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无穷积分柯西判别法中的选取方法 朱寿国 （南京师范大学泰州学院，江苏泰州，225300）摘 要 无穷积分柯西判别法中的选取是一个教学难点，本文借助于无穷大量阶的比较来选取，有利于学生的理解和应用主题词 反常积分；柯西判别法；无穷大量 中图分类号 017220 引言在讨论定积分时，其中有一个基本的限制：积分区间的有穷性，但在实际问题中往往需要突破这个限制，来研究无穷区间上的积分，这就是无穷积分无穷积分柯西判别法是无穷积分敛散性的一个重要的判别方法，且无穷积分柯西判别法的教学也有助于数项级数敛散性的教学，因此有必要讨论无穷积分柯西判别法文1给出了反常积分的柯西判别法：定理：设定义于，在任何有限区间上可积，且则有：当，时，收敛；当，时，发散在讨论具体无穷积分时如何选取呢？下面借助于无穷积分阶的关系来选取首先给出无穷大量阶的关系1 无穷大量阶的关系定义12 设当时，函数和都是无穷大量，若，则称 作者简介：朱寿国（1981-），男，硕士，讲师，泛函分析，Email：当时，与是等价的无穷大量定义22 设当时，函数和都是无穷大量，若，则称当时，是比高阶的无穷大量定理1 当时，是与等价的无穷大量证 定理2 当时，是与等价的无穷大量，其中证 类似于等价无穷小量的代换，等价无穷大量也可以在求极限中代换例如 利用极限运算的洛必达法则很容易得到下列结果定理3 对任意的正数和任意常数，当，函数是比的高阶的无穷大量，函数是比高阶的无穷大量2 柯西判别法中的选取方法取法1 若或或，则的选取方法是让中分子分母的最高次数相同，其中 以说明为例，由定理1、2有取，则，根据柯西判别法，若，则收敛，若，则发散例1 讨论无穷积分的收敛性解 取使中分子分母最高次数相同，则取因为，因此根据柯西判别法知，是发散的取法2 若中含有或，则要借助于定理3来取下面借助例题来说明的取法例2 讨论无穷积分的收敛性分析 ，根据定理3，是比高阶的无穷大量，即不论是何值，而根据柯西判别法，只能判定收敛，因此我们取为任何一个大于的数解 取为任何一个大于的数，不妨取，因为，因此根据柯西判别法知，对任何，无穷积分都收敛例3 讨论穷积分的收敛性解 ，根据定理3，是比的高阶的无穷大量，当，而根据柯西判别法，只能判定收敛，因此需要取，即当时，收敛；当时，而根据柯西判别法，只能判定发散，因此需要取，即当时，发散因此借助于无穷大量阶的比较，我们很容易取出，然后根据柯西判别法来判断反常积分的敛散性通过无穷大量阶的比较来确定，学生很容易理解与应用参考文献 1 华东师范大学数学系数学分析（上册）M第三版
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