小小量词全无烦恼.doc

小小量词 全无烦恼-谈含双量词的数学问题中参数范围的求解246740 安徽省枞阳县会宫中学 朱贤良E-MAIL:我们知道，含量词的数学问题不仅考查到逻辑推理知识，还涉及到相关的数学知识和重要的数学思想方法.而求解含两个量词的数学问题比求解单量词的数学问题更为复杂，是考查考生对所学数学知识掌握理解水平与数学思维能力的一种重要题型，在高考与竞赛中屡见不鲜.本文拟在对含单个量词的数学问题理解的基础上，以含两个量词的数学问题为研究对象，归纳总结出含双量词的数学问题中参数范围的求解方法.笔者将含有两个量词的数学命题归结为三种类型：含双全称量词的“任意-任意”型、含一个全称量词与一个存在量词的“任意-存在”型、含双存在量词的“存在-存在”型.现将对这三种类型数学问题的理解及参数范围的求法分述如下：1 “任意-任意”型这类问题的表现形式为：，不等式成立.例1（2008天津）已知函数，其中.若对于任意的，不等式在上恒成立，求的取值范围.思路一：先看成关于的不等式恒成立，再看成关于的不等式恒成立,逐步确定主元由题知当时，令，解得列表：00极大值极小值故在上的最大值为与的较大者.由题意,对于任意的，不等式在上恒成立，当且仅当,即，即对任意的成立从而得，所以满足条件的的取值范围是思路二：分离双主元与，再转化为两个独立函数的最值大小问题，一步到位由题意, 任意的，不等式在上恒成立 即总结：求解多元变量的不等式恒成立问题，通常可以利用逐步确定主元的策略在本例中，涉及到的变量有三个，固定与，先解决关于的不等式恒成立问题，进而求解关于的不等式恒成立问题，是为思路一一般地，若双主元易于分离，可分离之，则问题演变为“”，等价于“时，”，从而实现一步到位，是为思路二2 “任意-存在”型这类问题的表现形式有二：，等式成立；，不等式成立.例2（1）已知；设，若对任意，总存在，使，求实数的取值范围（2）（2010山东）已知函数.()当时，讨论的单调性；（）设当时，若对任意，存在，使，求实数取值范围.解析：（1），时，函数值域是值域的子集.先求函数的值域：时，其值域为；再求函数的值域：当时，在上递增，其值域为； 当时，在上递减，其值域为. 题意等价于或.（2）第()问答案为：当时，在减，增； 当时，在减，增，减；当时，在减.第（）问中，使 ，时，.由（）知，时，.又， 当时，故； 当时，故；当时，故.综上，.总结：这两题中，都是主元，这种“任意-存在”型问题的常见题型及具体转化策略为：；.读者可以小试下例：例3（1）（2008天津）设，若对于任意的，都有满足方程，这时的取值的集合为（ ）ABCD（答案:由题意,） （2）设，若对于满足,这时的取值范围为 .（答案:由题意,，即）3 “存在-存在”型这类问题的表现形式也有两种：，等式成立；，不等式成立.例4（1）若实数，存在满足方程，这时的取值范围为 .（2）若实数，存在满足不等式，这时的取值范围为 .解析:（1）记函数，.则题意中， 时，函数值域与值域的交集非空.即或， 即或.（2）题意中， 时，函数.即或.总结：本例中这种双主元的“存在-存在”型问题的转化策略可总结为：；.通过对以上四例的求解与总结，我们可以感悟到在求解含双量词数学问题中参数范围时，关键要根据两个量词的性质和问题中等式、不等式的特征，借助函数、方程及逻辑等方面知识将问题灵活准确地转化.这种转化包括将含双量词的数学问题转化为函数单调性、最值与值域问题，以及将含双量词的数学问题分两步转化为只含单量词的数学问题.数学问题是数学知识最有效的载体，通过对含双量词的数学问题的研究，不仅能有效地提高我们对相关数学知识与函数方程、转化化归等数学思想的认识，更能深层次地提升我们的数学思维能力，特别是逻辑推理能力.从这个意义上说，小小量词，全无烦恼；若不止于此，或许还能引领我们迈向更高更美妙的数学境界.作者概况：朱贤良，男，1981年12月生，安徽枞阳人中学一级教师，任教于安徽省级示范高中枞阳县会宫中学主要从事中学数学教学研究、高考试题研究与初等数学研究等，近两年在中学数学教学