微积分、极限思想推导圆周长、面积公式

圆周长公式推导1.积分法在平面直角坐标下圆的方程是x2 + y2 = r2这可以写成参数方程x = r * Cos ty = r * Sin tt0, 2于是圆周长就是C = (0到2)( (x(t)2 + (y(t)2 ) dt（Q:此处x,y对t为什么都要导？A: 将一个圆的周长分成n份，x(t)=x=xn-x(n-1), y(t)=y=yn-y(n-1).当n，x，y0时，可将每一份以直代曲，即每一份的长度C/n=(x2+y2)= ( (x(t)2 + (y(t)2 ).所以C就是( (x(t)2 + (y(t)2 )从0到2的积分.虽然不导得出的结果是一样的，但原理方面就解释不通了.） =(0到2)( (-rSint)2 + (rCost)2 ) dt =(0到2) r dt= 2r2.极限法在圆内做内接等n边形，求等n边形周长：可以分割成n个以圆心为顶点的三角形，其底边长为 2*r*sin(/n) ，所以等n边形周长为n*2*r*sin(/n)这个周长对n求极限limn*2*r*sin(/n) 运用等价无穷小规则，当x0时，有sinxx所以limn*2*r*sin(/n) =limn*2*r*/n=2r.圆面积公式推导应用圆周长C = 2 r 1. 可以将圆分成两个半圆两个半圆，再将两个半圆分成无数个面积相等的扇形并展开，在拼接起来，底边可以以直代曲，那么就是一个底边长为r，高为r的矩形。这是小学的推导法，但有微积分的思想在其中。2. 积分法可将圆看成由无数个同心圆环组成. 设圆半径为R，里面的同心圆环半径为r，为自变量.设每个圆环厚度为dr0，则圆环周长可看为2r，圆面积为所有这些圆环的面积之和.所以S = 2r dr,从0积到R.所以S=21/2(R2-02)= R2.(球体积公式推导方法中的“球壳法 Shell Method”与此法是类似的.)不应用圆周长C = 2 r 1. 积分法(1) 圆方程为x2+y2=r2.只需算出第一象限(0积到r)，然后乘以4.方法和求曲边梯形面积类似，具体不再叙述.(2)我们回过头来看到上面周长推导中的Q和A. C/n=(x2+y2)= ( (x(t)2 + (y(t)2 )，每份C/n与两条半径组成的扇形的底面曲边是可以以直代曲的，那每个小扇形可以看成以C/n为底、r为高的等边三角形，每个面积就是r* C/n*1/2=1/2*r*(x2+y2)= 1/2*r*( (x(t)2 + (y(t)2 ).于是圆的面积就是S=(0到2) 1/2*r*( (x(t)2 + (y(t)2 ) dt =1/2*r*(0到2) ( (x(t)2 + (y(t)2 ) dt =1/2*r*C =1/2*r*2r =r2.2.极限法类似于上面周长公式的极限法推导，在圆内做内接等n边形，求等n边形面积：可以分割成n个以圆心为顶点的三角形，根据正弦定理，其面积为 1/2*r*r*sin(2*/n) ，所以等n边形面积为n*1/2*r2*sin(2*/n)这个面积对n求极限limn*1/2*r2*sin(2*/n)