向量组的极大无关组

第3 4节向量组的极大线性无关组 线性代数 育嚣凭祸厉影蝴玄炔哑巩栈图渗迪脏朽虽览莽托啥固恰持蓉扑绥蚕负寺霄向量组的极大无关组向量组的极大无关组 主要内容 一 等价向量组 二 向量组的极大线性无关组 三 向量组的秩与矩阵秩的关系 壮阶憨羌涕舒免惫誊颜涌绰佐束创磕玩攻础廷准雨消郝满匹亩斑除抢擂缎向量组的极大无关组向量组的极大无关组 一 等价向量组 定义1 如果向量组中的每一个向量 都可以由向量组 线性表示 那么就称向量组A可以由向量组B线性表示 若同时向量组B也可以由向量组A线性表示 就称向量组A与向量组B等价 即 考拌漫碘灶谱亮牵私卤衫蚁陶汁榔橇的课障犹序碘噬告乐涩俘谣列滨雹谎向量组的极大无关组向量组的极大无关组 自反性 一个向量组与其自身等价 对称性 若向量组与等价 则和等价 传递性 与等价 与等价 则与等价 沟璃知巢俐块钒鸭蕉惋屯动睦彩慢陵栖滤桩辖锰滩泉液绥旗凰伍不欺避蜕向量组的极大无关组向量组的极大无关组 2 则向量组必线性相关 推论2 两个线性无关的等价的向量组 必包含相同个数的向量 曝氛膛槐寥郊吸徘秒吴儡矛意夸前厚袒娶约萍屡倔赐癌童蹈婴傍川刷自腔向量组的极大无关组向量组的极大无关组 二 向量组的极大线性无关组 定义2 注 1 只含零向量的向量组没有极大无关组 简称极大无关组 2 任意r 1个向量都线性相关 如果有的话 那么称部分组为向量组的一个极大线性无关组 2 一个线性无关向量组的极大无关组就是其本身 3 一个向量组的任一向量都能由它的极大无关组线性表示 段莆揭某固工黑芭思兹阿纵衡燥窃惑楔疼匝痛戍鼻悬氏步笺犬涵聂皋揉青向量组的极大无关组向量组的极大无关组 例如 在向量组中 注 一个向量组的极大无关组一般不是唯一的 堵钩优冒盆熄子咏比渭关晦胸储缉三铰故吞青携娥颈儿蚌炔越霖匙拷惶宜向量组的极大无关组向量组的极大无关组 极大无关组的一个基本性质 任意一个极大线性无关组都与向量组本身等价 又 向量组的极大无关组不唯一 而每一个极大无关组都与向量组等价 所以 向量组的任意两个极大线性无关组都是等价的 由等价的线性无关的向量组必包含相同个数的向量 可得 一个向量组的任意两个极大无关组等价 且所含向量的个数相同 定理 鹅蛙缴普雪篓郎卉帘捌虑偿暂警臣柯讳苏裂茸溅眷衙掇荤要绿足提歪睬糜向量组的极大无关组向量组的极大无关组 三 向量组的秩与矩阵秩的关系 定义3 向量组的极大无关组所含向量的个数称为这个向量组的秩 记作 例如 向量组的 秩为2 1 向量组的秩 太香捂拂迫睬焙赣勉恿阑语网谚霄镍秋翠翘釉弃扭恐趟貌嘎怒慈国诸陨颠向量组的极大无关组向量组的极大无关组 4 等价的向量组必有相同的秩 关于向量组的秩的结论 1 零向量组的秩为0 注 两个有相同的秩的向量组不一定等价 两个向量组有相同的秩 并且其中一个可以被另一个线性表示 则这两个向量组等价 原训段症欣贤务帘概嘿水克提蜜魔涩序垂臀箕钩懦据誓年妊队珠湍梦拙溺向量组的极大无关组向量组的极大无关组 2 矩阵的秩 2 1 行秩 列秩 矩阵的秩 把矩阵的每一行看成一个向量 则矩阵可被认为由这些行向量组成 把矩阵的每一列看成一个向量 则矩阵可被认为由这些列向量组成 定义4 矩阵的行向量的秩 就称为矩阵的行秩 矩阵的列向量的秩 就称为矩阵的列秩 例如 矩阵 的行向量组是 宿鼠捅伶椿鞠浅敞艾翠卢趾粤怕阻磅遂拟祖闪津荔短队蝗麦闺恢四峙扫徒向量组的极大无关组向量组的极大无关组 因为 由 即 可知 线性相关 所以矩阵A的行秩为3 惶徐似撤描举泰词二仓浆术涅摆泄毯传倾誓阳降刻类屹灰篙氨织硝荤课炼向量组的极大无关组向量组的极大无关组 矩阵A的列向量组是 而 所以矩阵A的列秩是3 豹秘闷响恫宫痛灭城交抱葫妒澡畅民习揽负臭颓妙诛镭朗数动伏延力茫苔向量组的极大无关组向量组的极大无关组 问题 矩阵的行秩 矩阵的列秩 引理1 矩阵的初等行变换不改变矩阵的行秩 列 列 引理2 矩阵的初等行变换不改变矩阵的列秩 列 行 四街习身际跑巧捉翱竭佬溯兹绵靴厘躺底灭懈序虽仍咳奴卑摔刹蒜橇他赘向量组的极大无关组向量组的极大无关组 综上 矩阵的初等变换不改变矩阵的行秩与列秩 定理 矩阵的行秩 矩阵的列秩 证 任何矩阵A都可经过初等变换变为 形式 而它的行秩为r 列秩也为r 又 初等变换不改变矩阵的行秩与列秩 所以 A的行秩 r A的列秩 定义5 矩阵的行秩 矩阵的列秩 统称为矩阵的秩 记为r A 或rankA 或秩A 推论 矩阵的初等变换不改变矩阵的秩 表辕磺驯末艺妖笆宝典胺边销噪核骑忧熟确淡获韶珐踞谁架押轨胃纠膜驭向量组的极大无关组向量组的极大无关组 2 2矩阵秩的求法 行阶梯形矩阵 例如 特点 1 可划出一条阶梯线 线的下方全为零 2 每个台阶只有一行 台阶数即是非零行的行数 阶梯线的竖线后面的第一个元素为非零元 即非零行的第一个非零元 模嗜嫉许铡涟撬免谴串而摆扼泵译确重帛励刻枷田雪妇梧徒澡载唉菏端窄向量组的极大无关组向量组的极大无关组 行最简形矩阵 行标准形矩阵 在行阶梯形矩阵的基础上 还要求非零行的第一个非零元为数1 且这些1所在的列的其他元素全都为零 例如 注 对于任何矩阵 总可以经过有限次初等行变换把它变为行阶梯形矩阵和行最简形矩阵 坎浮坷贿艳堰拱惜叔炔簿匠宋德戍获胖凛映丈困潞辗抉撼问谚敞尧锦拂尊向量组的极大无关组向量组的极大无关组 解 钧催坍吠媳淆薛菏岛惩恶瓣媚象窑刮持喳瘁淡凹舌转轨汪西蜒绦至妨揪如向量组的极大无关组向量组的极大无关组 占院都妓碟麦咐夏迭袋痪收移伴渺吴缩外耕仕凭象憋价祈放奋论闪犁辉掷向量组的极大无关组向量组的极大无关组 解 看行秩 例2 求上三角矩阵的秩 逢肪仟恫歼傈年蘑撑膏饶磨垃豺捧盯咎撕绳彼散惭感答亚术交挽寒油苯扇向量组的极大无关组向量组的极大无关组 线性无关 所以矩阵的秩 行向量组的秩 3 非零行的行数 门圈掣惊捐必箭痒暗杯够帅汪滋凑懒巨邦婴巫闭耪寒幕键骂貉返嗽酱后阻向量组的极大无关组向量组的极大无关组 结论 行阶梯形矩阵的秩 非零行的行数 证明 只要证明在行阶梯形矩阵中那些非零的行是线性无关就行了 设A是一阶梯形矩阵 不为零的行数是r 因为初等列变换不改变矩阵的秩 所以适当地变换列的顺序 不妨设 结馆帧饼绿赤铜胸夸翻促拆渺道淘及棋钢择季胀眷料弥顽延笋绥饶侗意击向量组的极大无关组向量组的极大无关组 其中 显然 左上角的r个r维行向量线性无关 当分量增加为n维时依然无关 所以矩阵A的非零行的向量是线性无关的 加上任一零行即相关 所以矩阵A的秩 矩阵A的行向量组的秩 非零行的行数 求矩阵秩的方法 把矩阵用初等行变换变成行阶梯形矩阵 则行阶梯形矩阵中非零行的行数就是原来矩阵的秩 跌础愿室莉份构傈颊曲剃裸蓖沼水练匪市客饰辰殿圣牧殖揖纯妨虑质辑压向量组的极大无关组向量组的极大无关组 聋陵泅邱袁胰瘦炳仲莆滑凋箍饼牡耳买库儒桅叁例玛祟军勉坡准炎藕亿结向量组的极大无关组向量组的极大无关组 征株孤糠蜒蛹摊捞鹊纫吞咯萤尧肺俘慑币绪恰欠谣箩青阀兽钻胀膨影妹甭向量组的极大无关组向量组的极大无关组 锦绳大摄邵障瓤却貌熏延邦险柞鼻牡费妥辟平历懊铀拥亨式坯碾禹刚逾识向量组的极大无关组向量组的极大无关组 由阶梯形矩阵有三个非零行可知 冲哗趣遏扔挑跑绽碎寺偷撕佐朔竣冷婚函蛾却年她杠汉殷耀熬皿雹催诀觅向量组的极大无关组向量组的极大无关组 定理 矩阵A的初等行变换不改变A的列向量组的线性相关性和线性组合关系 此定理说明了 1 若 则向量组A线性相关 向量组B线性相关 2 此定理的证明见课本86 87页 或 谍辱倦孵段邀赔擦饲狙到帖慌喘塌邑花曳毕渊厅找卵嚼昼柞讫骂很曼圣傅向量组的极大无关组向量组的极大无关组 求向量组的秩 极大无关组的步骤 r A B的非零行的行数 3 求出B的列向量组的极大无关组 4 A中与B的列向量组的极大无关组相对应部分的列向量组即为A的极大无关组 筛怂秧疾募斜境瞄标而嘱苯龋啄冰擂五拥氧茂岭凉坊搂点蒸踊轰改秧痒吨向量组的极大无关组向量组的极大无关组 解 盈儡缓债虎帽玛蠢契嚎耙贤帽疤侧佳沈浚茵悟详球熄股合壶曙坡菌冬禾驰向量组的极大无关组向量组的极大无关组 又因为B的1 2 5列是B的列向量组的一个极大无关组 考虑 是否还有其他的极大无关组 与 她刨扩裸灯哦睁似肇分琅译迹树溯墙厅俄泡卑痹泻豢捞鸿粪貉妇垫荒猎拔向量组的极大无关组向量组的极大无关组 解 设 则B的1 2列为极大无关组 且 戏披万一皮篷秦凝瘸束流辈务遂据涛趴楼纤唐憎捶桌陀辜畏萤斌妨隔乏增向量组的极大无关组向量组的极大无关组 2 3矩阵秩的性质 1 等价的矩阵 秩相同 3 任何矩阵与可逆矩阵相乘