例谈辅助圆在中考解题中的应用及添加策略.doc

例谈辅助圆在中考解题中的应用及添加策略2010年第3期中学数学研究15例谈辅助圆在中考解题中的应用及添加策略江苏省溧水县第一初级中学(211200)吕小保在初中学段,学会并掌握一些常见的几何辅助线的添加方法,不仅是几何学习所必需的基本功,也是中考所必备的应试技能.而在我们的日常教学中,却普遍存在重直(直线,线段等)轻曲(圆,圆弧等)的辅助线添加现象.这种片面的做法,不仅使学生的知识与技能学习中存在眷先天性的缺陷,也使原本简单的问题复杂化,带来学生怕几何,中考成绩不理想等诸多问题.为此,本文特从各地的中考试题中遴选几例,对辅助圆的添加策略与方法作一系统介绍,供大家参考.1依据圆的定义.添加辅助圆根据数学概念,构造基本图形解决问题是辅助线添加中最为常见而基本的方法.而圆有描述性定义和集合定义两种,我们可根据具体问题,从两种定义的不同特点人手进行添加.1.1依据描述性定义,构造圆圆的描述性定义:把线段绕它的一个端点在平面内旋转一周,另一个端点运动所形成的图形叫做圆.针对定义中的关键词旋转,若一道问题中有旋转变换,我们就可以考虑构造以旋转中心为圆心的圆,将问题作适当的转化研究.例1(2005年宿迁市)某数学兴趣小组,利用树影测量树高.如图1,已测出树AB的影长AC为9米,并测出此时太阳光线与地面成30.夹角.(1)求出树高AB;(2)因水土流失,此时树AB沿太阳光线方向倒下,在倾倒过程中,树影长度发生了变化,假设太阳光线与地面夹角保持不变,试求树影的最大长度.分析:本题第(1)问比较简单,第(2)问对多数学生而言,有一定的挑战性,主要表现在无法理解树影的最大长度,无法用图形进行表示.其实,只需抓住题中树倾倒,并由此说明树在做旋转,从而对照圆的描述性定义,构造以点A为圆心,AB长为半径的1/4圆(如图2),建立直线与圆的相切模型,把问题转化为求光线与辅助圆相切时形成的影子长度AF.3i图1图21.2根据圆的集合定义,构造圆圆的集合定义:圆是到定点的距离等于定长的点的集合,其中定点为圆心,定长为半径.由此,对于动点与定点的距离等于定长的问题,我们就可构造一个以定点为圆心,定长为半径的圆,将所要研究的动点统统锁定在辅助圆上,进而分析.例2(2007年义乌市)如图3,直线f上f,垂足为点0,A,B是直线f.上的两点,且OB=2,AB:.直线f绕点0按逆时针方向旋转,旋转角度为(0.<<180.).12/iB,/,0,l(1)当=60.时,在直图3线z上找点P,使得ABPA是以/B为顶角的等腰三角形,此时OP=.(2)当OL在什么范围内变化时,直线Z上存在点P,使得ABPA是以日为顶角的等腰三角形,请用不等式表示OL的取值范围.分析:解决本题的最大问题是答案不全,学生大多只能找到其中一点P,而出现丢分.若学生掌握了圆的本质特征到定点距离等于定长,根据本题是以/_B为顶角的等腰BPA三角形,应能构造以点B为圆心,BP为图4半径的圆,将符合条件的点P统统锁定在辅助圆B上(如图4所示),得oP=3+1或31.第(2)问,借助于第(1)问的辅助圆,建立直线与QB相交与相切的模型,求得/=45.或135.,得45.<90.或90.<135.点评:相对于圆的描述性定义的直观性,圆的16中学数学研究2010年第3期集合定义更为理性和抽象,突出包含了所有符合条件的点.因而利用圆的这一点集特性,可把所讨论的点进行数量和位置上的锁定统统都在辅助圆上,以保证所要讨论的点不漏不重.2从圆的有关性质入手,构造辅助圆圆的性质主要集中在圆周(或心)角,弧,弦(或直径)等对象之间的相互关系上,因此在解决有关角,线之问的问题时,我们可考虑添加辅助圆,把问题转化为曲线(圆)问题,应用圆的性质寻找解法.2.1从圆周角动而不变的特性人手定理一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半,而一条弧所对的圆周角有无数多个,这些角具有顶点位置改变而其大小不变的特性,即动而不变性.根据这一特性,我们可以用来研究有关角度定值问题.例3(2006年淄博市)如图5,是线段AC的中点,过点c的直线f与AC成60.的角,在直线f上取一点P,使得/APB=30.,则满足条件的点P的个数是().A.1个;B.2个;C.3个;D.无数个.分析:对于本题中满足条件的点P有两个,可如何证明有且只有两个则是解答本题的难点和关键.构造以AB为弦,/APB为圆周角的辅助圆,就可一箭双雕,轻松证明.如图6,以等边AOAB的顶点0为圆心,AB长为半径作o0,当圆心0在线段AB的上方时,直线z与o0有两个公共点(理由略);当圆心0在线段AB的下方时,直线f与o0相离,没有符合条件的点P.因此,符合条件的点P有目.只有2个.图5(2)图6点评:从证明有且只有两个出发,不仅可让学生体会辅助圆添加的必要性和意义,也让学生学会如何根据不变的角度添加圆的方法与技能.2.2从直角与直径之间的关系人手直径所对圆周角为直角;90.的圆周角所对的弦为直径.因而,在解决有关直角的问题上,辅助圆是一种较为常见的辅助线.例4(2oo8南京市)如图8,AB上BC,CD上BC,垂足分别为B,c.(1)当AB=4,DC=1,BC=4时,在线段BC上是否存在点P,使AP上PD?图8如果存在,求线段BP的长;如果不存在,请说明理由.(2)设AB=a,DC=b,AD=C,那么当a,b,c之间满足什么关系时,在直线BC上存在点P,使PJ_PD7分析:本题第(2)问虽可运用第(1)问的建立方程相似方法解决,但非常麻烦.而若构造以AD为直径的圆(如图9),则可把问题转化为求直线BC与辅助圆的位置关系来解.当直线BC与O0有公图9共点时,直线BC上就存在使P上尸D的点P,由dr可得0+bC.2.3从圆周角与圆内角,圆外角之间的大小关系人手同弧或等弧所对的圆周角相等,且小于该弧所对的圆内角,而又大于它所对的圆外角.例5(2008年丽水市)如图10是2008北京奥运会某比赛场馆的平面图,根据距离比赛场地的远近和视角的不同,将观赛场地划分成A,B,C三个不同的票价区.其中与场地边缘MN的视角大于或等于45.,并且距场地边缘MN的距离不超过30米的区域划分为A票区,B票区如图所示,剩下的为C票区.(1)请你利用尺规作图,在观赛场地中,作出票区所在的区域(只要求作出图形,保留作图痕迹,不要求写作法);(2)如果每个座位所占的平均面积是0.8平方米,请估算票区有多少个座位.分析:根据条件与场地边缘MN的视角大于或等于45.,应建立以MN为弦,弧MN所对的圆周角为45.的圆模型.当弧MN所对的圆周角为45.时,其所对的圆心角为90.,因此以MN为斜边作等腰直角三角形MNO,再以点0为圆心,OM长为半径,-,作圆弧(如图11),线段MN,EF与F,EN所围成的区域就是所作的票区.2010年第3期中学数学研究17熟悉三题型,把握三要素,破解三视图浙江省湖州中学(313000)李连方三视图是作为高中新课标的新增内容,它加深了学生对义务教育初中阶段有关三视图内容的理解,有利于培养学生作图,识图,运用图形语言进行交流的能力.而作为高考试题中的新成员,三视图显得异常活跃,不仅在选择题,填空题中出现,而且在解答题中也出现了它的身影.为了了解三视图,看透三视图,我们应该牢记三视图中的三题型,三要素.本文以近年高考题举例说明,仅供各位同仁图10一+u+?+E)涠一星图112.4从四点共圆人手在平面直线型问题中,有着诸多的四点共圆的条件,若能发现并构造圆,则可帮我们把直线型问题转化为圆的问题,应用圆的有关性质得到一些新思路与解法.例6(2008盐城市)如图13(1),在AABC中,LACB为锐角,点D为射线BC上一点,连接AD,以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF.解答下列问题:(1)如果AB=AC,LBAC=90.,当点D在线段BC上时(与点B不重合),如图13(2),线段CF,BD之间的位置关系为,数量关系为.当点D在线段BC的延长线时,如图13(3),中的结论是否仍然成立,为什么?(3)批评和指教.1熟悉三题型,破解三视图1.1已知几何体,画出三视图这一类题型是三视图的最基本题型.解题时要注意选择合适的角度,观察几何体的特性,然后画出三视图.画三视图时要注意,侧视图在正视图的右边,俯视图在正视图的下方.-+?(2)如果ABAC,LBAC90.,点D在线段BC上运动.试探究:当AABC满足一个什么条件时,CFj_BC(点C,F重合除外)?画出相应图形,并说明理由.(3)若AC=4,BC=3,在(2)的条件下,设正方形ADEF的边DE与线段CF相交于点P,求线段CP长的最大值.分析:第(2)问,虽可应用三角形全等证明,但构造全等三角形却极为困难.而若根据题中条件LDCF=LDEF=9O.,构造四点