资金时间价值

一 资金时间价值的概念二 一次性收付款项的终值与现值三 年金 含义 分类 计算 四 几个特殊问题 折现率 期间和利率的推算 第一节资金时间价值 一 资金时间价值的概念 1 定义 货币在使用过程中随时间的推移而发生的增值 2 货币时间价值质的规定性 货币所有者让渡货币使用权而参与剩余价值分配的一种形式 3 货币时间价值量的规定性 没有风险和没有通货膨胀条件下的平均资金利润率 4 财务管理中要考虑货币的时间价值是为了便于决策 一 单利所生利息均不加入本金重复计算利息 I 利息 P 本金i 利率 t 时间F 终值 二 一次性收付款项的终值与现值 1 单利利息的计算公式 I P i t2 单利终值的计算公式 F P P i t P 1 i t 3 单利现值的计算公式 P F 1 i t 或P F I 一 单利 二 复利1 概念 每经过一个计息期 要将所生利息加入本金再计利息 逐期滚算 俗称 利滚利 2 复利终值公式 FVn PV 1 i n其中FVn 复利终值 PV 复利现值 i 利息率 n 计息期数 1 i n为复利终值系数 记为FVIFi nFVn PV FVIFi n 3 复利现值公式 PV FVn PVIFi n 二 复利 其中为现值系数 记为PVIFi n 概念 当利息在1年内要复利几次时 给出的利率就叫名义利率 关系 i 1 r M M 1 其中r 名义利率 M 每年复利次数 i 实际利率 4 名义利率与实际利率 实际利率和名义利率的计算方法第一种方法 先调整为实际利率i 再计算 实际利率计算公式为 i 1 r m m 1第二种方法 直接调整相关指标 即利率换为r m 期数换为m n 计算公式为 F P 1 r m m n 本金1000元 投资5年 年利率8 每季度复利一次 问5年后终值是多少 方法一 每季度利率 8 4 2 复利的次数 5 4 20FVIF20 1000 FVIF2 20 1000 1 486 1486 Case1 求实际利率 FVIF5 PV FVIFi 51486 1000 FVIFi 5FVIFi 5 1 486FVIF8 5 1 469FVIF9 5 1 538 i 8 25 8 方法二 i 1 r M M 1 三 年金 含义 分类 计算 一 概念 年金是指等期 定额的系列收支 二 分类 1 普通年金2 预付年金3 递延年金4 永续年金 概念 各期期末收付的年金 012n 2n 1n A A A A A A 1 i 0 A 1 i 1 A 1 i n 1 A 1 i n 2 FVAn 年金终值 A 1 i 2 年金终值就是在已知等额收付款金额Present 利率 这里我们默认为年利率 interest和计息期数n时 考虑货币的时间价值 计算出的这些收付款到到期时的等价票面金额 FVAn A 1 i 0 A 1 i 1 A 1 i 2 A 1 i n 2 A 1 i n 1 其中为年金终值系数 记为 FVIFAi n FVAn A FVIFAi n 5年中每年年底存入银行100元 存款利率为8 求第5年末年金终值 答案 FVA5 A FVIFA8 5 100 5 867 586 7 元 case2 偿债基金 年金终值问题的一种变形 是指为使年金终值达到既定金额每年应支付的年金数额 公式 FVAn A FVIFAi n 其中 普通年金终值系数的倒数叫偿债基金系数 拟在5年后还清10000元债务 从现在起每年等额存入银行一笔款项 假设银行存款利率为10 每年需要存入多少元 答案 A 10000 1 6 105 1638 元 case3 年金现值 是指为在每期期末取得相等金额的款项 现在需要投入的金额 公式 0 1 2 n 1 n A A A A 1 i 1 A 1 i 2 A 1 i n 1 A 1 i n PVAn A PVAn A 1 i 1 A 1 i 2 A 1 i n 1 1 i PVAn A A 1 i 1 A 1 i n 1 2 其中 年金现值系数 记为PVIFAi n PVAn A PVIFAi n 某公司拟购置一项设备 目前有A B两种可供选择 A设备的价格比B设备高50000元 但每年可节约维修费10000元 假设A设备的经济寿命为6年 利率为8 问该公司应选择哪一种设备 答案 PVA6 A PVIFA8 6 10000 4 623 46230 50000应选择B设备 case4 投资回收问题 年金现值问题的一种变形 公式 PVAn A PVIFAi n 其中投资回收系数是普通年金现值系数的倒数 预付年金 每期期初支付的年金 形式 01234AAAA 预付年金终值公式 Vn A 1 i 1 A 1 i 2 A 1 i 3 A 1 i nVn A FVIFAi n 1 i 或Vn A FVIFAi n 1 1 注 由于它和普通年金系数期数加1 而系数减1 可记作 FVIFAi n 1 1 可利用 普通年金终值系数表 查得 n 1 期的值 减去1后得出1元预付年金终值系数 预付年金现值公式 V0 A A 1 i 1 A 1 i 2 A 1 i 3 A 1 i n 1 V0 A PVIFAi n 1 i 或V0 A PVIFAi n 1 1 它是普通年金现值系数期数要减1 而系数要加1 可记作 PVIFAi n 1 1 可利用 普通年金现值系数表 查得 n 1 的值 然后加1 得出1元的预付年金现值 递延年金 第一次支付发生在第二期或第二期以后的年金 递延年金终值公式 FVAn A FVIFAi n递延年金的终值大小与递延期无关 故计算方法和普通年金终值相同 某人从第四年末起 每年年末支付100元 利率为10 问第七年末共支付利息多少 答案 0 1 2 3 4 5 6 7 100100100100 FVA4 A FVIFA10 4 100 4 641 464 1 元 case5 递延年金现值方法一 把递延年金视为n期普通年金 求出递延期的现值 然后再将此现值调整到第一期初 V0 A PVIFAi n PVIFi m 012mm 1m n 01n 方法二 是假设递延期中也进行支付 先求出 m n 期的年金现值 然后 扣除实际并未支付的递延期 m 的年金现值 即可得出最终结果 V0 A PVIFAi n m A PVIFAi m A PVIFAi n m PVIFAi m 某人年初存入银行一笔现金 从第三年年末起 每年取出1000元 至第6年年末全部取完 银行存款利率为10 要求计算最初时一次存入银行的款项是多少 答案 方法一 V0 A PVIFA10 6 A PVIFA10 2 1000 4 355 1 736 2619方法二 V0 A PVIFA10 4 PVIF10 2 1000 3 1699 0 8264 2619 61 case6 永续年金 无限期定额支付的现金 如存本取息 永续年金没有终值 没有终止时间 现值可通过普通年金现值公式导出 公式 当n 时 四 特殊问题 一 不等额现金流量现值的计算公式 见P38 At 第t年末的付款 二 年金和不等额现金流量现值混合情况下的计算1 方法 能用年金公式计算现值便用年金公式计算 不能用年金计算的部分便用复利公式计算 2 例题 见P39 三 贴现率的计算方法 计算出复利终值 复利现值 年金终值 年金现值等系数 然后查表求得 本章互为倒数关系的系数有 单利的现值系数与终值系数复利的现值系数与终值系数后付年金终值系数与年偿债基金系数后付年金现值系数与年资本回收系数 小结 时间价值的主要公式 1 1 单利 I P i n2 单利终值 F P 1 i n 3 单利现值 P F 1 i n 4 复利终值 F P 1 i n或 P F P i n 5 复利现值 P F 1 i n或 F P F i n 6 普通年金终值 F A 1 i n 1 i或 A F A i n 时间价值的主要公式 2 7 年偿债基金 A F i 1 i n 1 或 F A F i n 8 普通年金现值 P A 1 1 i n i 或 A P A i n 9 年资本回收额 A P i 1 1 i n 或 P A P i n 10 即付年金的终值 F A 1 i n 1 1 i 1 或 A F A i n 1 1 11 即付年金的现值 P A 1 1 i n 1 i 1 或 A P A i n 1 1 时间价值的主要公式 3 12 递延年金现值 第一种方法 P A 1 1 i m n i 1 1 i m i 或 A P A i m n P A i m 第二种方法 P A 1 1 i n i 1 i m 或 A P A i n P F i m 13 永续年金现值 P A i14 折现率 i F p 1 n 1 一次收付款项 i A P 永续年金 时间价值的主要公式 4 普通年金折现率先计算年金现值系数或年金终值系数再查有关的系数表求i 不能直接求得的则通过内插法计算 15 名义利率与实际利率的换算 第一种方法 i 1 r m m 1 F P 1 i n第二种方法 F P 1 r m m n式中 r为名义利率 m为年复利次数 利用年金现值系数表计算的步骤 1 计算出P A的值 设其为P A 2 查普通年金现值系数表 沿着n已知所在的行横向查找 若能恰好找到某一系数值等于 则该系数值所在的列相对应的利率即为所求的利率i 3 若无法找到恰好等于 的系数值 就应在表中行上找与最接近 的两个左右临界系数值 设为 1 2 1 2或 1 2 读出所对应的临界利率i1 i2 然后进一步运用内插法 4 在内插法下 假定利率i同相关的系数在较小范围内线形相关 因而可根据临界系数和临界利率计算出 其公式为 一个内插法 插值法或插补法 的例子某公司于第一年年初借款20000元 每年年末还本付息额均为4000元 连续9年还清 问借款利率应为多少 依据题意 P 20000 n 9 则P A 20000 4000 5 由于在n 9的一行上没有找到恰好为5的系数值 故在该行上找两个最接近5的临界系数值 分别为 1 5 3282 2 4 9164 同时读出临界利率为i1 12 i2 14 所以 注意 期间n的推算其原理和步骤同利率的推算相似 关于资金时间价值的补充讲解 一 资金时间价值的含义1 概念 资金时间价值是指一定量资金在不同时点上的价值量差额 2 来源 资金时间价值来源于资金进入社会再生产过程后的价值增值 3 性质 相当于没有风险 没有通货膨胀情况下的社会平均资金利润率 是利润平均化规律作用的结果 4 现值和终值的概念终值 未来的本利和F现值 现在的本金P5 单利和复利 单利 只有本金产生利息复利 利滚利 差额就是资金时间价值 10010 130 资本回收系数 A P i n 即付年金终值系数 F A i n 1 1 例 A拍卖一处矿产开采权 甲投标条件 从获得开采权的第一年开始 每年末向A缴纳10亿美元开采费 共10年 乙投标条件 在取得开采权时 直接付给A40亿美元 8年后 再付给A60亿美元 假设A要求报酬率15 谁能中标 10 甲 4060 乙 选乙 例11 7 某人拟在5年后还清10000元债务 从现在起每年末等额存入银行一笔款项 假设银行利率10 则每年末应存入多少钱 二 计算公式7 普通年金现值 100100100 年金现值系数 P A i n 例11 8 某投资项目2000年年初动工 当年投产 投产之日起每年可得收益40000 按年利率6 计算 预计10年收益的现值是多少 6 4444444444 例11 9 钱小姐准备买房 方案1 100平方米住房 首付100000 然后分六年每年末付30000 钱小姐想知道 这种支付方法 相当于现在一次性支付多少钱 因为还有方案2 现在一次性购买价格2000元 平方米 方案1的现值为 方案2的现值为 100 2000 200000元 应选择方案2 10333333 二 计算公式8 资本回收额 248 6910 资本回收系数 A P i n 例11 10 某企业借得1000万元贷款 在10年内以年利率12 等额偿还 则每年应付的金额为多少 100012 1000 A P 12 10 1000 0 17698 176 98 结论5 结论6 偿债基金系数与普通年金终值系数互为倒数结论7 投资回收系数与年金现值系数互为倒数 结论8 年金现值系数与年金终值系数不是互为倒数结论9 投资回收系数与偿债基金系数不是互为倒数结论10 向后折算越折越大 向前折算越折越小 结论11 普通年金终值客观上能折算到最后一个数的位置结论12 普通年金现值能折算到第一个数的前一年 结论13 折现率越大 向后者算的结果越大 向前折算的结果越小 结论14 折现率越小 向后折算的结果不是很大 向前折算的结果不是很小 复利息要用复利终值减现值 二 计算公式9 即付年金终值结论15 即付年金终值系数是普通年金终值系数期数加1 系数减1 也可以分两段计算 100100100 10 100 即付年金终值系数 F A i n 1 1 例11 11 王先生连续六年每年初存银行3000元 若银行存款利率5 到第六年年末能一次取出本利和多少钱 5 300030003000300030003000 例11 12 孙女士欲加入火锅餐馆连锁 有两个方案 A 一次性支付50万 B 从开业起每年初支付20万 共3年 如全部贷款 年利率5 问 应选择哪个付款方案 解 A方案的付款终值 B方案的付款终止 505 200000200000200000 20000 应一次性付款 二 计算公式10 即付年金现值 100100 10 100 即付年金现值系数 P A i n 1 1 例11 13 张先生采用分期付款方式购入商品房一套 每年初付款15000 10年付清 若银行利率6 该项分期付款相当于一次现金支付的购买价是多少 150001500015000150001500015000150001500015000 15000 例11 14 李博士接到一个邀请函 聘为技术顾问 条件是 1 每月来公司指导一天 2 年聘金100000 3 提供住房一套 价值800000 4 在公司至少工作5年 5 如果不要住房 可以在5年内每年初给付200000住房补贴 李博士如果要住房 然后出售 可净得76万 假设每年存款利率2 问 李博士如何选择 解 大于760000 应选择住房补贴 前例中 如果李博士是一位业主 投资回报率为32 则其选择方案就有所不同 折现率的选择不同 结论16 即付年金现值系数是普通年金现值系数期数减1 系数加1 小于出售住房所得收入76万 应接受住房 二 计算公式11 递延年金终值 100100100 10 递延期m经营期n 结论17 递延年金终值与普通年金终值同样计算 例11 15 某投资者拟购买一处房产 有3个付款方案 方案1 从现在起15年内每年末支付10万 方案2 从现在起15年内每年初支付9 5万 方案3 前五年不支付 第6年起到15年 每年末支付18万 假设银行存款利率10 解 方案1 方案2 10 共15年 9 5 方案3 应选择第三付款方案 18 二 计算公式12 递延年金现值 方法1 先按普通年金现值的计算 将经营期的年金折算到了经营期初 在按复利现值的计算 折算到计算期初 10 100100100 递延期m经营期n 二 计算公式12 递延年金现值 方法2 将没有现金流动的递延期也视为有与经营期相同的年金 计算年金现值后 再将虚拟的年金求现值减掉 100100100 100100100100 二 计算公式12 递延年金现值 方法3 将经营期的年金折算为终值 在向前折算为复利现值结论18 递延年金现值的计算 可以向前分两段折算 也可以讲递延期虚拟年金 折现值后再减掉 还可以先向后折算年金终值 再向前折算复利现值 10 100100100 例11 16 某企业向银行借入一笔款项 银行贷款年利率10 每年复利一次 前10年不用还本付息 第11年至第20年每年末偿还本息5000元 要求 计算现值 能借多少钱 解 方法1 向前分两段折算 方法2 将递延期虚拟年金 方法3 向后折算年金终值 在折算复利现值 例11 17 某公司购置一处房产 有两种付款方案 方案1 从现在起 每年初支付20万 连续10次 方案2 从第5年开始 每年初支付25万 连续10次 假设公司资本成本率10 即最低报酬率 问 应选择哪个付款方案 解 方案1 方案2 252525共10次 选择2方案 二 计算公式13 永续年金终值结论19 永续年金没有终点 所以不能计算终值 14 永续年金现值 100100100 100100100 例11 8 吴先生在所在县设立奖学金 每年发放一次 奖励每年文 理可高考状元各10000元 奖学金存在银行 年利率2 问 吴先生要存入多少钱 解 三 利率的计算 一 复利计息方式下利率的计算1 已知现值 终值 时间 求利率 基本方法 内插法 求出复利终值系数或复利现值系数 查表 插值 例11 19 郝先生现在要将50000存入银行 希望20年后达到250000 问 存款利率应为多少 借 84 661095 6044 1 0 9434 5 0000 X 0 339 1 0 9434 X 0 339 X 0 36 利率应为8 36 例11 20 张先生要承租某小卖部3年 有两个付款方案 方案1 一次性支付3年使用费30000 方案2 3年后一次性支付50000 假设银行贷款利率5 问 张先生应选择哪个付款方案 解 思路 求出能使3年后的50000与现在的30000相等的利率 再与银行贷款利率比较 如果3年后支付50000相当于的利率高于银行贷款利率 就不如现在贷款一次性付清30000 181 6430191 6852 1 0 042 1 6667 X 0 0237 利率 18 56 选1 三 利率的计算 一 复利计息方式下利率的计算2 已知年金现值 终值 时间 求利率 思路 求出年金现值系数或终值系数 查表 插值 例11 21 如果张先生的两个付款方案是 方案1 现在一次性付清30000 方案2 3年每年末支付12000 如何选择 92 5313102 4869 1 0 0444 2 5000 X 0 0313 X 0 705利率 9 705 应选一次性付款 对于前例 也可以逐步测试 设 84 661095 6044 1 0 9434 5 0000 x 0 339 1 0 9434 X 0 339X 0 36利率应为8 36 银行利率最低应为8 36 郑先生才能达到目的 例11 22 某公司第一年初借款20000 每年末还本付息4000元 连续九年还清 问 相当于利率多少 125 3282144 9464 2 0 3818 5 0000 X 0 3282 2 0 3818 X 0 3282X 1 72利率 13 72 第二节资金时间价值三 利率的计算 一 复利计息方式下利率的计算3 永续年金的利率 基本公式 例11 23 吴先生存入1000000元建立的奖学金 每年发放20000元 问 银行利率应为多少 才能形成永久性奖学金 三 利率的计算 二 名义利率与实际利率前面学习的都是每年复利计息一次的情况 其年利率称为名义利率 如果每年复利计息超过一次 计息期短于一年 则年利息大于每年复利计息一次的情况 此时 用年利息除以本金 就形成实际利率 例11 24 年利率12 按季度复利计息 求 实际利率解 例11 25 某企业于年初存入100000元 年利率10 半年复利计息一次 到第10年末 企业能得到本利和为多少 另一种方法 补充例题 延期付款购买资产 某企业购入生产设备一台 价款300000 增值税51000 约定分3年 每年末支付100000 折现率10 解 固定资产入账价值 借 固定资产248685应交税费 应交增 进 51000贷 长期应付款351000 100000100000100000 未确认融资费用51315 例1某家庭欲购买一套建筑面积为80M2的经济适用住房 单价为3500元 M2 首付款为房价的25 其余申请公积金和商业组合抵押贷款 已知公积金和商业贷款的利率分别为4 2 和6 6 期限均为15年 公积金贷款的最高限额为10万元 问该家庭申请组合抵押贷款后的最低月还款额是多少 解 1 已知 P 3500 80 1 25 210000元 n 15 12 180月 i1 4 2 12 0 35 i2 6 6 12 0 55 Pl 100000元 P2 210000 100000 110000 元 2 计算等额偿还公积金贷款和商业贷款本息的月还款额 组合贷款的月最低还款额 A A1 A2 750 964 1714 元 例2某家庭拟购买一套住宅 单价为3000元 M2 该家庭月收入6000元 其中30 可用来支付房款 银行可为其提供15年期的住房抵押贷款 贷款年利率为6 抵押贷款价值比例最大为80 问根据该家庭的支付能力最多可以购买多少平方米的住宅 解 1 设该家庭每月能支付的房款为A 则A 6000 30 1800 元 2 n 15 12 180 月 i 6 12 0 5 3 该家庭能承受的抵押贷款额为P 4 该家庭能承受的购房总价值为V 则V 213306 80 266633 元 5 对该家庭比较适合的房型面积为S 则S 266633 3000 88 88 M2 例3某家庭以4500元 M2的价格购买了一套建筑面积为120M2的住宅 并向金融机构申请了相当于房价70 的按月等额还款的抵押贷款 已知该项抵押贷款的年限为15年 年利率为12 按月计息 如果该家庭拟于开始还款后的第10年年初一次偿清该抵押贷款的余额 问此时一次偿还的金额为多少 解 1 P 4500 120 70 378000 元 n 15 12 180 月 t 6 12 72 月 i 1 2 3 第十年年初拟一次偿还的金额应为 例4某家庭预买一套面积为120M2的商品住宅 单价为7000元 M2 首付款为房价的30 其余申请公积金和商业组合抵押贷款 已知公积金和商业贷款的利率分别4 65 和5 04 期限均为20年 公积金贷款的最高限额为20万元 采用等额还本付息方式 商业贷款采用等比递增还款方式 月还款额增长率为0 35 问该家庭申请组合抵押贷款后第15年最后一个月的最低还款额是多少 解 1 已知 P 120 7000 1 30 588000元 n 20 12 240月 t 15 12 180月 i1 4 65 12 0 39 i2 5