002大于11的约数。其中：1、2、7、11四个不大于11，其它16-412个约数都11，所以b有12个取值，对应的q唯一确定(q2002b)。【答案】12。5A、【作业5】在、中共出现多少个互不相同的数？【难度级别】【解题思路】先要寻找“分子增加”的规律。从变到，增加了：-2n+1n+(n+1)，增加的就是n与(n+1)的和。孩子不会，可以采用找规律，从到、从到。再找“分子增加”与分母相同这个分界点。从到增加1005+10062011。可见，从到依次增加不小于2011，则商依次增加不小于1。因此, 的整数部分均不相同，共有2011-2005+11007个。从到依次增加不大于2011，则商依次增加不大于1。0，501，502，可见从0到501均会出现，共502个。综上，合计1007+5021509个。【答案】1509。5B、【作业6】用x表示不大于x的最大整数，记xx-x，则算式+的值为_。【难度级别】【解题思路】3，402，则原式23+(3+4+5+401)5+40236+5+12061212+2023995。【答案】。第六讲 同余本讲要学会用数学语言表示同余，“a和b除以m余数相同”表示为：ab(mod m)，m0。重要知识点如下：(1)“和的余数”与“余数的和”同余；“差的余数”与“余数的差”同余；“积的余数”与“余数的积”同余；(2)同余方程常用“同余做差能整除”，ab(mod m)，m0，m|(a-b)，对(a-b)进行分解，一般就可以得到需要求解的结果。(3)一个数与其数字和(mod 9)同余2013年华杯赛决赛最后一题，考的就是这个知识点。(4)剩余系剩余系就是按照除以n的余数从0到n-1分成n类，利用抽屉原理。601、【第一单元1】【答案】7557(mod 9)，9|75-57。602、【第一单元2】【答案】(1)2，(2)3。603、【第一单元3】【答案】(1)3，(2)1或7。604、【第一单元4】(1)求(5412852)9的余数。(2)求9的余数；(3)有一只猴子摘了一大堆香蕉，他把香蕉平分成3小堆，不多不少。又把其中一小堆再平分成5份，发现多了一根。如果他一开始就把香蕉平分成5堆，会多出几根？(4)有一只猴子摘了一大堆香蕉，他把香蕉平分成6小堆，多了2根。又把其中一小堆再平分成5份，发现多了4根。如果他一开始就把香蕉平分成5堆，会多出几根？【难度级别】【解题思路】（1）“积的余数”与“余数的积”同余54125+4+1+21+23(mod 9)，8528+5+2156(mod 9)，5412852360(mod 9)。(2)找规律x1234562的x次方9余248751x7891011122的x次方9余248751可见，9的余数以“2、4、8、7、5、1”6个为一周期循环的，201363353，9的余数为周期内的第3个数，余数是8。(3)3a3(5b+1)15b+3，3a15b+3(mod 5)3(mod 5)，多出3根。(4)6a+26(5b+4)+230b+26，6a30b+26261(mod 5)，多出1根。【答案】(1)0，(2)8，(3)3，(4)1。605、【第一单元5】(1)小明按顺序写出了从1开始的完全平方数1、4、9、除以7的余数，请猜测除以7的余数是多少？(2)求(mod 5)。【难度级别】【解题思路】“和的余数”与“余数的和”同余。(1)除以7，三位一段差系，201313-2114 (mod 7)。相当于2个2013的和，162 (mod 7)。方法二、找规律x1234567x平方7余1422410x891011121314x平方7余1422410可见，7的余数以“1、4、2、2、4、1、0”7个一周期循环，201372874，7的余数为周期内的第4个数，余数是2。(2)483(mod 5)，相当于2013个48的和，(mod 5)。x12343的x次方5余3421x56783的x次方5余3421可见，5的余数以“3、4、2、1”4个为一周期循环，201345031，5的余数为周期内的第1个数，余数是3，即：(mod 5)3,所以(mod 5)3。【答案】(1)2，(2)3。606、【第一单元6】(1)求(mod 13)；(2)已知A2013（2013个2013），求A除以13的余数。【难度级别】【解题思路】(1)“和的余数”与“余数的和”同余，“积的余数”与“余数的积”同余。304(mod 13)，相当于31个30的和，相当于31个4的和，(mod 13)。x1234564的x次方13余43129101x7891011124的x次方13余43129101可见，13的余数以“4、3、12、9、10、1”6个为一周期循环的，31651，13的余数为周期内的第1个数，余数是4，即：(mod 13)4，所以(mod 13)4。315(mod 13)，相当于30个31的和，相当于30个5的和，(mod 13)。x12345的x次方13余51281x56785的x次方13余51281可见，13的余数以“5、12、8、1”4个为一周期循环的，30472，13的余数为周期内的第2个数，余数是12，即：(mod 13)12，所以(mod 13)12。412489(mod 13)。(2)根据13的整除特性，三位一段差系，2013四位，3412，取3个2013即12位为一个周期，3，按三位一段做差，13+320-(132+201)333-3330，所以每12位都可以整除13。20133671，3|2013，正好是整周期，都可以整除，A除以13余0。如果B有2014个2013，求B除以13的余数：201436711，就会剩余1个2013，B2013+2013（2013个2013）2013+A有12671个0，三位一段，1267134671，有偶数段，就剩余那个1，所以13余1。B2013+A111+011 (mod 13)，其实就是剩余的那一个201313的余数，上面只是验证了一下：1后面一堆0除以13的余数是1。【答案】(1)9，(2)0。607、【第二单元1】【答案】(1)1或5，(2)7。608、【第二单元2】(1)用412、133、257除以一个相同的自然数，所得余数相同，这个数最大是几？(2)有三个吉利数888、518、666，用他们分别除以同一个自然数，所得的余数分别是a、a+7、a+10，则这个自然数是多少？(3)有一个整数去除70、110、160所得的3个余数之和为50，那么这个整数是多少？(4) 有一个自然数，分别去除63、90、130都有余数，并且3个余数之和为25，求最大那个余数是多少？【难度级别】【解题思路】同余做差能整除。(1)m|412-133279，m|257-133124，(279,124)(279-124,124)(155,124)(531,2231)31。(2)先变成同余，888、518-7511、666-10656除以这个自然数都余a。m|888-656232，m|656-511145，232829，145529，232和145的公因数有1、29，显然1舍弃，所求自然数为29。(3)70a (mod m) am，110b (mod m)，bm，160c (mod m)，cm。a+b+c50，3ma+b+c50，m16。70+110+160a+b+c (mod m)，34050 (mod m)，m|340-50，m|290，分解290，2902529，m|2529。因为m16，所以m29、58、145、290，但是需要保证a+b+c50。m58时，11052 (mod 58)，b5250，舍弃；m145时，7070(mod 145)，a7050，舍弃；m290时，7070(mod 290)，a7050，舍弃；m29时， 7012(mod 29)，11023(mod 29)，16015(mod 29)，a+b+c12+23+1550，满足。所以，这个整数只有唯一解，m29。(4)63a (mod m) am，90b (mod m)，bm，130c (mod m)，cm。a+b+c25，3ma+b+c25，m8。63+90+130a+b+c (mod m)，28325 (mod m)，m|283-25，m|258，分解258，2582343，m|2343。因为m8，所以m43、86、129、258，但是需要保证a+b+c25。m86时，6363 (mod 86)，a6325，舍弃；m129时，6363 (mod 129)，a6325，舍弃；m258时，6363 (mod 258)，a6325，舍弃；m43时， 6320(mod 43)，904(mod 43)，1301(mod 43)，a+b+c20+4+125，满足。此时，最大那个余数是20。【答案】(1)31，(2)29，(3)29，(4)20。609、【第二单元3】(1)求的末位数字；(2)求证：10|。【难度级别】【解题思路】末位数字就是(mod 10)。(1)20133 (mod 10)，根据“和的余数”与“余数的和”同余，有：(mod 10)（表示2013个2013相加，表示2013个3相加）。3(mod 10)，9(mod 10)，7(mod 10)，1(mod 10)，除以10的余数以“3、9、7、1”4个为一周期循环。201345041，所以除以10的余数为周期内的第1个数“3”，3(mod 10)。(2)设的个位数字为x（0x9），则(mod 10)，(mod 10)。x0、1、5、6时，的个位数字是不变的，的个位数字1个为一周期循环；x4、9时，的个位数字以(4、6)、(9、1)循序，的个位数字2个为一周期循环；x2、3、7、8时，的个位数字4个为一周期循环，例如：的个位数字以(2、4、8、6)循环，的个位数字以(7、9、3、1)循环；统一看出4个为一周期循环，201345031，198944971，(mod 10)，(mod 10)，(mod 10)。(mod 10)，(mod 10)，10|。【答案】(1)3，(2)见上。610、【第二单元4】（口述题）将1到2000的自然数写成一排：12345，这个数除以9的余数是多少？【难度级别】【解题思路】用到“一个数与其数字和(mod 9)同余”。12345(1+2+3+4+5) (mod 9)；(1+2+3+4+5+6+7+8+9)450 (mod 9)。根据“和的余数”与“余数的和”同余，有：181000+1100+1200+1700+18；100010(mod 9)，110011(mod 9)，120012(mod 9)，16(mod 9)，170017(mod 9)；18(10+11+12+16+17+18) (mod 9)；再根据“差的余数”与“余数的差”同余，10-91，11-92，12-93，17-98，18-99；(10+11+12+16+17+18)(1+2+3+8+9) (mod 9)；得到：18(1+2+3+8+9) (mod 9)。 同理，从前往后每9个连续数都与(1+2+3+8+9)(mod 9)同余，余数为0，即可以整除9。9|1998，所以123451998都可以整除9，剩余。(1+2)3 (mod 9)，所以整个数12345除以9的余数是3。【答案】3。611、【第二单元5】(1)一个三位数是它数字和的33倍，求此数；(2)一个五位数是它数字和的2013倍，求此数；(3)一个五位数是它数字和的2008倍，求此数；【难度级别】【解题思路】看到数字和，想到mod 9。(1)设此数为，则33(a+b+c)，(a+b+c) (mod 9)。9|-(a+b+c)，9|33(a+b+c)-(a+b+c)，9|32(a+b+c)，因为(9,32)1，所以：9|(a+b+c)，a+b+c9k，k1、2、3。k1时，a+b+c9，33(a+b+c)339297，但是2+9+718与a+b+c9矛盾，舍弃；k2时，a+b+c18，33(a+b+c)3318594，5+9+418与a+b+c18吻合，是解；k3时，a+b+c27，33(a+b+c)3327891，但是8+9+118与a+b+c27矛盾，舍弃。当然也可以：a+b+c27，9993327。(2)设此数为，则2013(a+b+c+d+e)，(a+b+c+d+e) (mod 9)，9|-(a+b+c+d+e)，9|2013(a+b+c+d+e)-(a+b+c+d+e)，9|2012(a+b+c+d+e)，因为(9,2012)1，所以：9|(a+b+c+d+e)，a+b+c+d+e9k，k1、2、3、4、5。k1时，a+b+c+d+e9，2013(a+b+c)2013918117，但是1+8+1+1+718与a+b+c+d+e9矛盾，舍弃；k2时，a+b+c+d+e18，20131836234，3+6+2+3+418与a+b+c+d+e18吻合，是解；k3时，a+b+c+d+e27，20132754351，但是5+4+3+5+118与a+b+c+d+e27矛盾，舍弃；k4时，a+b+c+d+e36，20133672468，但是7+2+4+6+827与a+b+c+d+e36矛盾，舍弃；k5时，a+b+c+d+e45，2013459058599999，舍弃。综上，此五位数为36234。(3)设此数为，则2008(a+b+c+d+e)，(a+b+c+d+e) (mod 9)，9|-(a+b+c+d+e)，9|2008(a+b+c+d+e)-(a+b+c+d+e)，9|2007(a+b+c+d+e)，因为9|2007，所以(a+b+c+d+e)为a0的任意值，又因为a1，所以1a+b+c+d+e45。假设数字和(a+b+c+d+e)数字和2008倍是否五位数实际数字和(a+b+c+d+e)数字和是否相等1200810240161136024124803213510040561204815714056168160641791807218102008010112208820122409621132610413142811214153012061632128