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一柯西施瓦茨不等式及其积分形式柯西不等式：证明：（1）构造二次函数： 显然，成立，那么，而判别式就是上述形式。 （2）当然也可以考虑数学归纳法 两边的好说，归纳假设就解决了，中间的部分用一下基本不等式，解决。】 然后，是积分形式： 柯西施瓦茨不等式： 证明：简单写吧，因为很容易看出，这个不等式和上面的式子密切相关 取，即可。】 在裴礼文数学分析习题集上，还有另外一种证法，考虑到篇幅，就不再过多叙述，有兴趣的同学可以看一元积分学一章。二杨不等式及其积分形式 杨不等式的形式很简单：（p0且q0），则 证明：先两边同时取对数，考虑函数的上凸性，即证。】 这个定理还没完，我们只说了p0且q0时的情况，那么如果有一个小于0呢？可令 （），我们可以想到什么呢：定比分点。 p0且q0时，x在（a，ln（a），（b，ln（b）确定的线段上。 p，q中有一个小于0的时候，在射线上。考虑一下一条直线与对数函数的关系，结论就出来了： 。 这个东西一会儿使用得到的，在推导赫尔德不等式的时候，杨不等式会是我们的利器。 还有积分形式。不得不说，这个所谓的积分形式是指能推出杨不等式，至于形式上，两个不等式并不相同： 设a0,b0，在连续且严增，设反函数 则有 证明：考虑时（其他情况可设，再做一下变换）： 左边= =】 如果令，取积分上限分别为，即可得到赫尔德不等式。三、赫尔德不等式 （我暂时没找到这个不等式的积分形式。） 非负实数若，当p，q1时 当p，q异号时 证明：只需证明两种情况中的一种（不妨为第一种）： 首先，有如下关系： 再将这n项加和，即，再移项，即得赫尔德不等式。 同理，是另外一种情况的证明。】 当然，这个不等式也可以用加权不等式证明，具体证法还是见裴礼文。四、闵可夫斯基不等式及其积分形式 非负实数， 当时， 当时， 证明：同样的，只考虑一种情况即可（不妨为第一种）：令 （做n次归纳） 两边同时开p次幂即可】 积分形式：当时， 当时，
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