07.Section 2.4

4惯性力 运动学 动力学 研究牛顿定律在参考系变换中的情况 平动和转动 平动 固联在参考系上的任一条直线 在各时刻方向总保持平行的运动平动不一定就是直线运动 转动 参考系上的直线绕同一转轴作圆周运动 平动 转动 两个相对运动的参考系K K 之间存在 牵连 加速度A 相对于 静止 参考系 牛顿定律成立 a 绝对 在运动参考系中 a 相对 A 0和A 0不同情况 A 0 A 0 平动转动 伽利略相对性原理与伽利略坐标变换 A 0 如K 相对于 静止 参考系K作匀速直线运动 牵连 速度V不变 相对于匀速直线运动参考系K 牛顿运动定律仍然成立 力学现象的进行就和在 静止 参考系中一样 伽利略相对性原理 一个对于惯性系作匀速直线运动的其他参考系 其内部所发生的一切物理过程 都不受系统作为整体的匀速直线运动的影响 相互作匀速直线运动的各个参考系都是等价的如果把某个惯性系认定为静止的 那么相对于它作匀速直线运动的参考系也是惯性参考系同样有资格被称为静止的 对于物理学规律而言 一切惯性系都是等价的 注意 一切惯性系都是等价的 并不是说在不同惯性系中所看到的现象都是一样 而是指不同惯性系中的动力学规律都一样 从而都能正确地解释所看到的现象 例如 F ma形式不变 经典力学中 静止 并无绝对的意义无论在惯性系内部进行什么样的力学测量 力学实验或力学现象的观察 都不可能判断参考系是 静止的 还是 作匀速直线运动 在力学中 不存在绝对静止参考系 这就是伽利略相对性原理或力学相对性原理 伽利略坐标变换 适当选择坐标原点和时间起点 假定在t 0时刻两坐标系重合 R Vt K K 分别取直角坐标系 x y z 和 x y z 由于坐标轴的取向可任意选择 可选取x轴沿相对速度V的方向 伽利略坐标变换中强调了t t 是相同的 即采用了绝对时间概念 古典力学中时间的绝对性 但是在V c光速时 要采用狭义相对论中的洛伦兹变换 相对论力学既适用于低速运动 也适用于高速运动在低速运动下 V c 有 1 1 洛伦兹变换归结为伽利略变换 平动参考系中的惯性力 A 0 如参考系K 自身相对于 静止 参考系K的运动并非匀速直线运动 即A 0 表明牛顿定律相对于 运动 参考系K 不再成立K 为非惯性系 令F mA F 则F ma 牛顿定律在形式上被恢复了 将力的概念加以扩大 认为质点除受到其它物体作用于它的牛顿力F之外 还受到一种非物体相互作用的附加力 mA 惯性力 F惯 mA 引入惯性力之后 牛顿运动定律就 仍然 成立 F 是质点在非惯性系K 中受到的总有效力它是 真实的 力F与 假想的 惯性力F惯的合成惯性力F惯是假想的 因为不存在施力物体 从而不存在反作用力 F F F惯 关于惯性力 要指出 提到牛顿力 都应当明确指出是哪一物体作用于哪一物体的 而质点所受的惯性力 却不能指出是哪一物体作用于这一质点物体的作用是相互的 每一牛顿力都有它的反作用力 惯性力并非物体之间的相互作用 因而不存在反作用力选用了平动参考系 所有质点受到惯性力 其指向与 牵连 加速度A的指向相反 其大小正比于A的大小 各个质点所受的惯性力又正比于各质点的质量 超重与失重 人站在台秤上 处在有竖直加速度a的升降机里人受到 重力mg惯性力f惯 ma 有效重力为m g a 台秤的读数 物体的重量是用它作用在支撑物上的力来衡量台秤给人的支持力N满足平衡条件 N m g a 0N m g a 人给台秤的反作用 即台秤受到的压力N N m g a 用惯性力来解释超重和失重若取向下 g方向 为正 加速度方向向上 即与g反向 则 a f惯 m a ma N mg f惯 m g a mg超重 加速度方向向下 即与g同向 则a f惯 m a ma N mg f惯 m g a mg失重当升降机自由降落时 a g 人的重量为0 完全失重 例 宇宙飞船获得必要的速度以后 停止了发动机的工作 试求飞船中质量为m的质点的视重 其时飞船的重心C距地心距离为 0 视重 是静止于飞船中的物体施于承托物的作用力 求承托物给予质点的作用力N 其反作用力即是质点的视重 以飞船为参考系来研究质点 质点相对于飞船为静止 质点受到重力P作用 指向地心 大小质点受到承托物给予的作用力N 飞船在停止了发动机的工作之后 就成为地球重力场中的 落体 飞船所受重力指向地心 大小 M是飞船的质量R为地球半径 飞船的加速度a0指向地心 大小 飞船是具有加速度的参考系 考虑惯性力F惯 方向与a0指向相反 背离地心大小 若质点位于A点 质点与地心距离大于飞船质心C与地心距离 则视重 N背离地心 指向地心 若质点位于B点 质点与地心距离小于飞船质心C与地心距离 则视重 N指向地心 指向背离地心 人们往往把视重的方向看作 下 方 若飞船足够大 则 在A处的人将感觉到地球在 上 方在B处的人将感觉到地球在 下 方 事实上 飞船的尺度远小于其与地心的距离 0 飞船中质点与飞船重心C的距离r 0 所以 0 r cos 0 飞船中所有质点的视重都等于0即使撤去承托物 质点也能保持平衡 失重 地球 飞船 飞船中的质点太阳 地球 地球上的质点 由于地球的公转 就太阳的引力而言 地球上所有物体都是 失重 的相对于地球 研究地球上物体的运动 所有物体就和没有受到太阳的引力一样 转动参考系中的惯性力 转动圆盘 O O O点 静止 先讨论转动参考系最简单的情况 质点相对于转系 相对静止 相对于转动圆盘 小球m静止相对速度v 0 相对加速度a 0绝对运动 相对于 静止 参考系小球作圆周运动 绝对 加速度包括 向心加速度切向加速度 若转速 随时间而变 考虑动力学 相对于 静止 参考系 牛顿运动定律成立 绝对 加速度a 牛顿力F ma 小球有向心加速度 受到向心力作用小球如有切向加速度 受到切向力 不是凭空而来的 F合 Fn Ft 向心力Fn的反作用力 即小球对弹簧的反作用力 向外拉称为离心力Fn 相对于转动参考系 小球静止 v 0 a 0 向心力与切向力是牛顿力 与参考系选择无关 小球受力作用而不运动 转动参考系为非惯性参考系 如果要把牛顿定律运用到这种情况 则存在一个力F惯 F作用于物体上 才能使物体平衡 惯性离心力 指向与Fn相反 大小相等若转速变化 则切向惯性力 离心力vs 惯性离心力 要区别离心力和惯性离心力 离心力F 不是作用于质点 小球 的力 是质点施于其它物体的牛顿力惯性离心力F惯 是在非惯性转动参考系中的观察者假想作用在物体上的一种惯性力 例 试研究地面上物体的重量 所谓重量即静止于地球上的物体施于其承托物的力物体的重量是用它作用于支撑物上的力来衡量的 以地球为参考系研究物体 物体相对于地球是静止的 物体受到地球的引力 引力指向地心 大小 m物体质量 M地球质量 R地球半径 地球不断自转 是一个转动惯性系 考虑惯性力 如物体所处纬度为 则与地轴垂直距离 与地轴垂直而背离地轴 地球自转角速度变动极小 切向离心力可忽略 取如图坐标系 物体相对于地球静止 x方向 z方向 2 弧度 恒星日 7 29212 10 5弧度 秒 是一很小的数值 二项式展开 惯性离心力对重量的影响有两方面 惯性离心力的z分力 与引力指向相反 以致重量P比起真正的引力减小了 赤道上 惯性离心力最大 视重最小 两极 惯性离心力最小 视重最大 同一物体 在纬度越低的地点重量越小 重量是引力与惯性离心力的合力 所以重量的指向偏离了引力的指向 偏离的角度由 给出 在两极 由于没有惯性离心力 无偏离在赤道惯性离心力最大 但是与引力在同一直线上 无偏离 平常所说的竖直方向 即重量的方向 严格说来 并不指向地心而偏离一个小角度 由于 很小 所以这个偏角 在大多数情况下可以忽略 惯性离心力正比于 2 它的变化是二级小量在运动距离变化不太大的情况 惯性离心力可作为常力处理作为常力 惯性力的效应是使重力的指向偏离地球吸引的指向 使重量小于地球引力 只要总是用重力代替地球引力 其实其间的微小差别往往可以忽略 就已包含了惯性离心力的效应在内 不必另外再提出惯性离心力 P80页例14一水桶绕自身的铅直轴以角速度 旋转 当水与桶一起转动时 水面的形状如何 z r 求解水面形状 即求解z r曲线 即z r 的函数形式在水桶参考系中 取右图坐标系液块dm受力 重力 dm g惯性离心力 有效重力为N dm g 2r N与液面处处垂直 积分得 P80页例15质量为m的小环套在半径为R的光滑大圆环上 后者绕竖直直径以匀角速 转动 试求小环的平衡位置随 的变化 小环的平衡位置处 小环相对大环静止 在大环参考系内 小环受到切向力 平衡 只有在 超过时 才成为可能 平衡位置是否稳定要从能量角度考虑 从静止缓慢增大 在未出现平衡位置C D前 A是稳定的 B不稳后 C D稳定 而A失稳 参见第三章 一维势能曲线部分 矢量表示 角速度 的矢量表示 转动 绕什么轴线转动 绕此轴线向哪一方向转动 转动的快慢 物理学中规定 角速度 是个矢量 该矢量所在的直线就表明转动轴线 方向沿转轴指向按右手法则表明转动方向 拇指指向矢量指向 弯曲四指代表旋转方向长短表明转动快慢 矢量积 v O1情况 v R 方向与 R平面垂直 O2情况 v rsin 方向与 r平面垂直 规定右手螺旋 从 转到r 前进方向为v的方向 v的大小 等于 的大小 r的大小 与r夹角的正弦三者乘积 v的方向 用矢量积形式来描述v r的关系 矢量的乘积 结果有两种 两矢量相乘后 得出一标量 称为标积 或点乘 A B 两矢量相乘后 得出一矢量 称为矢积 或叉乘 A B v r的关系显然为叉乘W F S为点乘 矢量的点乘 点乘服从交换律和分配律 A B B A A B C A B A C 交换律 分配律 基矢存在下列性质 A B A B cos 为A B间夹角 Bcos 可看作B在A上的投影 A Axi Ayj Azk B Bxi Byj Bzk A B AxBx AyBy AzBz 两个矢量垂直的充要条件是 A B 0 矢量的叉乘 定义 A B A B sin no no为同时垂直于A B的单位向量 为A B间夹角 满足右手系 基矢存在下列性质 点乘服从反交换律和分配律 A B B A A B C A B A C 交换律 分配律 叉乘A B的几何意义 数值等于由A B为边组成的平行四边形的面积方向与A B组成的平面垂直 指向由右手法则规定 叉乘的行列式表示 行列式求值法 2阶行列式 红色实线乘积减去蓝色虚线乘积 3阶行列式 Sarrus法则 矢量的三重积 三重标积或混合积 混合积的几何意义 B C是以B和C为边组成平行四边形的面积 方向沿法向 A B C 则相当于再乘上A在法线上的投影三重积的绝对值等于以A B C三矢量为棱构成的平行六面体的体积其正负号与三重积中三矢量的循环次序有关 定理 A B C三矢量共面的充要条件是它们的混合积等于0 其中至少有一个矢量为0矢量 其中至少有两个矢量共线 平行或反平行 其中有一矢量与其余两矢量的叉乘垂直 计算平行六面体的体积与取哪一面为底无关点乘是可以交换的 三矢量的轮换 以及 的对调 都不影响计算结果但是三矢量的循环次序不能变 否则差一个负号 II 三重矢积 三重矢积的几何意义 B C与B C组成的平面 垂直A B C 则与A和 B C 组成的平面垂直 A B C 与B C共面A B C 是B C的线性组合 A B C a1B a2C 解析证明 i分量 同理可得 j分量 k分量 加速度的矢量表示 法向加速度大小 an 2R R v vsin90o是 的大小 v的大小 与v的夹角的正弦三者的乘积方向 既与 垂直 也与v垂直右手螺旋从 转到v 正好沿an方向 an 切向 若转速有变化大小 是的大小 r的大小 与r的夹角的正弦三者的乘积方向 则at与v同向 则at与v反向 指向不变 指向与 相同指向与 反向 满足右手螺旋 at 小球的 绝对 加速度 对于 静止 参考系 牛顿定律成立 对于转动参考系 牛顿定律不成立 引入惯性离心力 若有转速变化 切向惯性力 r R为位矢r在垂直于 方向的分量 标量 r在 上的分量大小 指向 科里奥利力 Coriolisforce 质点在转动参考系中作 相对 运动 对任意矢量P若矢量P相对于旋转系是恒定的从t到t t时间间隔内 转过角度 t 增量 P大小为 牵连运动 为便于区分 令静止系中微分符号为D 转动系中为d即 在静止系中 若P不是恒定的 则 P可为r 也可为v 取P r 是质点相对于旋转系的速度 牵连 相对 再次在静止系内取对时间导数 牛顿定律不成立 惯性离心力 科里奥利力 若转速变化 则加入切向惯性力 地球自转对地面上物体运动的影响 地球不断自转 是一个转动系研究相对于地球为静止的物体 应当计入惯性离心力 至于切向惯性力极为微小可以忽略相对于地球运动着的物体 除了惯性离心力之外 还应计入科里奥利力 自然界中的实例 在北半球 物体沿各方向以v 运动时 相应的科里奥利力Fc指向运动物体的右侧方 A点 向北运动 FC沿纬线指向东B点 向南运动 FC沿纬线指向西C点 向西运动 FC垂直指向地轴D点 向东运动 FC垂直背离地轴 在南半球 情况则正好相反 物体在地面上的运动 受科里奥利力作用而自行向右偏转 在日常生活中从来没有观察到这是因为科里奥利力正比于地球自转 很小以致于FC也很小 其效应被其它作用力的效应所掩盖FC的效应只有在长时间累积的条件下才容易察觉 此外 极精密的测量也能表明FC 自然界中的柏尔定律 北半球河流右岸比较陡峭 南半球则左岸比较陡峭北半球河水在FC作用下 对右岸冲刷甚于左岸 成千累万年代积累结果 右岸比较陡峭 信风 信风本是自北向南 在 长途旅行 中不断受到FC作用累积的结果 风向逐渐转为自东北而西南 最后甚至变为自东向西 惯性离心力vs 科里奥利力 科里奥利力FC正比于 一级小量 与半径无关惯性离心力F惯正比于 2 二级小量 与质点离地轴的距离的乘积在运动过程中 质点离地轴的距离的变化一般并不很大 惯性离心力的变化是二级小量 惯性离心力可作为常力处理其作用 使重力的指向偏离地球引力的指向 使重量小于地球引力 只要总是用重力代替地球引力 就已包含了惯性离心力的效应在内 不必再另外提出F惯离 例 考察地球自转对单摆运动的影响 若没有惯性力 单摆将在直线AB上来回摆动但实事上 单摆从A向B摆动时 由于FC作用逐渐向右偏 并不达到B点 而达到C点回摆时同样逐渐右偏 结果达到D点 依此类推 摆动平面将顺时针方向不断偏转 实事上 FC是微小的 每次来回 摆动平面所偏转角度是很小的 必须累积很多次来回 才显出可察觉的偏转 求解摆动平面偏