梁昆淼 数学物理方法第1和2章

使用教材 数学物理方法 梁昆淼编 数学物理方法 参考教材 1 数学物理方法 姚端正等编 2 数学物理方法教程 潘忠程编 第一章复变函数 1 2复变函数 1 3复变函数的导数 1 4解析函数 1 1复数与复数运算 第一篇复变函数论 1 5多值函数 式中 x y为实数 称为复数的实部与虚部 一 复数 几何表示 1 1复数与复数运算 复数 复平面 为复数的模 为复数的辐角 1 复数表示 由于辐角的周期性 辐角有无穷多 为辐角的主值 为主辐角 记为 例 求 的Argz与argz 解 z位于第二象限 复数的三角表示 复数的指数表示 应用 二 无限远点 共轭复数 Riemann球面 复球面 零点 无限远点 三 复数的运算 1 复数的加减法 有三角关系 2 复数的乘法 3 复数的除法 或指数式 4 复数的乘方与方根 乘方 故 方根 故k取不同值 取不同值 注意 1 2 3 例 讨论式子在复平面上的意义 解 为 圆上各点 例 计算 解 令 例 计算 解 令 1 2复变函数 一 复变函数的定义 对于复变集合E中的每一复数 有一个或多个复数值 w称为的z复变函数 z称为w的宗量 二 区域概念 由 确定的平面点集 称为定点z0的 邻域 1 邻域 2 内点 定点z0的 邻域全含于点集E内 称z0为点集E的内点 3 外点 定点z0及其 邻域不含于点集E内 称z0为点集E的外点 4 边界点 定点z0的 邻域既有含于E内 又有不含于E内的点 称z0为点集E的边界点 内点 边界点 外点 内点 边界点 外点 5 区域 A 全由内点组成 B 具连通性 点集中任何两点都可以用一条折线连接 且折线上的点属于该点集 6 闭区域 区域连同它的边界称为闭区域 如 表示以原点为圆心半径为1的闭区域 7 单连通与复连通区域 单连通区域 区域内任意闭曲线 其内点都属于该区域 三 复变函数例 可大于1 例 求方程sinz 2 解 设 或 四 极限与连续性 设w f z 在z0点的某邻域有定义 对于 0 存在 0 使 有 称z z0时w0为极限 计为 注意 z在全平面 z z0须以任意方式 若有 称f z 在z0点连续 1 3导数 w f z 是在z点及其邻域定义的单值函数 在z点存在 并与 z 0的方式无关 则 例 证明f z zn在复平面上每点均可导 证 例 证明f z z 在复平面上均不可导 证 求导法则 下面讨论复变函数可导的必要条件 比较两式有 称为科西 黎曼条件 C R 条件 C R 条件不是可导的充分条件 例 证明在z 0处满足C R 条件 但在沯z 0处不可导 证 满足C R 条件 在z 0处 但在z 0处 若 一定 随 而变 故在z 0处不可导 下面讨论f z u x y iv x y 在z点可导的充分条件 证明 1 u v在z处满足C R 条件 2 u v在z处有连续的一阶偏微商 因为u v在z处有连续的一阶偏微商 所以u v的微分存在 由C R 条件 此式 z无论以什么趋于零都存在 C R 方程的极坐标表示 故f z u x y iv x y 在z点可导 当考虑 z沿径向和沿恒向趋于零时 有 例 试推导极坐标下的C R 方程 方法一 当分别考虑 z沿径向和沿恒向趋于零时 沿径向趋于零 沿恒向趋于零 方法二 从直角坐标关系出发 同理 例 证明f z ex cosy isiny 在复平面上解析 且f z f z 1 4解析函数 若w f z 是在z0点及其邻域上处处可导 称f z 在z0解析 若w f z 是在区域B上任意点可导 称f z 在区域B解析 证 满足C R 条件且一阶偏导连续 后面可证在某区域上的解析函数 在该区域上有任意阶导数 由C R 条件 前一式对x求导 后式对y求导 相加 同理 u x y 和v x y 都满足二维Laplace方程 又特别称为共轭调和函数 性质1 f z 在区域B解析 u x y 和v x y 为共轭调和函数 令 称为梯度 gradient 矢量 二维表示 三维表示 由C R 条件 两式相乘 即 或 表示 Laplace方程表示为 性质2 u x y 常数与v x y 常数曲线正交 而u和v的梯度分别是u x y 常数v x y 常数的法向向量 若给定一个二元调和函数 可利用C R 条件 求另一共轭调和函数 方法如下 C R 条件 上式为全微分 因为 方法一 曲线积分法 全微分的积分与路经无关 设已知u x y 求v x y 方法二 凑全微分显式法 方法三 不定积分法 方法一 曲线积分法 全微分的积分与路经无关 方法二 凑全微分显式法 方法三 不定积分法 例 已知解析函数实部u x y x2 y2 求v x y 解 故u为调和函数 u x y x2 y2 方法一 曲线积分法 方法二 凑全微分显式法 u x y x2 y2 方法三 不定积分法 x视为参数有 例 已知解析函数f z 实部求v x y 解 化为极坐标求解 2 3 1初等单值函数 幂函数w zn 当n是正整数或0 此时w z0 1 时 w zn在复平面上解析 多项式函数 在复平面上解析 有理函数 在复平面上除使Q z 0的点外解析 指数函数 指数函数w ez有如下一些性质 ez 0 因为 ez ex eiy ex 0 对于实数z x y 0 来说 我们定义与通常实指数函数的定义是一致的 ez1 ez2 ez1 z2 w ez在复平面上解析 且 如果我们将复平面划分为平行于实轴宽为的带形 不存在 因为当z沿实轴的正负两个方面趋于时ez分别趋于 则在每一个带形内ez的性质相同 欧拉公式 所以有 正弦函数 余弦函数 性质 1 它们在复平面上解析 且 2 Sinz是奇函数 cosz是偶函数 它们遵从通常的三角公式 3 sinz及cosz以为周期 4 Sinz 0必须且只须 cosz 0必须且只须 5 在复数范围内不再能断定 通过sinz cosz我们可以依照通常的关系定义正切 余切 正割 余割 2 3 2 初等多值函数 根式函数则称w为z的根式函数 记为 是多值函数 w的模与z的模是一一对应的 而辐角则不然 对应每个值 有三个不同的值 从而得到三个不同的w值 所以 函数是多值函数 单叶性区域 如右图 我们把区域 称作的单叶性区域 单值分支 我们把右图三个单叶性区域分别加上相邻处的端边 构成三个三角形 当我们用这三个互不相交的三角形把w平面布满之后 就把一个多值函数划分成了三个单值分支 上述每个角形分别是其一个单值分支的值域 而此时有 支点如右图 对于函数来说 z 0点具有这样的特性 当z绕它转一整圈回到原处时 多值函数由一个分支变到另一个分支 具有这种性质的点称为多值函数的支点 无穷远点也具有这种性质 因为绕原点转一整实也就是绕无穷远点转一整圈 所以无穷远点也是的支点 支割线 例7 设确定在沿正实轴割破的z平面上 并且 解由 支割线可以分为两案 今在z平面上从支点z 0到支点任意引一条射线 例如取正实轴为这条射线 称为支割线 的黎曼面 将两个割开的复平面粘接起来 形成黎曼面 如果己给复数 则满足的复数w称为z的对数函数 并记为注意z 0时 没有定义 若我们限定Im Lnz 即Argz取主值则z的对数就只有一个 称它为Lnz的主值支 记为lnz 例8 设a 0 则 a aexi 于是 对数函数 例9 因 所以 它是实数域中等式在复数域中的推广 由及所定义的函数 分别叫做反正弦函数及反余弦函数 记为及 一般幂函数 例10 求ii 例11 求 解 解 第二章复变函数积分 2 2柯西定理 2 3不定积分 2 4柯西公式 2 1复变函数积分 作和 记 2 1复变函数积分 例 计算积分 分别沿路径 1 和 2 如图 1 2 解 1 由此可见 对于有些被积函数而言 积分与路径有关 2 例 计算积分 分别沿路径 1 和 2 如图 1 2 解 1 例 计算积分 分别沿路径 1 和 2 如图 1 2 解 2 由此可见 对于有些被积函数而言 积分与路径无关 一 单连通区域 证明 2 2柯西定理 C R 条件 得 推论 单连通区域中解析函数f z 的积分值与路经无关 证明 二 复连通区域 证明 函数在区域上不可导 存在奇点 将这些点挖掉所形成的带空区域 l为区域外境界线 li为区域内境界线 积分沿境界线正向进行 内 外境界线逆时针积分相等 2 3不定积分 单连通区域中解析函数f z 的积分值与路经无关 令z0固定 终点z为变点 有单值函数 A B l2 l1 且 F z 是f z 的原函数 还有 证略 例 计算积分 n为整数 解 n 0被积函数解析 n 0 z 为 z n奇点 作小圆C 在C上 l C R 例 计算积分 结论 l是圆周 l不包围 l包围 解 有两个奇点 y x 2 4柯西积分公式 若 f z 在闭单通区域上解析 l是闭区域的边界线 是闭区域内的任一点 则有柯西积分公式 证明 取小圆C f z 在闭单通