数列最值问题的反思与总结.doc

等差数列中的最值问题引例：【2008宁夏 海南17】已知数列an 是一个等差数列，且a2=1，a5=-5.求数列an前n项和Sn的最大值.题型特征：求 Sn最值/n为何值时， Sn有最值/数列不等式恒成立问题。解决方法.法一：从 Sn的形式入手，从函数角度看， Sn可以看作是不连续的关于n的二次函数式，Sn=An2 + Bn,通过配方或借助二次函数对称轴处取值去解决。法二：求导。注意求导时要新令f (x) 出来，再求 f (x)，因为Sn不连续，不能直接求导。Sn若求最值，看 f (x)， f (x)的图象是一次函数，令 f (x)=0，若 f (x)的斜率小于0，则此处有最大值（“左正右负即左增右减”）。若 f (x)的斜率大于0，则此处有最小值（“左负右正即左减右增”）。法三：通项公式法。也叫邻项变号法，一个意思，其实质是找数列正负转折项。即，若数列 an 是等差数列，求其前n项和的最值时，a1 0，d0时，an 0，且a n+1 0，则此时Sn有最大值。，a1 0时，an 0，且 an+1 0，则此时Sn有最小值。解出相应的n与Sn即可。法四：前n项公式法。.若 Sn取最大值，则Sn Sn-1， Sn Sn+1，n2，n N* 若 Sn取最小值，则Sn Sn-1， Sn Sn+1，n 2，n N* 分别解之，即可。解题过程中需要注意的几个情况：（1）“等差数列中，当且仅当n=m时，Sn取最小值”。这种类型的题目中这句话关键信息有三点：d0 .等差数列an 不存在值为0的项.am是最后一个负数。此时，an 大致的排列方式：负、负、负负、正、正、正，所以如果说“当且仅当n=m时，Sn取最小值”，此时用通项法或者前n项和公式法时，不取“=”号。如果说没有强调当且仅当，只是说 数列an 存在最小值，那么大致的排列方式会是：负、负、负负、零、正、正、正此时用通项法或者前n项和公式法时，要取“=”号。（2）同样的，“等差数列中，当且仅当n=m时，Sn取最大值”这种类型的题目中这句话关键信息有三点：d0 .等差数列an 不存在值为0的项.am是最后一个正数。此时，an 大致的排列方式：正、正、正正、负、负、负，所以如果说“当且仅当n=m时，Sn取最大值”，此时用通项法或者前n项和公式法时，不取“=”号。如果说没有强调当且仅当，只是说 数列an 存在最大值，那么大致的排列方式会是：正、正、正正、零、负、负、负此时用通项法或者前n项和公式法时，要取“=”号。番外：遇到“非差非比”数列与函数、不等式结合的最值问题。(1) 求数列an 前n项的最值和Sn的最值。三个思路，研究an= f (n)项的情况解决（通项）。直接从Sn的形式入手解决。（前n项和）求导。(2) 求数列an 项的最值，类似地，研究an= f (n)项的情况解决（通项）。利用数列离散的特点，考察an a n-1 ，an a n+1 ，n2，n N*情况或an a n-1 ，an a n+1 ，n 2，n N*，即