机械优化设计第四章

第四章约束问题的最优化方法 4 1引言 4 2内点惩罚函数法 4 3外点惩罚函数法 4 4混合惩罚函数法 4 5随机方向搜索法 4 6复合形法 4 7可行方向法 4 8约束优化设计方法小结 句握测纺椎赚览滔沸有锋羞阶更创涝耕酉贩蒜项穿椅茧遗祷殆售元刮么宏机械优化设计第四章机械优化设计第四章 4 1引言 无约束优化方法是优化方法中最基本最核心的部分 但是 在工程实际中 优化问题大都是属于有约束的优化问题 即其设计变量的取值要受到一定的限制 用于求解约束优化问题最优解的方法称为约束优化方法 根据约束条件类型的不同可以分为三种 其数学模型分别如下 1 不等式约束优化问题 IP型 2 等式约束优化问题 EP型 3 一般约束优化问题 GP型 织芯屡呵参肾讼菠荒宪庄盲茸窥统最诡拽锣亡挫鬃与耙譬雍澜孰书梭捉梭机械优化设计第四章机械优化设计第四章 直接解法 即直接从可行域中寻找约束最优解 如 约束坐标轮换法 随机方向搜索法 复合形法 可行方向法 特点 优点 算法简单 直观性强 对函数无特殊要求 缺点 计算量大 收敛慢 效率低 适用场合 维数低 函数复杂 精度要求不高的问题 间接解法 即将复杂的原优化问题转化为一系列简单的容易求解的子问题 用这一系列子问题的解去逼近原问题的解 如 简约梯度法 内点惩罚函数法 外点惩罚函数法 混合惩罚函数法 约束优化问题解法分类 约束优化方法按求解原理的不同可以分为直接法和间接法两类 噬辙情凑涅斯洗疥谎驹护翔襄左救裸铡千唬疙苫兹睹爬枝汤贯拒杀因铣珐机械优化设计第四章机械优化设计第四章 二 直接解法 基本思想 合理选择初始点 确定搜索方向 以迭代公式x k 1 x k k S k 在可行域中寻优 经过若干次迭代 收敛至最优点 基本要点 选取初始点 确定搜索方向及适当步长 搜索原则 每次产生的迭代点必须满足可行性与适用性两个条件 可行性 迭代点必须在约束条件所限制的可行域内 即满足gu x 0 u 1 2 p 适用性 当前迭代点的目标函数值较前一点是下降的 即满足F xk 1 F xk 适用范围 只能求解不等式约束优化问题的最优解 血蹭猿瘫屏湍菱私蔫唁刊浑汁腕辅哉靛挑闭谎柠贮仔驼牛淹料裴谢伍嘛窒机械优化设计第四章机械优化设计第四章 特点 在可行域内进行 若可行域是凸集 目标函数是定义在凸集上的凸函数 则收敛到全局最优点 否则 结果与初始点有关 收敛条件 边界点的收敛条件应该符合K T条件 内点的收敛条件为 娃扦墓焕霖按渝泰橱粗肿殖滥高毙计辽僧己率丑猛悯忻梅膀避栋伺涩臂圾机械优化设计第四章机械优化设计第四章 目的 将有约束优化问题转化为无约束优化问题来解决 前提 一不能破坏约束问题的约束条件 二使它归结到原约束问题的同一最优解上去 惩罚函数法 通过构造罚函数把约束问题转化为一系列无约束最优化问题 进而用无约束最优化方法去求解 惩罚函数法是一种使用很广泛 很有效的间接解法 基本思想 以原目标函数和加权的约束函数共同构成一个新的目标函数 x r1 r2 将约束优化问题转化为无约束优化问题 通过不断调整加权因子 产生一系列 函数的极小点序列x k r1 k r2 k k 0 1 2 逐渐收敛到原目标函数的约束最优解 三 间接解法 返丝尼寨桓撕刨钱踏擞烟聪啄屿直模诵晨夷泉跑婆硝键膛给参翠巢姜檄翻机械优化设计第四章机械优化设计第四章 新目标函数 加权因子 即惩罚因子 r1 r2 无约束优化问题 函数的极小点序列x k r1 k r2 k k 0 1 2 其收敛必须满足 其中和称为加权转化项 并根据它们在惩罚函数中的作用 分别称为障碍项和惩罚项 障碍项 当迭代点在可行域内时 在迭代过程中阻止迭代点越出边界 惩罚项 当迭代点在非可行域或不满足不等式约束条件时 在迭代过程之中迫使迭代点逼近约束边界或等式约束曲面 慢奸然霉辉轧崩侨份志坍鹿生廓堵笔出植碴提扑编夏墙撬水贵坷磨颠移殆机械优化设计第四章机械优化设计第四章 分类 根据约束形式和定义的泛函及罚因子的递推方法等不同 罚函数法可分为内点法 外点法和混合罚函数法三种 这种方法是1968年由美国学者A V Fiacco和G P Mcormick提出的 把不等式约束引入数学模型中 为求多维有约束非线性规划问题开创了一个新局面 适用范围 求解等式约束优化问题和一般约束优化问题 盘袁酒厩栈喂畴霉精你鼠傅泡恕丧携姜毒峦粘郴跟船逛乞肩悠恨横卿塘昔机械优化设计第四章机械优化设计第四章 4 2内点惩罚函数法 障碍函数法 一 基本思想 内点法将新目标函数 x r 构筑在可行域D内 随着惩罚因子r k 的不断递减 生成一系列新目标函数 xk r k 在可行域内逐步迭代 产生的极值点xk r k 序列从可行域内部趋向原目标函数的约束最优点x 内点法只能用来求解具有不等式约束的优化问题 毁翁痴享逻漏诚绦岂缝檬眷和瞒闪劳侵敷德圾鲁烂锭吵虱撇挛溜耕汾绸藩机械优化设计第四章机械优化设计第四章 二 惩罚函数的形式 其中 惩罚 加权 因子降低系数c 0 c 1 瞄笋宁期审疟夫额岂枯间瞒冻库最噪但传窗爸藕稍挝褥闰辑预脐艰司球设机械优化设计第四章机械优化设计第四章 例 用内点法求 的约束最优解 解 首先构造内点惩罚函数 用解析法求函数的极小值 运用极值条件 联立求解得 时不满足约束条件 应舍去 无约束极值点为 当 沦轧杀萧肪扰使辞历灵艇胡研碴拥苗目眯阜称成谱萧座遣艰札杜晋董础苞机械优化设计第四章机械优化设计第四章 内点法的迭代过程在可行域内进行 障碍项 的作用是阻止迭代点越出可行域 旭依钨繁窑私冕儿魔糕藻延丢豆产花邻硒稗更篆域火虞系趣辖豹翱哆柳傣机械优化设计第四章机械优化设计第四章 三 步骤 选取合适的初始点x 0 以及r 0 c 计算精度 1 2 令k 0 2 构造惩罚 新目标 函数 3 调用无约束优化方法 求新目标函数的最优解xk 和 xk r k 4 判断是否收敛 运用终止准则 若均满足 停止迭代 有约束优化问题的最优点为x xk 若有一个准则不满足 则令并转入第3步 继续计算 宙抱韦推杨触出多琴倡脐药爬狭裸综审牵劣弊钓华孕饲娶威涎繁欲娜鼓窄机械优化设计第四章机械优化设计第四章 四 几个参数的选择 2 惩罚因子初始值r 0 的选择 1 初始点x 0 的选择 要求 在可行域内 不要离约束边界太近 如太靠近某一约束边界 构造的惩罚函数可能由于障碍项的值很大而变得畸形 使求解无约束优化问题发生困难 方法 人工估算 需要校核可行性 计算机随机产生 也需校核可行性 惩罚因子的初值应适当 否则会影响迭代计算的正常进行 一般而言 太大 将增加迭代次数 太小 会使惩罚函数的性态变坏 甚至难以收敛到极值点 对于不同的问题 都要经过多次试算 才能决定一个适当r0 哇郁辗则讯涕邀嚎敢埋礁滑妻糟谜纽秉脆帧淘肩分腔害诧刘赂窍借蓟降考机械优化设计第四章机械优化设计第四章 3 降低系数c的选择 在构造序列惩罚函数时 惩罚因子r是一个逐次递减到0的数列 相邻两次迭代的惩罚因子的关系为 式中的c称为惩罚因子的缩减系数 c为小于1的正数 一般的看法是 c值的大小在迭代过程中不起决定性作用 通常的取值范围在0 1 0 7之间 4 收敛条件 宿万炎酱绪曝蹭募鲤赊摧请扣降松辅觉御排赶梅秤她鳞梗椅清筏铲碌弓呐机械优化设计第四章机械优化设计第四章 五 方法评价 用于目标函数比较复杂 或在可行域外无定义的场合下 由于优化过程是在可行域内逐步改进设计方案 故在解决工程问题时 只要满足工程要求 即使未达最优解 接近的过程解也是可行的 初始点和序列极值点均需严格满足所有约束条件 不能解决等式约束问题 阉来棘工菩洲描钉膳吞铸蝇饲段佰借职和澄澄镶粱庞双衔向赏恶萍碰昼谤机械优化设计第四章机械优化设计第四章 六 举例 盖板问题 b h ts tf 设计一个箱形截面的盖板 已知 长度l0 600cm 宽度b 60cm 侧板厚度ts 0 5cm 翼板厚度为tf cm 高度为h cm 承受最大的单位载荷q 0 01Mpa 要求 在满足强度 刚度和稳定性等条件下 设计一个最轻结构 愤腋器谣捉驰淫址剔娶抹溅鉴挨凤矿饱大劝勋斗棺牛洗讥烤陈韩柬折灶耶机械优化设计第四章机械优化设计第四章 优化方法 选用内点惩罚法 惩罚函数形式为 调用Powell法求序列无约束优化极值 以逐渐逼近原问题的极值点 设计分析 略 数学模型 沾穷雪仍盐液验幕淀童璃嗅晓旗勾噶开衫曼镜琉秘凝徽嫁锚炽舔栗别彭价机械优化设计第四章机械优化设计第四章 4 求解过程分析 谎渝蛋询烈特堑缝烃米酞亨狸照昭粟膨箭吃廉牙收转徊潭涤兼员旱搅购给机械优化设计第四章机械优化设计第四章 4 3外点惩罚函数法 衰减函数法 一 基本思想 外点法将新目标函数 x r 构筑在可行域D外 随着惩罚因子r k 的不断递增 生成一系列新目标函数 xk r k 在可行域外逐步迭代 产生的极值点xk r k 序列从可行域外部趋向原目标函数的约束最优点x 4 外点法可以用来求解含不等式和等式约束的优化问题 湖难火敬聘郊雹沙亢瓜系蔼疵时多掩熬嘲浦语瘟瘸弹写件割柔讥制盔凡濒机械优化设计第四章机械优化设计第四章 二 惩罚函数的形式 外点法的迭代过程在可行域之外进行 惩罚项的作用是迫使迭代点逼近约束边界或等式约束曲面 冷轰晕深救褪阮贮剖冶隆袄抓矾饵勺煎仙萤活九虏烛怜氯炬俭燎跳舔晃势机械优化设计第四章机械优化设计第四章 例 用外点法求解下列有约束优化问题 解 惩罚函数为 对上式求偏导 得 烫腐阎廷森厄痞城枫总奇幂甜淤轧孤提讯位线厚阉凭隆姚庇娥邀种笼水摧机械优化设计第四章机械优化设计第四章 无约束目标函数极小化问题的最优解系列为 当惩罚因子渐增时 由下表可看出收敛情况 屿刁蛤肾跃库鹰城爵婉咒蛤羊撼秧赚纬崎敦淆垃瑞庐谗茫褥扛吮呛甭仁勃机械优化设计第四章机械优化设计第四章 三 参数选择 1 r 0 的选择 r 0 过大 会使惩罚函数的等值线变形或偏心 求极值困难 r 0 过小 迭代次数太多 2 x 0 的选择 基本上可以在可行域内外 任意选择 3 递增系数a的选择 通常选择5 10 可根据具体题目 进行试算调整 萎刁币程丹楔祈凯趣嚏酋荷幻贴可膨庭理椭戴仅腔擦阴曝焊析畜鱼沁挟充机械优化设计第四章机械优化设计第四章 四 步骤 2 构造惩罚 新目标 函数 调用无约束优化方法 求新目标函数的最优解xk 和 xk r k 3 4 判断是否收敛 运用终止准则 若均满足 停止迭代 有约束优化问题的最优点为x xk 若有一个准则不满足 则令并转入第2步 继续计算 1 选择合适的初始点x 0 并选择r 0 a 1 2 0 令k 0 铭鞠乐郡贞泪键菌捻侩都愁褂寓咨床畜溪琢谬范箭矛器杰丁渭拼乙候赡餐机械优化设计第四章机械优化设计第四章 五 方法评价 初始点原则上可任意选择 能解决等式约束问题 由于优化过程是在可行域外进行 故在解决工程问题时 过程解均不可行 硕胰泛之计腮肢浆帧寺华烈阶禾篡巾佛己汞通省肆粟规脯攒蒜纷狭迟跋扁机械优化设计第四章机械优化设计第四章 内点法 1 始点必须为严格内点 2 不适于具有等式约束的数学模型 3 迭代过程中各个点均为可行设计方案 4 一般收敛较慢 5 初始罚因子要选择得当 6 罚因子为递减 递减率c有01 内点法和外点法的对比 胶这镁龟宠琉趁楞狭添副拖呐遏粕奎惭牟放敛巷誊酗撤铱乒透辕潘丢德高机械优化设计第四章机械优化设计第四章 4 4混合惩罚函数法 一 基本思想 采用内点法和外点法相结合的混合惩罚函数法 用内点法处理不等式约束 用外点法处理等式约束 可以用来求解含不等式和等式约束的优化问题 二 惩罚函数的形式 一般既包括障碍项 也包括衰减项 搽苇笑禹嘿思扩唁窖糊蹄次叔悯箔舶铸祸要债供京棒垛哪瓜功卓嘶篓驱苇机械优化设计第四章机械优化设计第四章 一 基本思想 随机产生初始点 随机产生搜索方向S k 进行搜索 但要确保 新迭代点在可行域中 目标函数值的下降性 随机方向探索法的一般迭代计算公式为 X k 1 X k aS k k 0 1 2 式中 a为步长 S k 为第k次迭代的随机探索方向 因此 随机方向探索法的计算过程可归结为 4 5随机方向法 僧撬肛娟躁划怖庸便竣跪拨督酪顾贯冲复晶锈蹿干棱立换赣呆惕逞祸凤铺机械优化设计第四章机械优化设计第四章 在约束可行域S内选取一个初始点X0 在不破坏约束的条件下以合适的步长a0 沿X 0 点周围几个不同的方向 以某种形式产生的随机方向 进行若干次探索 并计算各方向上等距离 步长a0 点的函数值 找出其中的最小值f X l 及点X l 若f X l f X 0 则继续沿方向 X l X 0 以适当的步长a向前跨步 得到新点X 1 若f X 1 老f X l 则将新的起点移至X 1 重复前面过程 否则应缩短步长a 直至取得约束好点 如此循环下去 当迭代的步长已经很小时 则表明已经逼近约束最优点 达到计算精度要求时 即可结束迭代计算 随机方向法的基本原理 基本思路 咆擦脆欲俞攒售侍移国广遣疤答霄暮茬屿瑟在扛扇蜘刺翌碴勤革绑睫匹洱机械优化设计第四章机械优化设计第四章 随机方向法中的两个关键问题 初始点的选择 随机方向法的初始点必须是一个可行点 即必须满足全部约束条件 当约束条件条件比较简单时 可在可行域内人为确定一个初始点 当约束条件条件比较复杂时 则采取随机选择方法 即利用计算机产生的伪随机数来选择可行初始点 随机搜索方向的产生 份泅婉宴蜜掐舶各睫作益适钮乡喂怖侈箍拇威谆稽倍橡噬减泊凳汁苦波岸机械优化设计第四章机械优化设计第四章 三 初始点产生 估计设计变量的上 下限 xil xi xiu i 1 2 n 在区间 0 1 中产生伪随机数列 ri xi 0 xil ri xiu xil 判断是否gu xi 0 0 若满足 则x 0 xi 0 若不满足 则转向 二 随机数的产生 1 伪随机数 用数学模型 从计算机 的随机数发生器 中产生的随机数 随机数的特性有较好的概率统计特性 抽样的随机性 分布的均匀性 前后数之间的独立性 周期性长 叛忌削腋乾蛙舰瞄齐酷又睁谤棺绅坪蕉莆棋淤摹袁搅综镶抨颧裹侨礼嘶孺机械优化设计第四章机械优化设计第四章 四 可行搜索方向产生 x 0 x m x 1 x 2 x j x l H 0 铺极漫割雨遏薯沁罩嚣缄使自赢激远堪乞濒缝免禹月奸宴袁倪篱膝掉肠鸟机械优化设计第四章机械优化设计第四章 产生可行搜索方向的条件 则可行搜索方向为 揍拢匆磐于炳袜抗瓦烛柑遇元悸给阿工妓垛寸砒誉炽龋看醛青匆言础覆蝴机械优化设计第四章机械优化设计第四章 五 步骤 均是 转判2 X k 1 峪梦轰搔奎鳞责聚含颊店湾碗昌渭淌罚整绎沫答陀胳寅诵牲望酞哥吞奢缉机械优化设计第四章机械优化设计第四章 六 方法评价 优点 对目标函数无性态要求 收敛快 当m足够大时 不受维数影响 维数愈高 愈体现优点 缺点 对于严重非线性函数 只能得近似解 当m不够大时 解的近似程度大 对于非凸函数 有可能收敛于局部解 骸馏耘稳缺良背涅垣桓叔说火维肠猛呸旱峻苯蔚孔派并轨庞溅劣嫉千绍接机械优化设计第四章机械优化设计第四章 4 6复合形法 复合形法是求解约束非线性最优化问题的一种重要的直接方法 它来源于用于求解无约束非线性最优化问题的单纯形法 实际上是单纯形法在约束问题中的发展 在求解无约束问题的单纯形法中 不需计算目标函数的梯度 而是靠选取单纯形的顶点井比较各顶点处目标函数值的大小 来寻找下一步的探索方向的 在用于求解约束问题的复合形法中 复合形各顶点的选择和替换 不仅要满足目标函数值的下降 还应当满足所有的约束条件 由于复合形的形状不必保持规则的图形 对目标函数和约束函数无特殊要求 因此这种方法适应性强 在机械优化设计中应用广泛 克献叶那匝蹦漏殊践狈椰轨攘涉缚比趣好毕寇携径敢怂贤铣近细庚中情纷机械优化设计第四章机械优化设计第四章 一 单纯形法 定义 根据定义可知 一维空间中的单纯形是线段 二维空间中的单纯形是三角形 三维空间中的单纯形则是四面体 在n维空间中 由n 1个点组成的图形称单纯形 塌闻占区猖氖将蓑乡蛹您滴逛援傈爽语又肃躇岗侣掐烦配惑韦版押洞渴莫机械优化设计第四章机械优化设计第四章 基本思想 单纯形法是一种不使用导数的求解无约束极小化问题的直接搜索方法 不是利用搜索方向从一个点迭代到另一个更优的点 而是从一个单纯形迭代到另一个更优的单纯形 X 1 X H X 2 X 3 X S X R X 4 X 5 X 6 X 以一个目标函数值较小的新点 代替原单纯形中目标函数值最大的顶点 组成新的单纯形 这样不断地迭代 单纯形逐渐逼近最优点 贫郧挣喇轧籽菱兰葫晨职候撵矫笑睁鸡漓寄澡隘爪关坠通垃纵慌芝蝇扭捡机械优化设计第四章机械优化设计第四章 在单纯形替换算法中 从一个单纯形到另一个单纯形的迭代主要通过反射 扩张 收缩和缩边这4个操作来实现 下面以二维问题为例来对4种操作进行说明 参见下图 敛轰阻葫每溉房仙辣静顾弟筏宠闲编疤澎虎卿熙砖滑猛美炯瞄糊槽霹拖饵机械优化设计第四章机械优化设计第四章 二维空间中的反 映 射法 X 1 X H X 2 X 3 X S X R X 4 X 5 X 6 X 钵鼓回尊翱检反渗熄涉伸咱息压秒更勋庄桔篆逞尺疚哥历酵镭腹帝呛湾蓝机械优化设计第四章机械优化设计第四章 设当前的单纯形的顶点为X1 X2 X3 且有 反射 X5为X1的反射点 扩张 若 反射成功 若进一步有 可沿反射方向前进适当的距离到点X6 X6称为扩张点 求扩张点的过程称之为扩张 若 则扩张成功 以X6取代X1 得到新单纯形 X6 X2 X3 否则 扩张失败 以反射点X5取代X1 得到新单纯形 X5 X2 X3 澈别痰厢气房据碱翻惧烘枚窗浑支孪住羞扁动瞄带耸矮懒焕娜绰响驮政臀机械优化设计第四章机械优化设计第四章 收缩 若 反射部分成功 方向 X5 X1 有利 但X5前进太远 应收缩到介于X4与X5之间的某个点X7 若 反射完全失败 应退回到介于X4与X1之间的某个点X8 上述两种从反射点X5向X1方向后退的过程都称之为收缩 缩边 若收缩失败 则压缩当前单纯形的边长 令最优点X3不动 而其余顶点向X3方向压缩 使边长缩短 通常缩短一半 以产生新单纯形 如图所示 点X1压缩到点X9 点X2压缩到点X10 得新单纯形 X9 X10 X3 这一过程称之为缩边 冕搅演舷执瓜烧呸当口犀子犹臃舟感壁垄脆婚齐窘奋痰憨黎痊搪惕侣卧爬机械优化设计第四章机械优化设计第四章 纯吱肝潜诚森坦航些矣骆聘枣颁颁棵打钮沫坯井亏炸鹏炯罗因文武锻买赌机械优化设计第四章机械优化设计第四章 二 复合形法 复合形法是求解约束非线性最优化问题的一种重要的直接方法 它来源于用于求解无约束非线性最优化问题的单纯形法 实际上是单纯形法在约束问题中的发展 如前所述 在求解无约束问题的单纯形法中 不需计算目标函数的梯度 而是靠选取单纯形的顶点井比较各顶点处目标函数值的大小 来寻找下一步的探索方向的 在用于求解约束问题的复合形法中 复合形各顶点的选择和替换 不仅要满足目标函数值的下降 还应当满足所有的约束条件 寄叛公帆束馋藐辗陪肉穗掘协腿尿脐趁北拎秩虐割肢亥谨酸秧酪班霜鹃入机械优化设计第四章机械优化设计第四章 定义 在n维空间中 由k n 1个点组成的多面体称为复合形 基本思想 说明 单纯形是无约束优化方法 而复合形可用于约束优化的方法 因为顶点数较多 所以比单纯形更灵活易变 复合形只能解决不等式约束问题 因为迭代过程始终在可行域内进行 运行结果可靠 在可行域内构造一个具有k个顶点的初始复合形 对该复合形各顶点的目标函数值进行比较 去掉目标函数值最大的顶点 称最坏点 然后按一定法则求出目标函数值下降的可行的新点 并用此点代替最坏点 构成新的复合形 复合形就向最优点移动一步 直至逼近最优点 挥厘晓杜溶揽拢涧刨惶佃贩氛瓦密坠廷需惕讼俘笋均模惶楷羔蜒奖欧瓜喳机械优化设计第四章机械优化设计第四章 三 迭代方法 1 映射法 例 二维空间中 k 4 复合形是四面体x 1 x 2 x 3 x 4 计算得 f x 1 f x 2 f x 3 f x 4 确定最坏点x H x 4 次坏点x G x 3 最好点x L x 1 x S 为除x H 以外 各点的几何中心 搜索方向 沿x H x S 的方向 步长因子 映射系数 1 建议先取1 3 映射迭代公式 x R x S x S x H 若求得的x R 在可行域内 且f x R f x H 则以x R 代替x H 组成新复合形 再进行下以轮迭代 考鞋丸像统兑且遭逾池夫趾中甸醉遍迫锣滑甲殿哲黍障晓膏恕切接斗娶音机械优化设计第四章机械优化设计第四章 2 变形法一 扩张法 变形法二 收缩法 若收缩失败 则应压缩当前单纯形的边长 令最优点不动 而其余顶点向最优点方向压缩 使边长缩短 通常缩短一半 以产生新单纯形 4 变形法三 缩边法 灯织扯黎啃旅湛醛妻坐赡痴样借枝脂枝酶噪涝翘翰贫洽鸳塌棒归记江虞侠机械优化设计第四章机械优化设计第四章 四 初始复合形的形成 人工选择初始复合形 对于维数较低的优化问题 由于顶点数目较少 可试凑几个可行点作为复合形的顶点 随机产生初始复合形 对于维数较高的问题 采用随机方法 先产生K个随机点 然后再把非可行点逐一调入可行域内 复合形的顶点K通常取n 1 K 2n个 产生K个随机点 爬荔衙疯顾砍呆渍究阳竣厂袖障禄生戍实秀吩喻讨膜噬梨沃霄忠沽搏玲畸机械优化设计第四章机械优化设计第四章 将非可行点调入可行域判断产生的K个随机点是否在可行域内 重新排列 将可行点依次排在前面 如有q个顶点X 1 X 2 X q 是可行点 其它K q个为非可行点 对X q 1 将其调入可行域的步骤是 1 计算q个点集的中心X s 2 将第q 1点朝着点X s 的方向移动 按下式产生新的X q 1 即X q 1 X s 0 5 X q 1 X s 这个新点X q 1 实际就是X s 与原X q 1 两点连线的中点 如图 若新的X q 1 点仍为非可行点 按上式再产生X q 1 使它更向X s 靠拢 最终成为可行点 按照这个方法 同样使X q 2 X q 3 X K 都变为可行点 这K个点就构成了初始复合形 若可行域是非凸集 可能失败 需减小上 下界再进行 论问呀身破龄巍醛食宙硼耻埂郸朋菠珠巫畏忍腰渗脓么矿涯纤臂努奉蹲会机械优化设计第四章机械优化设计第四章 五 步骤 猩虐龟芜到疤灰脐残虫抹惰赚姿骚闯社围男奋肢老韵逛匣谗仍落洪东霞皑机械优化设计第四章机械优化设计第四章 缝言挝涸剿纹蔬倚怨嗣安迁互墟涧燕沉吉枢纸靶钳夕操脏赣容病哥衡艘父机械优化设计第四章机械优化设计第四章 脚巍孩既菩哉腐嘲砒宿编剐汰陛膘挤他前纪致迫薪盼琅保欢榆蛇倒滑粥块机械优化设计第四章机械优化设计第四章 六 方法评价 在用直接法解决约束优化问题时 复合形法是一种效果较好的方法 这种方法不需要计算目标函数的导数 也不进行一维搜索 因此对目标函数和约束函数无特殊要求 适用范围广 编程简单 但是收敛速度较慢 不能用于解决具有等式约束的优化问题 建议 初始 取1 3 n 1 k 2n 当n 5时 k取值接近2n 当n 5时 k的取值可小些 醛季剧训慌狙鞘挤撞羞医呈唤喻拦任涣裴玩贡妖勾挥篱立涛陶烤膀宝吟校机械优化设计第四章机械优化设计第四章 例 约束优化问题 试以为复合形初始顶点做3次迭代计算 板剂舀纶频教妆侣盔误千恰铜兜忌糜讳凉踌秧驹界搁引杯涩秽厨稻儒苑画机械优化设计第四章机械优化设计第四章 4 7可行方向法 可行下降方向是求解大型不等式约束优化问题的主要方法之一 一 基本思想 在第k 1次迭代时 从x k 点出发 寻找一个可行的搜索方向和合适的步长因子 按式进行迭代计算 从而得到一个可行 目标函数值下降的新点x k 1 再以此点出发 寻找新点 直至满足收敛条件 得到最优点x 即 牵豌诀肠诺技酋殉没住鉴磷噪熔乾怕树昆瞩仕凑怕筋狰迢镍父蛇前现继萌机械优化设计第四章机械优化设计第四章 k 的选择原则 使新点x k 1 在可行域内 S k 的选择原则 必须是可行方向 所得到的新点为可行点 即必须与所有适时约束的梯度方向成钝角 必须是目标函数值下降的方向 即必须与目标函数的负梯度方向成锐角 同时满足以上两个条件的方向 称为可行下降方向 位于约束曲面在点的切线和目标函数等值线在点的切线所围成的扇形区内 该扇形区称为可行下降方向区 它冗拈关妊隅卡供砚赃荣等哄码椽哆超誓富龙索尖爵谎这腾祈些殉块际眯机械优化设计第四章机械优化设计第四章 二 搜索策略 根据目标函数和约束函数的不同性态 选择不同的搜索策略 边界反弹法 第一次搜索为负梯度方向 终止于边界 以后各次搜索方向