安徽省江南十校2019届高三第二次联考数学(文科)试题

江南十校2019届高三第二次大联考数学（文科）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知是虚数单位，则化简的结果为（ ）A. B. C. -1 D. 12.已知集合，则有（ ）A. B. C. D. 3.若，则“”是“”的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要4.元朝著名数学家朱世杰在四元玉鉴中有一首诗：“我有一壶酒，携着游春走，遇店添一倍，逢友饮一斗，店友经四处，没了壶中酒，借问此壶中，当原多少酒？”用程序框图表达如图所示，即最终输出的，则一开始输入的值为（ ）A. B. C. D. 5.在递增等比数列中，则（ ）A. B. C. D. 6.已知直线，若，则之间的距离为（ ）A. B. C. D. 7.已知，则（ ）A. B. C. D. 8.如图（1）所示的是三棱台，其三视图如图（2）所示（其中正视图是直角三角形，侧视图和俯视图为直角梯形），则该三棱台的表面积为（ ）A. B. 52 C. D. 9.在中，三个内角的对边分别为，且，则（ ）A. B. C. D. 10.已知曲线，要想由得到，下面结论正确的是（ ）A. 把上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移个单位B. 把上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移个单位C. 把上各点的横坐标伸长为原来的倍（纵坐标不变），再向右平移个单位D. 把上各点的横坐标伸长为原来的倍（纵坐标不变），再向右平移个单位11.设为负实数且，则下列说法正确的是（ ）A. B. C. D. 以上都不对12.设是定义在上的偶函数的导函数，且，当时，不等式恒成立，若，则的大小关系是（ ）A. B. C. D. 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.如图所示，在矩形中，沿对角线将其折成直二面角，连结，则该三棱锥的体积为_14.设满足约束条件，则的最小值为_15.已知扇形的圆心角为，半径为2，是其弧上一点，若，则的最大值为_16.已知定义在的两个函数和（是自然对数的底），若在的解集内有且只有两个整数，则实数的范围是_三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.在中，三内角的对边分别为，已知向量，函数且.（1）求角的值；（2）若且成等差数列，求.18.若数列的前项和，且，等比数列的前项和，且.（1）求和的通项；（2）求数列的前项和.19.已知两个定点，动点到点的距离是它到点距离的2倍.（1）求点的轨迹；（2）若过点作轨迹的切线，求此切线的方程.20.已知函数（为常数，）.（1）求函数的单调递增区间；（2）若函数在上单调递减，求的取值范围.21.一幅标准的三角板如图（1）中，为直角，为直角，且，把与拼齐使两块三角板不共面，连结如图（2）.（1）若是的中点，求证：；（2）在九章算术中，称四个面都是直角三角形的三棱锥为“鳖臑”，若图（2）中，三棱锥的体积为，则图（2）是否为鳖臑？说明理由.22.已知函数.（1）当时，求在处的切线方程；（2）若在上恒成立，求实数的取值范围.江南十校2019届高三第二次大联考数学（文科）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知是虚数单位，则化简的结果为（ ）A. B. C. -1 D. 1【答案】C【解析】【分析】先用复数的除法运算，化简，然后再利用的周期性求得最终化简的结果.【详解】依题意，.故选C.【点睛】本小题主要考查复数的运算，考查复数的除以运算、乘法运算以及乘方运算.要记忆的是是一个周期出现的量，以此类推.复数的除法运算，主要的思想方法是将分母转化为实数.2.已知集合，则有（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】解绝对值不等式求得集合A中的范围，解指数不等式求得集合B中的范围，再根据选项逐一判断正误.【详解】由解得，故集合，由解得，故集合.故，A选项正确，D选项错误，故B,C选项错误.所以选A.【点睛】本小题主要考查绝对值不等式的解法，考查指数不等式的解法，考查集合交集以及并集的求法.属于基础题.含有单个绝对值的不等式的解法口诀是“大于在两边，小于在中间”，即或，.指数不等式的解法主要是化为同底来计算.3.若，则“”是“”的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要【答案】B【解析】【分析】两个角不相等，正弦值可能相等，两个角的正弦值不相等，那么两个角必定不相等由此判断出正确选项.【详解】当两个角不相等时，正弦值可能相等，如；如果两个角的正弦值不相等，那么两个角必定不相等，故“”是“”的必要不充分条件.故选B.【点睛】本小题主要考查充要条件的判断.如果，则是的充分条件，是的必要条件；否则，不是的充分条件，不是的必要条件.在判断具体问题时，可以采用互推的方法，进行和各一次，判断是否能被推出，由此判断是什么条件.还可以采用集合的观点来判断：小范围是大范围的充分不必要条件，大范围是小范围的充要不充分条件.如果两个范围相等，则为充要条件.如果没有包含关系，则为既不充分也不必要条件.4.元朝著名数学家朱世杰在四元玉鉴中有一首诗：“我有一壶酒，携着游春走，遇店添一倍，逢友饮一斗，店友经四处，没了壶中酒，借问此壶中，当原多少酒？”用程序框图表达如图所示，即最终输出的，则一开始输入的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】运行程序，当时退出循环，令输出的值为零，解方程求得输入的的值.【详解】运行程序，输入，判断否，判断否，判断否，判断是，退出循环.依题意可知，解得.故选A.【点睛】本小题主要考查程序框图循环结构，考查利用输出结果，推导输入的数值，属于基础题.5.在递增等比数列中，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】将已知条件转化为的形式，解方程组求得的值，从而求得任意一项的值.【详解】由于数列为等比数列，故，由于数列是递增的数列，故解得，故，故选D.【点睛】本小题主要考查等比数列基本量的计算，考查一元二次方程方程的解法，属于基础题.6.已知直线，若，则之间的距离为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据两直线平行，求得的值，再利用两平行直线间的距离公式，求得两直线的距离.【详解】由于两条直线平行，属于，解得，当时，两直线方程都是故两直线重合，不符合题意.当时，故两平行直线的距离为.故选A.【点睛】本小题主要考查两条直线平行的条件，考查两条平行直线间的距离公式，属于基础题.7.已知，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】将已知条件利用两角和的正弦公式展开后，两边平方得到，化简后可得到所求的三角函数值.【详解】依题意，两边平方得，解得.【点睛】本小题主要考查两角和的正弦公式，考查同角三角函数的基本关系式，以及二倍角公式，属于基础题.8.如图（1）所示的是三棱台，其三视图如图（2）所示（其中正视图是直角三角形，侧视图和俯视图为直角梯形），则该三棱台的表面积为（ ）A. B. 52 C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据正视图计算两个直角三角形的面积，根据侧视图和俯视图计算左侧和底部两个梯形的面积，然后解直角三角形求得几何体右侧梯形的上底、下底和高，并求得其面积.个面面积相加得到棱台的表面积.【详解】两个直角三角形的面积之和为.左侧和底部两个梯形是全等的，面积之和为.右侧梯形上底为，下底为，腰长为，为等腰梯形，故高为，故面积为.故表面积为，故选B.【点睛】本小题主要考查三视图和直观图的对应，考查几何体表面积的计算，主要是梯形和直角三角形面积的计算.属于基础题.9.在中，三个内角的对边分别为，且，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用正弦定理将已知条件中的边转化为角的形式，再利用三角形内角和定理以及两角和的正弦公式展开化简，由此求得的大小.【详解】由正弦定理得，即，即，化简得，故，故.所以选D.【点睛】本小题主要考查利用正弦定理解三角形，考查三角形内角和定理以及两角和的正弦公式，属于基础题.10.已知曲线，要想由得到，下面结论正确的是（ ）A. 把上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移个单位B. 把上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移个单位C. 把上各点的横坐标伸长为原来的倍（纵坐标不变），再向右平移个单位D. 把上各点的横坐标伸长为原来的倍（纵坐标不变），再向右平移个单位【答案】D【解析】【分析】先将转化为正弦函数的形式，然后利用三角函数图像变换的知识进行图像变换，得出正确的选项.【详解】依题意，横坐标伸长为原来的倍（纵坐标不变）得到，然后再向右平移个单位，得到.故选D.【点睛】本小题主要考查三角函数诱导公式，考查三角函数图像变换的知识，属于基础题.11.设为负实数且，则下列说法正确的是（ ）A. B. C. D. 以上都不对【答案】C【解析】【分析】令，指数式化为对数式，用来表示，然后利用换底公式比较和的大小，由此得出正确选项.【详解】令，则，.由于为负实数，故，所以.由于，所以，所以，所以，两边乘以得，即.故选C.【点睛】本小题主要考查指数式化为对数值，考查利用换底公式以及对数函数的单调性比较大小.属于中档题.12.设是定义在上的偶函数的导函数，且，当时，不等式恒成立，若，则的大小关系是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】构造函数，根据函数的奇偶性求得的奇偶性，再根据函数的导数确定单调性，由此比较三个数的大小.【详解】构造函数，由于是偶函数，故是奇函数.由于，故函数在上递增.由于，故当时，当时，.所以，根据单调性有.故，即，故选D.【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性，考查构造函数法比较大小，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.如图所示，在矩形中，沿对角线将其折成直二面角，连结，则该三棱锥的体积为_【答案】【解析】【分析】利用等面积法求得直角三角形的边上的高，也即三棱锥的高，由此计算出三棱锥的体积.【详解】依题意，设直角三角形的边上的高为，根据等面积有，解得，故三棱锥的体积为.【点睛】本小题主要考查折叠问题，考查三棱锥体积的求法，考查等面积法求平面图形的高，属于基础图.14.设满足约束条件，则的最小值为_【答案】【解析】【分析】画出约束条件对应的可行域，通过向上平移基准直线到可行域边界位置，由此求得目标函数的最小值.【详解】画出可行域如下图所示，由图可知，当直线平移到和圆弧相切时，取得最小值，此时直线方程为，由点到直线的距离公式得，（取负值），即的最小值为.【点睛】本小题主要考查线性规划的知识，考查线性型目标函数的最值的求法，属于基础题.题目所给的约束条件中，表示的是圆心为，半径为的圆的圆上和圆内的点构成的区域.对于目标函数，由于，当直线截距最大时，取得最小值，这个在解题过程中要特别注意.15.已知扇形的圆心角为，半径为2，是其弧上一点，若，则的最大值为_【答案】【解析】【分析】以为基底，表示，这是一个正交的基底，故，再由基本不等式求得的最大值.【详解】以为坐标原点，分别为轴建立平面直角坐标系，画出图像如下图所示.由于相互垂直，以为基底，这是一个正交的基底，表示，根据图像可知，即，故，当且仅当时，等号成立.故的最大值为.【点睛】本小题考查平面向量的基本定理，考查正交基底的应用，考查利用基本不等式求乘积的最大值.平面内不共线的两个向量可以作为基底表示其它任何的向量，当这两个不共线的向量相互垂直时，为正交基.基本不等式不但要记得这个基本的形式，还要注意它的变形.16.已知定义在的两个函数和（是自然对数的底），若在的解集内有且只有两个整数，则实数的范围是_【答案】【解析】【分析】化简不等式，变为，即左边函数在右边函数图像上方只有两个横坐标为整数的点.利用导数画出的图像，结合图像列出不等式组，解不等式组求得的取值范围.【详解】化简不等式，得，构造函数和，需要满足图像在图像上方的点的横坐标有且只有两个整数.，故函数在上递减，在上递增，且当时，函数值小于零.当时，在上递增，画出图像如下图所示，由图可知图像在图像上方的点不止两个整数.故不符合题意.当时，显然不符合题意.当时，画出图像如下图所示，由图可知，即，解得.即的取值范围是.【点睛】本小题主要考查利用数形结合的数学思想方法解不等式，考查了对数函数的图像与性质，考查了利用导数研究函数图像与性质.对于题目给定的，转为两个函数的图像来研究，这是化归与转化的数学思想方法.导数在本题中是一个工具的作用，用于画图函数的图像.属于中档题.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.在中，三内角的对边分别为，已知向量，函数且.（1）求角的值；（2）若且成等差数列，求.【答案】（1）；（2）2【解析】【分析】（1）利用向量的数量积的坐标运算，以及辅助角公式，化简的表达式，利用求得的大小.（2）利用等差数列的性质、余弦定理，以及向量模的运算，列方程，解方程可求得的值.【详解】（1） 整理得：， ，；（2）由成等差数列，得：，由余弦定理得：，由，得：，三个等式联立解得：.【点睛】本小题主要考查向量的数量积运算，辅助角公式化简求值，考查等差中项的性质，考查余弦定理解三角形，还考查了向量模的运算.属于中档题.18.若数列的前项和，且，等比数列的前项和，且.（1）求和的通项；（2）求数列的前项和.【答案】（1） ；(2)【解析】【分析】（1）利用，求得数列的通项公式.同理也求得的通项公式.（2）利用错位相减求和法求得前项和.【详解】（1）由，得：，符合公式， 同理：由，推得：，是等比数列， （2）设，是其前项和，两式相减得：另解：，【点睛】本小题主要考查已知求得方法，考查错位相减求和法. 已知求得方法是利用来求数列的通项公式.属于中档题.19.已知两个定点，动点到点的距离是它到点距离的2倍.（1）求点的轨迹；（2）若过点作轨迹的切线，求此切线的方程.【答案】（1）见解析；（2）或【解析】【分析】（1）利用两点间的距离公式列方程，化简后可求得轨迹的方程.（2）由于轨迹是圆，故设切线方程为点斜式，然后利用圆心到直线的距离等于半径列方程，求得切线的斜率.验证斜率不存在时直线也满足题意，由此求得题目所求的切线方程，有两条.【详解】（1）设动点，则，坐标代入得：，化简得：所以动点的轨迹是以为圆心，以2为半径的圆；（2）设是圆的切线，则有：，当不存在时，恰好与圆切于点，综合得：切线方程为：或.【点睛】本小题主要考查利用直接法求动点的轨迹方程，考查圆的切线方程的求法，属于中档题.直接法求动点的轨迹方程，首先设出动点的坐标为，然后代入题目所给的已知条件中，如本题中的长度关系式，然后化简即可得到所求点的轨迹方程，要注意验证特殊位置是否满足.20.已知函数（为常数，）.（1）求函数的单调递增区间；（2）若函数在上单调递减，求的取值范围.【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）对函数求导后，对分成三类，讨论函数的单调递增区间.（2）根据题目所给区间求得的范围，根据导数求得函数的减区间，题目所给区间是这个区间的子集，由此求得的取值范围.【详解】（1），所以，当时，递增区间为；当时， 或，递增区间为和；当时， 或，递增区间为和；（2）， ，当时， ，即的递减区间为， .【点睛】本小题主要考查利用导数求函数的单调递增区间，考查利用导数研究函数在给定区间上递减求参数的问题.导数在研究函数中，主要是一个工具的作用，在导数