3.3.两条直线的交点与距离公式

3 3 1两条直线的交点坐标 3 3 直线的交点与距离公式 问题 如何根据两直线的方程系数之间的关系来判定两直线的位置关系 对于两直线l1 A1x B1y C1 0 l2 A2x B2y C2 0 1 l1 l2 A1B2 A2B1 0且A1C2 A2C1 0 或B1C2 B2C1 0 2 l1 l2 A1A2 B1B2 0 3 l1与l2重合 A1B2 A2B1 0且A1C2 A2C1 0 或B1C2 B2C1 0 知识梳理 方程组解的情况与方程组所表示的两条直线的位置关系有何对应关系 例1 求下列两条直线的交点 l1 3x 4y 2 0 l2 2x y 2 0 例2 求经过原点且经过以下两条直线的交点的直线方程 l1 x 2y 2 0 l2 2x y 2 0 解 解方程组 l1与l2的交点是M 2 2 l1与l2的交点是 2 2 设经过原点的直线方程为 y kx 把 2 2 代入方程 得k 1 所求方程为 y x 题型三综合问题 例3 求证 不论m取什么实数 直线 m 1 x 2m 1 y m 5总过某一定点 分析 由题意知 不论m取什么值 直线总是通过定点 也就是说与m的取值无关 因此可将方程变形为m的方程 令m的系数为0 解方程组得出定点坐标 证明 方法1 把原方程变形得 x 2y 1 m x y 5 0 此式对于m的任意实数都成立 x 2y 1 0 x y 5 0 x 9 y 4 即直线过定点 9 4 例3 求直线3x 2y 1 0和2x 3y 5 0的交点M的坐标 并证明方程3x 2y 1 2x 3y 5 0 为任意常数 表示过M点的所有直线 不包括直线2x 3y 5 0 结论 A1x B1y C1 A2x B2y C2 0是过直线A1x B1y C1 0和A2x B2y C2 0的交点的直线系方程 例4 判断下列各对直线的位置关系 如果相交 求出交点的坐标 1 l1 x y 0 l2 3x 3y 10 0 2 l1 3x y 4 0 l2 6x 2y 0 3 l1 3x 4y 5 0 l2 6x 8y 10 0 例5 求经过两条直线x 2y 1 0和2x y 7 0的交点 且垂直于直线x 3y 5 0的直线方程 解法一 解方程组 这两条直线的交点坐标为 3 1 又 直线x 3y 5 0的斜率是 1 3 所求直线的斜率是3 所求直线方程为y 1 3 x 3 即3x y 10 0 解法二 所求直线在直线系2x y 7 x 2y 1 0中 经整理 可得 2 x 2 1 y 7 0 解得 1 7 因此 所求直线方程为3x y 10 0 3 3 2两点间的距离 在直角 P1QP2中 特别地 原点O 0 0 与任意一点P x y 的距离为 例1 已知点A 1 2 B 2 在x轴上求一点P 使 并求的值 例2 证明平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和 C a b c y 建立坐标系 用坐标表示有关的量 把代数运算结果 翻译 成几何关系 进行有关的代数运算 x y O 点到直线的距离 点到直线的距离公式 3 3 3点到直线的距离 当A 0或B 0时 直线方程为y y1或x x1的形式 Q Q x0 y1 x1 y0 例2已知点 求的面积 解 如图 设边上的高为 则 x O 1 1 2 3 边上的高就是点到的距离 边所在直线的方程为 即 点到的距离 因此 解 例2已知点 求的面积 x O 1 1 2 3 两条平行直线间的距离是指夹在两条平行直线间的公垂线段的长 3 3 4两条平行直线间的距离 例7 求证 两条平行线l1 Ax By C1 0与l2 Ax By C2 0的距离是 例2 求平行线2x 7y 8 0与2x 7y 6 0的距离 两平行线间的距离处处相等 在l2上任取一点 例如P 3 0 P到l1的距离等于l1与l2的距离 直线到直线的距离转化为点到直线的距离 2 两条平行线Ax By C1 0与Ax By C2 0的距离是