流体力学-第一讲 场论与张量分析初步

2020 4 24 1 高等流体力学 主讲人 倪玲英 2020 4 24 2 工程流体力学 从实用角度 对工程中涉及的问题建立相应的理论基础 并进行计算 静力学运动学以理想流体为主动力学 引言 以理论分析为主 讨论实际流体运动规律 运动学动力学 高等流体力学 以实际流体为主 对于实际流体讨论了管流阻力计算 是在理想流体得出规律基础上进行修正 并结合实验 2020 4 24 3 主要内容 第一章场论与张量分析初步第二章流体运动学第三章流体力学基本方程组第四章粘性流动基础第五章Navier Stokes方程的解第六章边界层理论第七章流体的旋涡运动第八章湍流理论 2020 4 24 4 第一章场论与张量分析初步第一节场论简述第二节张量初步第三节雅可比行列式 2020 4 24 5 第一节场论简述 基本概念场的几何表示标量场的梯度向量的散度向量的旋度哈密顿算子 和场论的基本运算公式 2020 4 24 6 一基本概念1 场 field 设在空间中的某一区域内定义标量函数或矢量函数 则称定义在此空间区域内的函数为场 标量场 scalarfield 向量场 vectorfield g f r t 均匀场 homogeneousfield 非均匀场 non homogenousfield 定常流场 steadyfield 非定常流场 unsteadyfield 2020 4 24 7 1 标量 是一维的量 它只须1个数量及单位来表示 它独立于坐标系的选择 流体的温度 密度等均是标量 2 向量 矢量 不仅有数量的大小而且有指定的方向 它必须由某一空间坐标系的3个坐标轴方向的分量来表示 因此向量是三维的量 速度 加速度是向量 常用黑体字母x u表示空间坐标位置向量和流速向量 也用类似表示 2020 4 24 8 对于笛卡儿坐标 X的3个分量为x1 x2 x3 而三个坐标方向的单位分别用e1 e2 e3表示 有时也常用i j k表示 因此位置向量和速度向量可以写为 向量的加减 2020 4 24 9 矢量的标量积 数量积 点积 内积 功 当力F作用在质点上使之移动一无限小位移ds 此力所做功定义为力在位移方向的投影乘以位移的大小 2020 4 24 10 2020 4 24 11 矢量的矢量积 向量积 叉乘 外积 2020 4 24 12 平面面积可作为一个向量 2020 4 24 13 数量三重积 循环置换向量次序 结果不变 改变循环向量次序 符号改变 2020 4 24 14 数量三重积几何意义 作为平行六面体的体积 2020 4 24 15 向量三重积 括号不能交换或移动 2020 4 24 16 二 场的几何表示1 scalarfield 1 用等值线 面 表示令 2 它的疏密反映了标量函数的变化情况 二 场的几何表示2 vectorfield 大小 标量 可以用上述等位线 等位面 的概念来几何表示 方向 采用矢量线来几何地表示 矢量线 线上每一点的切线方向与该点的矢量方向重合 矢量线的描述是从欧拉法引出 2020 4 24 18 矢量线方程 设是矢量线的切向元素 则据矢量线的定义有直角坐标 则有 所以有 向量线方程 向量管 在场内取任一非向量的封闭曲线C 通过C上每一点作矢 向 量线 则这些矢量曲线的区域为向量管 迹线的描述是从欧拉法引出 2020 4 24 20 三 标量场的梯度 方向导数 函数z f x y 在一点P沿某一l方向的变化率 为x轴到l的转角 与方向导数关联的是梯度 与梯度关联的是方向导数 2020 4 24 21 沿梯度方向的方向导数达到最大值 2020 4 24 22 直角坐标系中 是一个算子 operator 它具有向量与微分的双重性质 称为哈密顿算子 Hamiltonoperator 物理量沿任一方向 其单位向量为n0 的变化率为 2020 4 24 23 梯度意义的证明 如图 设方向单位向量函数沿方向的变化为 另 与同向时 最大 沿梯度方向的方向导数达到最大值 2020 4 24 24 定理证明 a 满足关系式 证明 2020 4 24 25 b 若任给一封闭曲线L 且是矢径的单值函数 则 证明 梯度的性质 标量场不均匀程度的量度 梯度方向和等位面的法线方向重合 指向函数值增大的方向 在任一方向的变形等于该方向的方向导数 梯度的方向是标量变化最快的方向 2020 4 24 26 2020 4 24 27 四 向量的散度 divergence 1 预备知识a 向量通过曲面的通量 flux b Gauss定理 若在有一阶连续偏导数 则 2020 4 24 28 2 散度的定义于是Gauss定理可以写作 由封闭曲面s流出的通量可以看成是体积V的膨胀量 所以散度也就是流体的体积膨胀量 散度是标量 而不是向量 2020 4 24 29 2020 4 24 30 2020 4 24 31 五 向量的旋度 rotation 1 预备知识1 向量的环量 Circulation 2020 4 24 32 2 Stokes定理 L围成S S单连通 向量为速度 为二元流动 当封闭周线内有涡束时 则沿封闭周线的速度环量等于该封闭周线内所有涡束的旋涡强度之和 这就是斯托克斯 G G Stokes 定理 通式 2020 4 24 33 2020 4 24 34 2 旋度的定义 于是Stokes定理可以写成 2020 4 24 35 例题 2020 4 24 36 六 哈密顿算子 和场论的基本运算公式1 哈密顿算子的定义 它具有矢量和对它右边的量微分的双重性 因此 2020 4 24 37 2 基本运算公式 1 2 2020 4 24 38 3 证明 令 2020 4 24 39 4 证明 注 5 2020 4 24 40 6 证明 根据柯青法则苏联数学家柯青的运算法则 当除了一个矢量之外 其他的矢量都是常数时 应该这样来变换表达式 以使得所有常矢量都位于算子之前 而变量则位于它之后 2020 4 24 41 7 证明 XZY 顺变为正逆变为负 2020 4 24 42 在混合乘积中有两个矢量相同 必然为0 2020 4 24 43 2020 4 24 44 3 哈密顿算子对积分的应用 由Gauss定理有 2020 4 24 45 由这些公式可以看出 只要把体积分中的哈密顿算子换成法向单位向量即是面积分的被积函数 推广的高斯公式可以写为 高斯公式 Gauss stheorem 将体积分与面积分联系起来 在流体力学中十分有用 2020 4 24 46 第二节张量初步 前言张量的定义张量的表示法几种特殊的二阶张量张量的运算 2020 4 24 47 一 前言1 指标和符号1 自由指标如矢量 其分量可表示为 则称为自由指标 2 约定求和法则和哑指标约定在同一项中 如有两个指标相同 就表示对该指标从1到3求和 这个约定称为爱因斯坦求和约定 这重复的指标称为哑指标 如 2020 4 24 48 2020 4 24 49 2 符号 1 克罗内克尔符号 各向同性张量 也就是说当坐标系转动后 张量的分量不变 2020 4 24 50 具有替换下标的作用 2020 4 24 51 2 置换符号 注 偶排列123 231 312 3 恒等式 2020 4 24 52 因为 例题 2020 4 24 53 例题 例题 2020 4 24 54 证明 XZY 顺变为正逆变为负 2020 4 24 55 1 张量的定义张量是由一组分量所构成的集合 这组分量在坐标改变时应满足一定的坐标变换关系 以保证该张量本身所描述的一个完整的几何对象或物理量对象不随坐标的变换而变化 笛卡尔坐标 二 张量的定义 分别是新旧坐标系的单位基矢量为新旧坐标之间不同坐标轴夹角的方向余弦 2020 4 24 57 1 对于流场中 标量 在新旧坐标中 量值不变 2 对于流场中的矢量 新旧关系 基矢 在新旧坐标系中表示为 于是 其中是旧新坐标中不同坐标轴夹角的余弦 2020 4 24 58 由式给出了矢量的另一种定义 对每一个直角坐标系来说 有三个量 它根据 1 式变换到另一个坐标系中的三个量中去 则此三个量定义一新的量 称为矢量 若将矢量以坐标变换的基础定义 1 加以推广 可得张量的定义 2020 4 24 59 3 流场中点的应力状态它有9个分量来表示旧坐标中应力矢量 2 新坐标系中 应力矢量 3 把 2 代入 3 有 4 于是 5 而 6 j l旧坐标系i k新坐标系 2020 4 24 60 凡符合可变换规律的物理量称为二阶张量 若在一直角坐标系内给定了3n个数 当坐标变换时 所得新的数则称此3n个数为一个n阶张量 说明 标量是零阶张量 矢量是一阶张量 应力是二阶张量 2020 4 24 61 2020 4 24 62 四 几种特殊的二阶张量1 零张量 在任意直角坐标系中各分量皆为零的量 以0表示2 单位张量 3 共轭张量 4 对称张量 2020 4 24 63 4 对称张量 只有6个不同分量 2020 4 24 64 5 反对称张量 只有3个不同分量 2020 4 24 65 2020 4 24 66 6 并矢证明 为二阶张量 1 2 要证是二阶张量只需证明 3 1 2 代入即是 2020 4 24 67 例题1 例题2 2020 4 24 68 五 张量的运算1 张量相等 则各分量一一对应相等2 张量加减 则3 张量数乘 A 张量 一个常数等于个分量都乘以 2020 4 24 69 五 张量的运算4 二阶张量的点积 定义 为让并矢中相邻单位向量点乘积 两个二阶张量点积后得到一个二阶张量 两个二阶张量叉乘后得到一个三阶张量 2020 4