matlab：常微分方程的应用.doc

实验名称：常微分方程的应用姓名： 学号： 实验日期： 年5月10日实验目的：本章我们学习MATLAB有关求解常微分方程（组）的指令，计算实验介绍常微分方程（组）数值求解Euler法和刚性方程组问题；建模实验研究导弹系统改进和产品销售量等几个实际问题的微分方程建模及求解方法。实验项目： 1、 求解微分方程组，并绘制Appolo卫星轨迹图2、广告效应实验背景：1、除常系数线性微分方程可用特征根法求解，少数特殊方程可用初等积分法求解外，大部分微分方程无显示解，应用中主要依靠数值解法。2、在商业活动中，常常会需要制定销售策略来预测公司产品的销售量。这就需要建立数学模型来预测销量。实验具体过程：1、 题目：已知Appolo卫星的运动轨迹（x，y）满足下面的方程，其中=1/82.45,=1-,，试在初值x（0）=1.2，y（0）=0，下求解，并绘制Appolo卫星轨迹图。理论推导或编程说明：首先引入辅助变量t=t，化为一阶方程组先写M函数p113_4.m%M函数p113_4.mfunction f=p113_4fun（t，y）f=;=1/82.45,=1-,，再在指令窗口执行y0=0,0,0，-1.04935371；t，y=ode45（p114_4fun，0 24，y0）；plot（y（：，1），y（：，3）；程序（或命令）：先写 M 函数p113_4fun.m% M 函数p113_4fun.mfunction f=p113_4fun(t,y)u=1/82.45;l=1-u;r(1)=sqrt(y(1)+u)2+y(3)2);r(2)=sqrt(y(1)+l)2+y(3)2);f=y(2);2*y(4)+y(1)-l*(y(1)+u)/r(1)3-u*(y(1)-l)/r(2)3;y(4);-2*y(2)+y(3)-l*y(3)/r(1)3-u*y(3)/r(2)3; 再在指令窗口执行 y0=1.2,0,0,-1.04935371; t,y=ode45( p113_4fun,0 24,y0); plot(y(:,1),y(:,3);对实验题目的解答：改进程序或思考：clear;dfun=inline(x(2);2*x(3)+x(1)-(1-1/82.45)*(x(1)+1/82.45)/(sqrt(x(1)+1/82.45)2+x(3)2)3-(1/82.45*(x(1)-1+1/82.45)/(sqrt(x(1)+1-1/82.45)2+x(3)2)3; x(4);-2*x(2)+x(3)-(1-1/82.45)*x(3)/(sqrt(x(1)+1/82.45)2+x(3)2)3-(1/82.45*x(3)/(sqrt(x(1)+1-1/82.45)2+x(3)2)3,t,x);t,x=ode45(dfun,0 24,1.2; 0; 0; -1.04935371);plot(x(:,1),x(:,3);2、题目：(广告效应)某公司生产一种耐用消费品，市场占有率为5%时开始做广告，一段时间的市场跟踪调查后，该公司发现：单位时间内购买人口百分比的相对增长率与当时还没有买的百分比成正比，且估得此比例系数为0.5。(1) 建立该问题的数学模型，分别求其解析解和数值解，并作比较；(2) 厂家问：要做多少时间广告，可使市场购买率达到80%？理论推导或编程说明： 由模型可得： 两边同时积分，得 序（或命令）： fun=inline(0.5*(1-x)*x,t,x); t,x=ode45(fun,0 10,0.05)； t,xans = 0 0.0500 0.1058 0.0526 0.2115 0.0553 0.3173 0.0581 0.4231 0.0611 0.6731 0.0686 0.9231 0.0771 1.1731 0.0864 1.4231 0.0968 1.6731 0.1083 1.9231 0.1210 2.1731 0.1349 2.4231 0.1502 2.6731 0.1669 2.9231 0.1850 3.1731 0.2046 3.4231 0.2257 3.6731 0.2483 3.9231 0.2723 4.1731 0.2978 4.4231 0.3246 4.6731 0.3525 4.9231 0.3816 5.1731 0.4115 5.4231 0.4420 5.6731 0.4731 5.9231 0.5043 6.1731 0.5355 6.4231 0.5664 6.6731 0.5968 6.9231 0.6265 7.1731 0.6552 7.4231 0.6829 7.6731 0.7093 7.9231 0.7344 8.1731 0.7581 8.4231 0.7802 8.6731 0.8009 8.9231 0.8201 9.1731 0.8378 9.4231 0.8541 9.5673 0.8629 9.7115 0.8712 9.8558 0.8790 plot(x, t, .)； hold on; fplot(inline(2*(log(x)-log(1-x)-log(0.05)+log(0.95),0.05,0.9) hold off; id=min(find(x0.8); t(id)ans = 8.6731对实验题目的解答：解：(1)该模型为：，解析解为，数值解可用MATLAB求解： fun=inline(0.5*(1-x)*x,t,x); t,x=ode45(fun,0 10,0.05)； t,xans = 0 0.0500 0.1058 0.0526 0.2115 0.0553 0.3173 0.0581 0.4231 0.0611 0.6731 0.0686 0.9231 0.0771 1.1731 0.0864 1.4231 0.0968 1.6731 0.1083 1.9231 0.1210 2.1731 0.1349 2.4231 0.1502 2.6731 0.1669 2.9231 0.1850 3.1731 0.2046 3.4231 0.2257 3.6731 0.2483 3.9231 0.2723 4.4231 0.3246 4.6731 0.3525 4.9231 0.3816 5.1731 0.4115 5.4231 0.4420 5.6731 0.4731 5.9231 0.5043 6.1731 0.5355 6.4231 0.5664 6.6731 0.5968 6.9231 0.6265 7.1731 0.6552 7.4231 0.6829 7.6731 0.7093 7.9231 0.7344 8.1731 0.7581 8.4231 0.7802 8.6731 0.8009 8.9231 0.8201 9.1731 0.8378 9.4231 0.8541 9.5673 0.8629 9.7115 0.8712 9.8558 0.8790 10.0000 0.8865二者的比较如图：(2) 当t=8.6731时，就可使市场购买率达到80%实验总结：1、通过这次的学习与实验，学