北师大 九年级数学 上册 一元二次方程 2.1-2.5全部辅导 最全精品习题.doc

一元二次方程1、花边有多宽（1）整式方程及一元二次方程的概念整式方程：方程两边都是关于未知数的整式；一元二次方程：只含有一个未知数x的整式方程，并且都可以化作ax2+bx+c=0(a,b,c为常数，a0)的形式。（2）一元二次方程的一般式及各系数含义一般式：ax2+bx+c=0(a,b,c为常数，a0)，其中，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项。2、配方法（1）直接开平方法的定义利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫直接开平方法。（2）配方法的步骤和方法一、移项，把方程的常数项移到等号右边；二、配，方程两边都加上一次项系数的一半的平方，把原方程化为（x+m）2=n(n0)的形式；三、直接用开平方法求出它的解。3、公式法（1）求根公式 b2-4ac0时，x=(2)求一元二次方程的一般式及各系数的含义一、将方程化为一元二次方程的一般ax2+bx+c=0(a,b,c为常数，a0)；二、计算b2-4ac的值，当b2-4ac0时，方程有实数根，否则方程无实数根；三、代入求根公式，求出方程的根；四、写出方程的两个根。4、分解因式法（1）分解因式的概念当一元二次方程的一边为0，而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时，根据ab=0，那么a=0或b=0，这种解一元二次方程的方法称为分解因式。（2）分解因式法解一元二次方程的一般步骤一、将方程右边化为零；二、将方程左边分解为两个一次因式的乘积；三、设每一个因式分别为0，得到两个一元二次方程；四、解这两个一元二次方程，它们的解就是原方程的解。知识点1 一元二次方程定义解读：1、只含有一个未知数的_方程，并且都可以转化成_（、为常数，_0）的形式，这样的方程叫做一元二次方程。2、相关概念：二次项是_，一次项是_，c叫做_。3、反思：(1) 由于一元二次方程的最高次数为_，所以必须满足_0；(2) 由于一元二次方程的一般形式是_，所以在化为一般形式时，一定要使得方程的右边是_。只有把方程转化为一般形式后，才可确定是否是一元二次方程。【自我测评】1 辨析下列方程是否为一元二次方程，不是的请说明原因：；2把方程：化成一般形式为_，其二次项系数为_，一次项系数为_，常数项为_。3若，则=_，=_，=_。1下列方程中关于x的一元二次方程是( )A B C D2方程的二次项系数是_，一次项系数是_，常数项是_。3已知是一元二次方程的一个根，则的值为_。4已知长方形的宽为x cm，长为2x cm，面积为24，则x最大不超过( )A1 B2 C3 D4配方法一、填空题：1.填上适当的数,使下面各等式成立： (1)x2+3x+_=(x+_)2; (2)_-3x+=(3x_)2; (3)4x2+_+9=(2x_)2; (4)x2-px+_=(x-_)2; (5)x2+x+_=(x+_)2.2.用配方法使下面等式成立： (1)x2-2x-3=(x-_)2-_; (2)x2+0.4x+0.5=(x+_)2+_; (3)3x2+2x-2=3(x+_)2+_; (4)x2+x-2=(x+_)2+_.二、选择题3.方程x2-6x-5=0左边配成一个完全平方式后,所得的方程是( ) A.(x-6)2=41 B.(x-3)2=4; C.(x-3)2=14 D.(x-6)2=364.方程3x2+x-6=0左边配成一个完全平方式后,所得的方程是( ) A. ; B. ;C. ; D. 5若x2+6x+m2是一个完全平方式，则m的值是（ ） A3 B-3 C3 D以上都不对6用配方法将二次三项式a2-4a+5变形，结果是（ ） A（a-2）2+1 B（a+2）2-1 C（a+2）2+1 D（a-2）2-17把方程x+3=4x配方，得（ ） A（x-2）2=7 B（x+2）2=21 C（x-2）2=1 D（x+2）2=28用配方法解方程x2+4x=10的根为（ ） A2 B-2 C-2+ D2-9不论x、y为什么实数，代数式x2+y2+2x-4y+7的值（ ）A总不小于2 B总不小于7 C可为任何实数 D可能为负数二、解答题：5.用配方法解下列方程:21世纪教育网(1)x2+4x-3=0; (2)x2+3x-2=0;(3) x2-x+=0; (4)x2+-4=0.6.用配方法求证:(1)8x2-12x+5的值恒大于零; (2)2y-2y2-1的值恒小于零.7.在高尔夫球比赛中,某运动员打出的球在空中飞行高度h(m) 与打出后飞行的时间t(s)之间的关系是h=7t-t2.(1)经过多少秒钟,球飞出的高度为10m; (2)经过多少秒钟,球又落到地面.8.在ABC中,三边a、b、c满足:a+b+c=,a2+b2+c2=,试判断ABC的形状.公式法一、填空题1一般地，对于一元二次方程ax2+bx+c=0（a0），当b2-4ac0时，它的根是_，当b-4ac0时，方程_2方程ax2+bx+c=0（a0）有两个相等的实数根，则有_，若有两个不相等的实数根，则有_，若方程无解，则有_3若方程3x2+bx+1=0无解，则b应满足的条件是_4关于x的一元二次方程x2+2x+c=0的两根为_（c1）5用公式法解方程x2=-8x-15，其中b2-4ac=_，x1=_，x2=_6已知一个矩形的长比宽多2cm，其面积为8cm2，则此长方形的周长为_二、选择题7一元二次方程x2-2x-m=0可以用公式法解，则m=（ ） A0 B1 C-1 D18用公式法解方程4y2=12y+3，得到（ ） Ay= By= Cy= Dy=9已知a、b、c是ABC的三边长，且方程a（1+x2）+2bx-c（1-x2）=0的两根相等，则ABC为（ ） A等腰三角形 B等边三角形 C直角三角形 D任意三角形10不解方程，判断所给方程：x2+3x+7=0；x2+4=0；x2+x-1=0中，有实数根的方程有（ ） A0个 B1个 C2个 D3个三、解答题11用公式法解下列方程；（1）2x2-3x-5=0 （2）2t2+3=7t （3）x2+x-=0（4）x2-2x+1=0 （5）0.4x2-0.8x=1 （6）y2+y-2=012当x=_时，代数式与的值互为相反数13若方程x-4x+a=0的两根之差为0，则a的值为_14小明在一块长18m宽14m的空地上为班级建造一个花园，所建花园占空地面积的，请你求出图中的x16要建一个面积为150m2的长方形养鸡场，为了节约材料，鸡场的一边靠着原有的一堵墙，墙长为a m，另三边用竹篱笆围成，如果篱笆的长为35m （1）求鸡场的长与宽各是多少？ （2）题中墙的长度a对解题有什么作用公式法自测题一、选择题1用公式法解方程4x212x=3，得到（ ）Ax= Bx=Cx= Dx=2方程x2+4x+6=0的根是（ ）Ax1=，x2= Bx1=6，x2=Cx1=2，x2= Dx1=x2=3（m2n2）（m2n22）8=0，则m2n2的值是（ ）A4 B2 C4或2 D4或2二、填空题1一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的求根公式是_，条件是_2当x=_时，代数式x28x+12的值是43若关于x的一元二次方程（m1）x2+x+m2+2m3=0有一根为0，则m的值是_三、用公式法解下列方程13x2+5x2=0 23x22x1=0 38（2x）=x2四、当m为何值时，方程x2（2m+2）x+m2+5=0（1）有两个不相等的实数根；（2）有两个相等的实数根；（3）没有实数根五、能力题1用公式法解关于x的方程：x22axb2+a2=02某数学兴趣小组对关于x的方程（m+1）+（m2）x1=0提出了下列问题（1）若使方程为一元二次方程，m是否存在？若存在，求出m并解此方程（2）若使方程为一元二次方程m是否存在？若存在，请求出你能解决这个问题吗？ 拓展题1如果关于x的一元二次方程a（1+x2）+2bxc（1x2）=0有两个相等的实数根，那么以a，b，c为三边的ABC是什么三角形？请说明理由 分解因式法用分解因式法解一元二次方程的两种类型一元二次方程的右边化为0后，左边在分解因式时，可分为两种类型：（1） 提公因式法：把多项式的公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式（2） 公式法：平方差公式：a2b2=（a+b）（ab） 完全平方公式：a2+2ab+b2=（a+b）2; a22ab+b2=（ab）2.【提示】运用完全平方公式解一元二次方程，实质上与用配方法是一致的，是配方法的特殊形式。例如；解方程x2-4=0,利用平方差公式变形为（x+2）(x-2)=0;解方程x2-4x+4=0，利用完全平方公式变形为 =0。【注意】在利用提公因式法、完全平方公式及平方差公式分解因式时，公因式可能是多项式，公式中的字母也可能代表多项式，因此要注意从整体上观察，切不可盲目地去化简整理。1因式分解法 若一元二次方程的一边是0，而另一边易于分解成两个一次因式时，例如，x290，这个方程可变形为(x3)(x3)0，要(x3)(x3)等于0，必须并且只需(x3)等于0或(x3)等于0，因此，解方程(x3)(x3)0就相当于解方程x30或x30了，通过解这两个一次方程就可得到原方程的解这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法2因式分解法其解法的关键是将一元二次方程分解降次为一元一次方程其理论根据是：若AB0A0或B0【基础知识讲解】1只有当方程的一边能够分解成两个一次因式，而另一边是0的时候，才能应用因式分解法解一元二次方程分解因式时，要根据情况灵活运用学过的因式分解的几种方法2在一元二次方程的四种解法中，公式法是主要的，公式法可以说是通法，即能解任何一个一元二次方程但对某些特殊形式的一元二次方程，有的用直接开平方法简便，有的用因式分解法简便因此，在遇到一道题时，应选择适当的方法去解配方法解一元二次方程是比较麻烦的，在实际解一元二次方程时，一般不用配方法而在以后的学习中，会常常用到因式分解法，所以要掌握这个重要的数学方法【例题精讲】例1：用因式分解法解下列方程：(1)y27y60； (2)t(2t1)3(2t1)； (3)(2x1)(x1)1解：(1)方程可变形为(y1)(y6)0，y10或y60，y11，y26(2)方程可变形为t(2t1)3(2t1)0，(2t1)(t3)0，2t10或t30，t1，t23(3)方程可变形为2x23x0x(2x3)0，x0或2x30x10，x2说明：(1)在用因式分解法解一元二次方程时，一般地要把方程整理为一般式，如果左边的代数式能够分解为两个一次因式的乘积，而右边为零时，则可令每一个一次因式为零，得到两个一元一次方程，解出这两个一元一次方程的解就是原方程的两个解了(2)应用因式分解法解形如(xa)(xb)c的方程，其左边是两个一次因式之积，但右边不是零，所以应转化为形如(xe)(xf)0的形式，这时才有x1e，x2f，否则会产生错误，如(3)可能产生如下的错解：原方程变形为：2x11或x11x11，x22(3)在方程(2)中，为什么方程两边不能同除以(2t1)，请同学们思考？例2：用适当方法解下列方程：(1)(1x)2；(2)x26x190；(3)3x24x1；(4)y2152y；(5)5x(x3)(x3)(x1)0；(6)4(3x1)225(x2)2剖析：方程(1)用直接开平方法，方程(2)用配方法，方程(3)用公式法，方程(4)化成一般式后用因式分解法，而方程(5)、(6)不用化成一般式，而直接用因式分解法就可以了解：(1)(1x)2，(x1)23，x1，x11，x21(2)移项，得x26x19，配方，得x26x(3)219(3)2，(x3)228，x32，x132，x232(3)移项，得3x24x10，a3，b4，c1，x，x1，x2(4)移项，得y22y150，把方程左边因式分解，得(y5)(y3)0；y50或y30，y15，y23(5)将方程左边因式分解，得(x3)5x(x1)0，(x3)(4x1)0，x30或4x10，x13，x2(6)移项，得4(3x1)225(x2)20，2(3x1)25(x2)20，2(3x1)5(x2)2(3x1)5(x2)0，(11x8)(x12)0，11x80或x120，x1，x212说明：(1)对于无理系数的一元二次方程解法同有理数一样，只不过要注意二次根式的化简(2)直接因式分解就能转化成两个一次因式乘积等于零的形式，对于这种形式的方程就不必要整理成一般式了例3:解关于x的方程：(a2b2)x24abxa2b2解：(1)当a2b20，即ab时，方程为4abx0当ab0时，x为任意实数当ab0时，x0(2)当a2b20，即ab0且ab0时，方程为一元二次方程分解因式，得(ab)x(ab)(ab)x(ab)0，ab0且ab0，x1，x2说明：解字母系数的方程，要注意二次项系数等于零和不等于零的不同情况分别求解本题实际上是分三种情况，即ab0；ab0；ab例4:已知x2xy2y20，且x0，y0，求代数式的值剖析：要求代数式的值，只要求出x、y的值即可，但从已知条件中显然不能求出，要求代数式的分子、分母是关于x、y的二次齐次式，所以知道x与y的比值也可由已知x2xy2y20因式分解即可得x与y的比值解：由x2xy2y20，得(x2y)(xy)0，x2y0或xy0，x2y或xy当x2y时，当xy时，说明：因式分解法体现了“降次”“化归”的数学思想方法，它不仅可用来解一元二次方程，而且在解一元高次方程、二元二次方程组及有关代数式的计算、证明中也有着广泛的 应用【同步练习】1选择题(1)方程(x16)(x8)0的根是( )Ax116，x28Bx116，x28Cx116，x28Dx116，x28(2)下列方程4x23x10，5x27x20，13x215x20中，有一个公共解是( )AxBx2Cx1Dx1(3)方程5x(x3)3(x3)解为( )Ax1，x23BxCx1，x23Dx1，x23(4)方程(y5)(y2)1的根为( )Ay15，y22By5Cy2D以上答案都不对(5)方程(x1)24(x2)20的根为( )Ax11，x25Bx11，x25Cx11，x25Dx11，x25(6)一元二次方程x25x0的较大的一个根设为m，x23x20较小的根设为n，则mn的值为A1B2C4D4(7)已知三角形两边长为4和7，第三边的长是方程x216x550的一个根，则第三边长是( )A5B5或11 C6D11(8)方程x23|x1|1的不同解的个数是( )A0B1C2D3二填空题(1)方程t(t3)28的解为_(2)方程(2x1)23(2x1)0的解为_(3)方程(2y1)23(2y1)20的解为_(4)关于x的方程x2(mn)xmn0的解为_(5)方程x(x) x的解为_3用因式分解法解下列方程：(1)x212x0； (2)4x210； (3)x27x；(4)x24x210；(5)(x1)(x3)12；(6)3x22x10；4用适当方法解下列方程：(1)x24x30；(2)(x2)2256；(3)x23x10；(4)(3y)2y29； (5)(1)x2(1)x0； (6)x2(51)x0；5已知x23xy4y20(y0)，试求的值6已知(x2y2)(x21y2)120求x2y2的值7请你用三种方法解方程：x(x12)8648一跳水运动员从10米高台上跳水，他跳下的高度h(单位：米)与所用的时间t(单位：秒)的关系式h5(t2)(t1)求运动员起跳到入水所用的时间9为解方程(x21)25(x21)40，我们可以将x21视为一个整体，然后设x21y，则y2(x21)2，原方程化为y25y40，解此方程，得y11，y24当y1时，x211，x22，x当y4时，x214，x25，x原方程的解为x1，x2，x3，x4以上方法就叫换元法，达到了降次的目的，体现了转化的思想(1)运用上述方法解方程：x43x240(2)既然可以将x21看作一个整体，你能直接运用因式分解法解这个方程吗?综合提高一、选择题1、下列方程是一元二次方程的是（ ）。A、 B、C、 D、2、一元二次方程的根为（ ）。A、x = 2 B、x = 2 C、x1 = 2 , x2 = 2 D、x = 43、已知2是关于x的方程：的一个解，则2 1的值是（ ）。A、5 B、5 C、3 D、34、用配方法解一元二次方程，则方程可化为（ ）。A、 B、 C、 D、5、小丽要在一幅长为80cm，宽为50cm的矩形风景画的四周外围镶上一条宽度相同的金色纸边制成一幅矩形挂图，使整幅挂图面积是5400cm2，设金色纸边的宽度为x cm，则x满足的方程是（ ）。A、 B、C、 D、 6、若方程是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是（ ）。A、m = 0 B、m 1 C、m 0且m 1 D、m 为任意实数7、将方程2x2-4x-3=0配方后所得的方程正确的是A、(2x-1)2=0 B、(2x-1)2-4=0 C、2(x-1)2-1=0 D、2(x-1)2-5=08