自由扭转.doc

基本假定： 周边不变形，应力沿臂厚方向均匀分布，沿梁纵轴方向的纵向位移同自由扭转时纵向位移的关系式存在相似规律变化。 约束扭转正应力： 应用基本假定和截面上合力的平衡条件求解。 约束扭转剪应力： 根据微元上力的平衡方程式和截面内外力矩的平衡式来计算。 约束扭转扭角的微分方程： 应用截面上内外扭矩平衡和截面上纵向位移协调求解； 截面约束系数反映了截面受约束的情况。 基本假定 当箱梁端部有强大横隔板，扭转时截面自由凸凹受到约束，使纵向纤维受到拉伸或压缩，从而产生约束扭转正应力与约束扭转剪应力。此正应力在断面上的分布不是均匀的，这就引起了杆件弯曲并伴随有弯曲剪应力流。这样，箱梁在约束扭转时除了有自由扭转的剪应力外，还有因弯曲而产生剪应力。在箱梁截面比较扁平或狭长，或在变截面箱梁中，都有这种应力状态存在。 这里只简要介绍箱梁截面约束扭转的实用理论，它建立在以下假设的基础上。 1、箱梁扭转时，周边假设不变形，切线方向位移为： 2、箱壁上的剪应力与正应力均沿壁厚方向均匀分布； 3、约束扭转时沿梁纵轴方向的纵向位移（即截面的凸凹）假设同自由扭转时纵向位移的关系式存在相似规律变化。 即： 式中： 初始纵向位移，为一积分常数； 截面凸凹程度的某个函数。 扭转函数。约束扭转正应力 由基本假定，约束扭转时沿梁纵轴方向的纵向位移（即截面的凸凹）假设同自由扭转时纵向位移的关系式存在相似规律变化。即： ，知纵向应变与正应力为： 由此可见，截面上的约束扭转正应力分布和广义扇性座标 成正比。为确定截面计算扇性座标的极点（也即扭转中心）和起始点，可应用截面上的合力平衡条件（因只有外扭矩MK的作用）为： 即，扇性静力矩 ，扇性惯性积 ， 如令 为主扇性惯性矩和 为约束扭转双力矩，即： 则正应力计算式可表示为： 这一形式与一般梁的弯曲正应力计算式 相似约束扭转剪应力 如图，取箱壁上A点的微分单元ds.dz，根据力的平衡得到方程式（如图所示）： 将纵向应变与正应力的表达式： ，代入上式，并积分得： (b) 根据内外力矩平衡条件 可确定初始剪应力值 （积分常数）为： (c)式中 为扇性静矩。 将式（c）代入式（b）即可得约束扭转时的剪应力： (d)式中： 从式（d）可见，约束扭转时截面上的剪应力为两项剪应力之和。第一项是自由扭转剪应力 ；第二项是由于约束扭转正应力沿纵向的变化而引起的剪应力为： 或可表示为： 此式在形式上与一般梁的弯曲剪应力公式 相似。约束扭转扭角的微分方程 为确定约束扭转正应力及剪应力，都必须确定扭转函数 。为此，根据假设，可得到的剪应变公式： (a) 再应用内外扭矩平衡方程，可得到微分方程： (b)式中：截面极惯矩 ；截面约束系数（或称翘曲系数） 。 截面约束系数 反映了截面受约束的程度。对圆形截面， ，因此 =0，式（b）为自由扭转方程，即圆形截面只作自由扭转。事实上，任何正多角形等厚度闭口断面对其中的扭转时也不发生翘曲。对箱形截面，箱梁的高宽比较大时， 与 差别也越大， 值就大，截面上约束扭转应力也相应要大一些。 又引用封闭条件，即对式（a）中代入 的关系式，沿周边积分一圈，利用 的条件，可导得另一微分方程： (c) 式中： 式（b）与式（c）是一组联立微分方程组，可以解出 与 。如在外扭矩 是 的二次函数的条件下，则式（b）对 微分三次，可得 ，代入式（c）得： 或写成： 式中： 为约束扭转的弯扭特性系数。 此四阶微分方程的全解是： 函数 的各阶导数也可求出。积分常数C1，C2，C3，C4的值，可根据箱梁边界条件确定，如： 固端： =0（无扭转）； =0（截面无翘曲）； 铰端： =0（无扭转）； =0（可自由翘曲）； 自由端：