计数原理第一节例题

课时训练1分类加法计数原理与分步乘法计数原理一、选择题1.王刚同学衣服上左、右各有一个口袋,左边口袋装有30张英语单词卡片,右边口袋装有20张英语单词卡片,这些英语单词卡片都互不相同,问从两个口袋里任取一张英语单词卡片,则不同的取法有().A.50种B.30种C.20种D.600种答案:A解析:从口袋中任取一张英语单词卡片的方法有两类:第一类,从左边口袋取一张英语单词卡片有30种不同的取法;第二类,从右边口袋取一张英语单词卡片有20种不同的取法.上述的其中任何一种取法都能独立完成“取一张英语单词卡片”这件事,应用分类加法计数原理,所以从中任取一张英语单词卡片有30+20=50种不同的取法.2.高二(1)班有学生56人,其中男生38人,从中选取1名男生和1名女生作代表,参加学校组织的社会调查团,则选取代表的方法有().A.38种B.18种C.684种D.864种答案:C解析:男生为38人,女生为18人,根据本题题意要完成一件事情需分2个步骤:第一步,从男生38人中任选1人,有38种不同的选法;第二步,从女生18人中任选1人,有18种不同的选法.只有上述两步都完成后,才能完成从男生中和女生中各选1名这件事,根据分步乘法计数原理共有3818=684种选取代表的方法.3.现有4件不同款式的上衣和3条不同颜色的长裤,如果1条长裤与1件上衣配成一套,则不同的配法种数为().A.7B.12C.64D.81答案:B解析:完成长裤与上衣配成一套,分两步:第一步,选上衣,从4件中任选1件,有4种不同的选法;第二步,选长裤,从3条长裤中任选1条,有3种不同的选法,故共有43=12种选配方法.4.有不同的红球8个,不同的白球7个,不同的黄球6个,现从中任取两个不同颜色的球,不同的取法有().A.336种B.21种C.104种D.146种答案:D解析:分三类:一红一白时,有87种;一红一黄时,有86种;一白一黄时,有76种.由分类加法计数原理知有N=87+86+76=146种.5.某通讯公司推出一组手机号码,卡号的前七位数字固定.从“0000”到“9999”共10 000个号码,公司规定:凡卡号的后四位带有数字“4”或“7”的一律作为“优惠卡”,则这组号码中“优惠卡”的个数为()A.2 000B.4 096C.5 904D.8 320答案:C解析:可从反面考虑,卡号后四位不带“4”或“7”的共有8888=4 096(个),所以符合题意的共有10 000-4 096=5 904(个).6.(2014山东日照一中高三下学期开学考试)将1,2,3,9这9个数字填在如图的9个空格中,要求每一行从左到右,每一列从上到下分别依次增大.当3,4固定在图中的位置时,填写空格的方法为().A.6种B.12种C.18种D.24种答案:A解析:每一行从左到右,每一列从上到下分别依次增大,1,2,9只有一种填法,5只能填在右上角或左下角,5填好后与之相邻的空格可填6,7,8任一个;余下两个数字按从小到大只有一种方法.共有23=6种结果,故选A.7.将红、黄、绿、黑四种不同的颜色涂入图中的五个区域内,要求相邻的两个区域的颜色都不相同,则不同的涂色方法有().A.48种B.72种C.24种D.27种答案:B解析:给区域标记号为A,B,C,D,E,如图所示.当B与D同色时,有43212=48种.当B与D不同色时,有43211=24种.故共有48+24=72种不同的涂色方法.二、填空题8.(2014海南琼海嘉积中学高二月考)在一宝宝的“抓周”仪式上,他面前摆着4件学习用品,3件生活用品,4件娱乐用品,若他只抓其中的一件物品,则他抓的结果有种.答案:11解析:抓物品的不同结果数分三类,由分类加法计数原理得共有4+3+4=11(种).9.由数字1,2,3,4,5组成的无重复数字的四位偶数的个数为.答案:48解析:分两个步骤:第1步,从2,4中取一个数作为个位数字,有2种取法;再从其余四个数中取出三个数排在前三位,有432=24种排法,由分步乘法计数原理知,这样的四位偶数共有224=48个.10.(1)把5本书全部借给3名同学,则不同的借法共有种;(2)把3个人分配到某工厂的5个车间去参加社会实践,则不同的分配方案共有种.答案:(1)243(2)125解析:(1)借书时,并没有要求每人必须借书,而只要把书借完即可,故每本书应该借给三个人中的一个.所以总的借法有33333=243(种).同样,(2)中,三个人分到五个车间,有的车间可以没有人,但人必须分完,每个人可以到5个车间中的任何一个车间,各有5种分法,一共有555=125种不同的分配方案.三、解答题11.某单位职工义务献血,在体检合格的人中,O型血的共有28人,A型血的共有7人,B型血的共有9人,AB型血的共有3人.(1)从中任选1人去献血,有多少种不同的选法?(2)从四种血型的人中各选1人去献血,有多少种不同的选法?解:从O型血的人中选1人有28种不同的选法;从A型血的人中选1人有7种不同的选法;从B型血的人中选1人有9种不同的选法;从AB型血的人中选1人有3种不同的选法.(1)任选1人去献血,即无论选哪种血型的哪一个人,“任选1人去献血”这件事情都可以完成,所以用分类加法计数原理,有28+7+9+3=47种不同的选法.(2)要从四种血型的人中各选1人,即从每种血型的人中各选出1人后,“各选1人去献血”这件事情才完成,所以用分步乘法计数原理,有28793=5 292种不同的选法.12.从0,1,2,3中选择三个数字组成无重复数字的三位偶数,满足条件的数字有多少个?解:第1类:末位为0第1步,排末位,有1种方法;第2步,排首位,从1,2,3中选1个,有3种方法;第3步,排十位,有2种方法.所以,此类方法中有132=6个数字.第2类:末位为2第1步,排末位,有1种方法;第2步,排首位,从1,3中选1个,有2种方法;第3步,排十位,有2种方法.所以,此类方法中有122=4个数字.所以一共有6+4=10个满足条件的不同数字.13.(2014福建漳州芗城中学高二下期末)某外语组9人,每人至少会英语和日语中的一门,其中7人会英语,3人会日语,从中选出会英语和会日语的各一人,有多少种不同的选法?解:某外语组9人中,7人会英语,3人会日语,可得此外语组有1人既会英语又会