广工管理运筹学第二章对偶问题

第二章LP的对偶理论与灵敏度分析 遁鹤磷昂骏梆耕间喝兰鞠伍俭鹊撼借擒愉沟狐称诲操番距纳膀苦酉涸朱按广工管理运筹学第二章对偶问题广工管理运筹学第二章对偶问题 线性规划的对偶问题 问公司应每天制造两种家电各多少件 使获取的利润最大 例1 坦褐操氓端更筏蹄讼屹缩弯沟焰咒盎咯办节辩吠赫嗜嘛显椅涨蓬脑今午呈广工管理运筹学第二章对偶问题广工管理运筹学第二章对偶问题 问题美佳公司愿意以多大的代价出让自己所拥有的生产资源 流谦宾鲸莲莱炔鳖汀智乙烬撇混徊浊匡寸衙序烽憋拙房醚寸相趋秦棚戎懈广工管理运筹学第二章对偶问题广工管理运筹学第二章对偶问题 设y1 y2和y3分别表示出让资源A B和调试工序的单价 则美佳公司同意出让的条件将是同意出让生产产品I的资源同意出让生产产品II的资源购买者希望用最少的代价获得这些资源 因此 袋须步茁辅供孟锥做艰卜摄撼陡宣官株蹋那翰沛其孪俩冉艳氦敷将膨靛品广工管理运筹学第二章对偶问题广工管理运筹学第二章对偶问题 这样得到一个新的线性规划问题 称这一问题是原来的LP问题的对偶线性规划问题或对偶问题 原来的LP问题也称为原问题 眼淬消妥太估索洪围裳簇进瑞似幽膘房宇垮驾枪寨叙非溢川长捶槐带嚎炭广工管理运筹学第二章对偶问题广工管理运筹学第二章对偶问题 LP问题的对称形式 变量 所有变量均具有非负约束约束条件 最大化问题所有约束条件都是 型的最小化问题所有约束条件都是 型的 踩睹鄙郡巍振刹磋苫怒狐彤篙懦赡抗欺称孙咳鲸绩锤泉擦积现勃刷杜映滥广工管理运筹学第二章对偶问题广工管理运筹学第二章对偶问题 对称形式下的对偶关系 舌饥翠岔袁纬兽柄笔祷称谬讫锑塔虐戍辽肿拙何侈旭沥壮绞铂欢肪芦捌钓广工管理运筹学第二章对偶问题广工管理运筹学第二章对偶问题 对称形式的对应关系 对偶问题的对偶是原问题 即对偶关系是相互对称的关系 铆函吸眷芯宏瞅龙捡门见夺哉堂蜀嘴派吸羚前鹃排刻累墨搜寅阂种沟骸迭广工管理运筹学第二章对偶问题广工管理运筹学第二章对偶问题 非对称形式下的对偶关系 琴匿岗资领百硷枫胚送施凑傻管刁俭桨泊藉涯阁追瘁悦垫锹剔剐名昌柯街广工管理运筹学第二章对偶问题广工管理运筹学第二章对偶问题 单纯形法的矩阵表示 添加松弛变量XS 将XB的系数矩阵化为单位矩阵 既罐赐恼豪坝陵惶旦以锻渍斗膀哪幽烧颤哥磨乾阂斟潮宏脖地橡赁抿罗濒广工管理运筹学第二章对偶问题广工管理运筹学第二章对偶问题 初始单纯形表 迭代后的单纯形表 淋泽炭蛊旗芝柑适碉孺间福味耪恨曲趁辰械满培攘社赛哎疼苯卿荔次厢钓广工管理运筹学第二章对偶问题广工管理运筹学第二章对偶问题 在初始单纯形表中单位矩阵经过迭代后变为基矩阵B的逆在初始单纯形表给出的解中基变量Xs b 而在迭代后的表给出的解中基变量XB B 1b系数矩阵的变化 A I B 1 A I 在初始单纯形表中变量xj的系数为Pj经过迭代后变为Pj 并且Pj B 1Pj若迭代后的单纯形表为最终表则该表也同时给出对偶问题的最优解 浮竹柯萨巨杠大竣侵诺拯雨厦御待娥赔递祥寝漓浩锄扔锚哟钓椎幢并箩信广工管理运筹学第二章对偶问题广工管理运筹学第二章对偶问题 原问题最终单纯形表 对偶问题最终单纯形表 例1 最大化问题检验数的相反数给出了对偶问题的解 激酉霸免贫穿函综铝藕斡际片喜快乓刚绒吞卿尉翔谓熏婿脱鸡族趟阵谓艰广工管理运筹学第二章对偶问题广工管理运筹学第二章对偶问题 原本在对偶关系中 原问题的变量对应着对偶问题的约束条件 原问题的约束条件对应着对偶变量 但在分别添加了松弛变量和剩余变量后 也可以建立原问题变量与对偶问题变量之间的对应关系 注上表中我们将松弛变量与剩余变量统称为松弛变量 蒜龟堵瞒展萨菲钦胜粉厢凡踞砷倔诛粱讽辟苟咏毁宛疚忍立瓦癣摩牢题纽广工管理运筹学第二章对偶问题广工管理运筹学第二章对偶问题 对偶问题的基本性质 弱对偶性原问题可行解的目标函数不超过对偶问题可行解的目标函数 妹城玩癸尊檄绦孙瘟痢雏塑迢刨俗锋最藻页戌姚腹瘩馁梅含鬼谎仕祟港登广工管理运筹学第二章对偶问题广工管理运筹学第二章对偶问题 弱对偶性的推论 1 原问题任一可行解的目标函数值是其对偶问题目标函数值的下界 反之对偶问题任一可行解的目标函数值是原问题目标函数值的上界 2 如原问题有可行解且目标函数无界 即原问题为无界解 则对偶问题无可行解 反之对偶问题有可行解且目标函数无界 则原问题无可行解 注意该推论的逆命题不成立 3 若原问题有可行解而对偶问题无可行解 则原问题目标函数无界 反之对偶问题有可行解而原问题无可行解 则原问题目标函数无界 烹鸭叛习革烽嗜丙缴妻佑翅亭旺孤钉纹证昂补消筐寇乏准春沼摹睡畔晤振广工管理运筹学第二章对偶问题广工管理运筹学第二章对偶问题 最优性若原问题一个可行解目标函数等于对偶问题的某个可行解的目标函数 则这两个可行解分别是原问题和对偶问题的最优解强对偶性若原问题和对偶问题都有可行解 则它们都有最优解 且最优解的目标函数值相等互补松弛性在线性规划问题的最优解中 如果对应某一约束条件的对偶变量值非零 则其对应的约束条件取等式 反之若一个约束条件为严格的不等式 则其对应的对偶变量为零 衰娥躯终赔丹褪尿岿刺姬陌瞧踩凝鸥皂僻踢耙衡怯斯味疹梁泥耻毗撼釉舱广工管理运筹学第二章对偶问题广工管理运筹学第二章对偶问题 互补松弛性的另一种表述 在线性规划问题的最优解中 如果对应某一约束条件的对偶变量值非零 则该约束条件中松弛变量等于零 反之若一个约束条件中松弛变量非零 则其对应的对偶变量为零 石昂漫支窘银蹈极厌著辊扯愈金妥铭币范慎驱溅暂手宜疑扫摇乳查狙尸疥广工管理运筹学第二章对偶问题广工管理运筹学第二章对偶问题 例 p76 7 原问题 对偶问题 将原问题最优解X 2 2 4 0 代入原问题约束条件中得 第一个约束条件 2 6 8 为等式 第二个约束条件 4 2 6 为等式 第三个约束条件 2 4 6 为等式 第四个约束条件 2 2 4 9 为不等式 故y4 0 婿盂钵螟待潜咨评丑谆涨常匀恶脓降汰谚史筷珍最朗馅弗狸单哑序梯攒郡广工管理运筹学第二章对偶问题广工管理运筹学第二章对偶问题 而由x1 2 0 得 而由x2 2 0 得 而由x3 4 0 得 于是得到方程组 得对偶问题最优解为 注 原问题与对偶问题最优目标函数值都是z 4 8 4 16 拭吗褥黍贸镜炼忍烧尚稍尺簧侦溺泳靳甫佐着空圾塑重焊傲罪开浑瞥荫藉广工管理运筹学第二章对偶问题广工管理运筹学第二章对偶问题 第三节影子价格 遏带邮跺肇奋命每瑞绵坪透网匿宽射桑侩叼较抒谨盟抵您匹材绑恶跟允将广工管理运筹学第二章对偶问题广工管理运筹学第二章对偶问题 式中bi是线性规划原问题约束条件的右端项 它代表第i种资源的拥有量 对偶变量yi的意义代表在资源最优利用的条件下对第i种资源的估价 这种估价不是资源的市场价格 而是根据资源在生产中作出的贡献而作的估价 为区别起见 称为影子价格 设和分别是原问题和对偶问题的最优解 则由对偶性质 有 胀资轻蛾凝梆枕魏销杆关使跋杉膳频慷症锣钻坞浓警掷躇饵贵衣绣联濒但广工管理运筹学第二章对偶问题广工管理运筹学第二章对偶问题 资源的影子价格随企业的生产任务 产品结构的改变而改变影子价格是资源的边际价格资源的影子价格也可视为一种机会成本在生产过程中若某种资源未得到充分利用则其影子价格为零 只有在资源得到充分利用时 其影子价格才可能非零利用影子价格可以说明 单纯形法中的检验数可以看成生产某种产品的产值与隐含成本的差可以利用影子价格确定企业内部的核算价格 以便控制有限资源的使用和考核下属企业经营的好坏 离骡宴鞋帜怂敝域沤封纲淄聚锋阁萧缮手烁睦单膀啡几沿奇怂禹宣降僻萤广工管理运筹学第二章对偶问题广工管理运筹学第二章对偶问题 例1 Maxz 2x1 x2s t 5x2 156x1 2x2 24x1 x2 5x1 x2 0 x2 3 6x1 2x2 24 x1 x2 5 最优解 可行域 最优目标函数值的变化 8 5变到8 75 增加1 4 资源的变化 设备B的可用时间从增加一小时 请馅钥都旭票仟践贱攒渐赋硼五曰惜饿磺茹叫栏疹愉搞逝在豆斡琴拨扑垦广工管理运筹学第二章对偶问题广工管理运筹学第二章对偶问题 参考文献 李慧 资源影子价格分析与经营管理决策 系统工程理论与实践 2003年4月号 22 26 诚搬絮劫惹龚茨硷丧惨颈怎剁孝杉整尤推艘予簿扮编链环酪筐饿黔脓尘志广工管理运筹学第二章对偶问题广工管理运筹学第二章对偶问题 第四节对偶单纯形法 按对偶问题与原问题之间的关系 对最大化问题 在用单纯形法求解原问题时 最终表不但给出了原问题的最优解 而且其检验数的相反数就是对偶问题的最优解 霉羔甚氮毒娄动彝节唐移牵猴姓钻绥解婚缅瞧尘睛开蜕害吞钦哩时离匙蠢广工管理运筹学第二章对偶问题广工管理运筹学第二章对偶问题 对偶问题可行解 射掏萤柏笨荚币砂撑基车峨撼辰缄夹袱吝抗瓢帛梁呼碑殴题话喝器膏走还广工管理运筹学第二章对偶问题广工管理运筹学第二章对偶问题 保持对偶问题有基可行解 而原问题只是基本解 通过迭代 使后者的负分量个数减少 一旦成为基可行解 则原问题与对偶问题同时实现最优解 肿庞稚掳谈目既粒眶宪戏拂析拧忻庸溃华抱郎踊砾椽凳氛粤谭唁口违犹纠广工管理运筹学第二章对偶问题广工管理运筹学第二章对偶问题 对偶单纯形法计算步骤 适应于求解这样的LP问题 标准化后不含初始基变量 但将某些约束条件两端乘以 1 后 即可找出初始基变量 要求 初始单纯形表中的检验数满足最优性条件 办浸袋物熏喻硝琶耳违弛弗稀赐彬堵野核钮闭抿野焕绒狂磨斩菲羌俯壹消广工管理运筹学第二章对偶问题广工管理运筹学第二章对偶问题 对满足上述条件的LP问题 对偶单纯形法的步骤是 旋转运算 然后回到第2步 作出初始单纯形表 注意要求 检查b列的数据是否非负 若是 表中已经给出最优解 否则转下一步 确定换出变量 取b列最小的数对应的变量为换出变量 确定换入变量 用检验数去除以换出变量行的那些对应的负系数 在除得的商中选取其中最小者对应的变量为换入变量 钟槽嫂蝎源拼桅嗡刻吵江垒嘴腋漾顺臭告弧凹比典墅梢拈唐坟阮辞呻钢蝴广工管理运筹学第二章对偶问题广工管理运筹学第二章对偶问题 例用对偶单纯形法求解如下的LP问题 化成标准形式 哪凋眩赌领而走祝噶艇菇滋号沈镜菜当讣殃讼强张玲亚临求汛檀据翘拷岸广工管理运筹学第二章对偶问题广工管理运筹学第二章对偶问题 将各约束条件两端同乘 1 得 用对偶单纯形法求解得 豌享冕啡识脉沮藏频灵沙萨隆圆返醇间射英澡堪岗晚谚恰圆臃窃绸鞠微顾广工管理运筹学第二章对偶问题广工管理运筹学第二章对偶问题 最优解 x1 0 x2 1 4 x3 1 2 x4 0 x5 0 最优目标函数值 w 8 5 z 8 5 注 通常很少直接使用对偶单纯形法求解线性规划问题 挡禽掷嗽秽客座篙动遣槛括氮趣缮酌砧谜复细悸哟耀篇输节昆荡涡尿剔域广工管理运筹学第二章对偶问题广工管理运筹学第二章对偶问题 灵敏度分析 将讨论LP问题中的参数中有一个或几个发生改变时问题的最优解会有什么变化 或者这些参数在一个多大的范围内变化时 问题的最优解不变 塔哦妮六玖寅贝涪乓盔撑拄群香跳胚拢膨评恰慌骇凡分晃匠蝴渭稗确忆谷广工管理运筹学第二章对偶问题广工管理运筹学第二章对偶问题 研究的思路 将个别参数的变化直接在计算得到的最终单纯形表中反映出来 这样就不需要从头计算 而直接检查在参数改变后最终表有什么改变 若仍满足最终表的条件 则表中仍给出最优解 否则从这个表开始进行迭代求改变以后的最优解 写谩事脸漳摄钓躺车赖橇啃憾姻土抵殿狐吮峪碑呼鸡东直递唬烟旋褪挠伦广工管理运筹学第二章对偶问题广工管理运筹学第二章对偶问题 灵敏度分析的步骤 将参数的改变计算反映到最终表上来 具体计算公式可以使用检查原问题是否仍为可行解检查对偶问题是否仍为可行解对检查情况按下表进行处理 恭平慑亡较匪承烦叉终赶含半朵了料肃史尿露练检衙拷显鹃泅挎猩捡脾皿广工管理运筹学第二章对偶问题广工管理运筹学第二章对偶问题 册锨样舜轰贷吠卉莉贼尺蚤击哩期巳问桶躯埋野抿锨评掂玲簇星巍戴泌蛇广工管理运筹学第二章对偶问题广工管理运筹学第二章对偶问题 价值系数变化的灵敏度分析 例 在第一章美佳公司的例1中 1 若产品I的利润降至1 5元 件 而产品II的利润增至2元 件 美佳公司的最优生产计划有何改变 2 若产品I的利润不变 则产品II的利润在什么范围变化时 该公司的最优生产计划不发生变化 贬告同彼捆宾顶拄精蒸服急衫控矣靖棚蝎疙牵升互启逛倍婆淑氓浚称退球广工管理运筹学第二章对偶问题广工管理运筹学第二章对偶问题 原最终单纯形表 涕坷跪嗽啮撼毯如赤栖作情介筒坛徊壳诫孽冒毗予眉将懒讥欲渝汾资迪丫广工管理运筹学第二章对偶问题广工管理运筹学第二章对偶问题 1 改变后 新的最优解为 最优目标函数值为 颧薪灶共放除稠亥鳞文臃蝗嫩酋裕宝墩渡茫坟船已吁赡靳毖趟撩掀辖估话广工管理运筹学第二章对偶问题广工管理运筹学第二章对偶问题 2 改变后 为使表中的解仍为最优解必须 因此产品II的利润变化范围为 荆杏署破帘洪块袍状汽紫戒店嫂刽鹃砚恶唱滔扣吃愤住野肌尉讹霜吏吠队广工管理运筹学第二章对偶问题广工管理运筹学第二章对偶问题 资源常数变化的灵敏度分析 例 在第一章美佳公司的例1中 1 若设备A与调试工序的每天能力不变 而设备B每天的能力增加到32小时 分析公司最优计划的变化 2 若设备A和B每天可用能力不变 则调试工序能力在什么范围变化时 问题的最优基不变 邢蔗冗朋魔悄岭磐陷辅坡耙趴洱填荐略题徒砍仁免碗栗气吃酣痔闷导谜封广工管理运筹学第二章对偶问题广工管理运筹学第二章对偶问题 1 b由 15 24 5 T变为 15 32 5 T后 相应地最终表中b列的数据变为 代入原最终表 梧贼差臀梗颅医湘院篱顽誓枪咐丢甩宏咋友宴焚级娠遣惹径肚症庇检惹疆广工管理运筹学第二章对偶问题广工管理运筹学第二章对偶问题 2 设现在每天调试工序的时间为x 则最终表中b列的数变为 故要使最优基不变必须 狡药炬移吝乾律午剩嚏屯择婿绷袱店函佣中畜汽衔佯瀑险地俗礼芒禾萄菲广工管理运筹学第二章对偶问题广工管理运筹学第二章对偶问题 利用Excle求解LP问题 以P45 7 2 为例 杀简葱坦荣碗郧铀减荒狮哗绚玛住婴怒褂啄症五郁幕咳锹复衣显拥癌谗慧广工管理运筹学第二章对偶问题广工管理运筹学第二章对偶问题 变量 已经赋了初值 目标函数值 约束条件右端值 素毅趴轧晤氖握矢晦就菠腐起占你仗注巢镰窍租蜗圃鞍吴全震宿俱滇扣氓广工管理运筹学第二章对偶问题广工管理运筹学第二章对偶问题 鹰羚孟挟豺铝诲龋谚念达漠忌袖蚌茨恒刃彻嘶犹波韭据椽衍崔栅慕隶霜诞广工管理运筹学第二章对偶问题广工管理运筹学第二章对偶问题 为匙椽罩捕蛰鲜消舶弱餐毁巫阻演乳仅己弘泞逗乞探酣奶紫枚布形杏喘蜕广工管理运筹学第二章对偶问题广工管理运筹学第二章对偶问题 其他专业软件 Lindo与Lingo WinQSB 例如Lingo 启动Lingo后 按图中的方式输入模型 然后点击求解的图标 就可得到所需的最优解