锐角三角函数的解题技巧.docx

锐角三角函数的解题技巧一、知识点回忆(一)锐角的三角函数的意义1、正切在RtABC中，C=90，我们把锐角A的对边与邻边的比，叫做A的正切，记作tanA2、正弦和余弦如图，在RtABC中，C=90，锐角A的对边与斜边的比叫做A的正弦，记作sinA，即 3、三角函数：在直角三角形中，锐角A的正切(tanA)、正弦(sinA)、余弦(cosA)，都叫做A的三角函数(二)同角的三角函数之间的关系(1)平方关系：sin2cos2=1(2)商数关系：（三）两角的关系任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值，任意锐角的正切值与它的余角的正切值的积等于1即若A+B=90，则sinA=cosB，cosA=sinB，tanAtanB=1(四)特殊锐角的三角函数值030456090sinA01cosA10tanA01(五)锐角三角函数值解法1、用计算器求整数度数的锐角三角函数值在计算器的面板上涉及三角函数的键有和键，当我们计算整数度数的某三角函数值时，可先按这三个键之一，然后再从高位向低位按出表示度数的整数，然后按，则屏幕上就会显示出结果例如：计算sin44解：按键，再依次按键则屏幕上显示结果为0.69465837求非整数度数的锐角三角函数值若度数的单位是用度、分、秒表示的，在用计算器计算三角函数值时，同样先按和三个键之一，然后再依次按度分秒键，然后按键，则屏幕上就会显示出结果2、已知三角函数值，用计算器求角度已知三角函数值求角度，要用到、键的第二功能“sin1，cos1，tan1”和键具体操作步骤是：先按键，再按键之一，再依次按三角函数值，最后按键，则屏幕上就会显示出结果值得注意的是：型号不同的计算器的用法可能不同。（六）直角三角形的解法解直角三角形既是初中几何的重要内容，又是今后学习解斜三角形，三角函数等知识的基础，同时，解直角三角形的知识又广泛应用于测量、工程技术和物理之中，解直角三角形的应用题还有利于培养学生空间想象的能力。因此，通过复习应注意领会以下几个方面的问题：解直角三角形的重点是锐角三角函数的概念和直角三角形的解法。前者又是复习解直角三角形的难点，更是复习本部分内容的关键。掌握锐角三角函数和解直角三角形是进行三角运算解决应用问题和进一步研究任意角三角函数的重要基础。因此，解直角三角形既是各地中考的必考内容，更是热点内容。题量一般在4%10%。分值约在8%12%题型多以中、低档的填空题和选择题为主。个别省市也有小型综合题和创新题。几乎每份试卷都有一道实际应用题出现。二、重点难点疑点突破1、（1）sinA和cosA都是一个整体符号，不能看成sinA或cosA(2)是一个比值，没有单位，只与角的大小有关，而与三角形的大小无关(3)sinAsinBsin(AB)sinAsinBsin(AB)(4)sin2A表示(sinA)2，cos2A=(cosA)2(5)0sinA1，0cosA12、同名三角函数值的变化规律当角在090间变化时，它的正切和正弦三角函数值随着角度的增大而增大；余弦三角函数值随着角度的增大而减少三、解题方法技巧点拨1、求锐角三角函数的值例1、(1)在RtABC中，C=90，若，求cosB，tanB的值分析：本题主要考查锐角三角函数的定义，结合图形求解可化繁为简，迅速得解解：如图，设BC=3m，则AB=5m，(2)如图所示，已知AB是O的直径，CD是弦，且CDAB，BC=6，AC=8，则sinABD的值是（）分析：因为AB是O的直径，所以ACB=90因为BC=6，AC=8，所以AB=10因为ABD=ACD=ABC，所以在RtACB中，故正确答案为D答案：D分析：(1)要求sin与cos的关系的值，而已知tan的值，故可通过来求值(2)已知tan的值，也可通过，把要求的式子的分子，分母同时除以cos2转化成关于tan的关系，这样便可求出结论点评：在进行三角函数有关计算时，常利用有关公式进行变换2、化简计算例3、计算分析：这是一组有关特殊角三角函数值的计算题，计算中最关键是将它们先化成具体的数值，同时还要应用其它一些知识帮助求值，如(1)注意分母有理化，(2)应掌握整数指数幂的意义解：点评：学过锐角三角函数后，特殊角的三角函数的计算是常考不衰的内容，做这类题主要分两步：(一)代入；(二)计算因此，特殊角的三角函数值必须牢记3、三角函数的增减性例4、若为锐角且sinsin，那么（）AtantanBtantanCtan=tan Dtan、tan大小关系不确定4、已知三角函数值求角对于非特殊角可用计算器求角，若是特殊角的三角函数值则可以直接得角度例如：已知cos=0.5237，求锐角解：按键，再依次按键则屏幕上显示结果为58.41923095例5、求适合下列各式的锐角点拨：所有锐角三角函数值都是正数，而且正弦和余弦值都不大于1，不符合条件的三角函数值应舍去5、求线段长与面积例6、如图，在ABC中，A=30，B=45，AC=4，求BC的长分析：题中有30，45特殊角，想把它们放到直角三角形中，利用三角函数来解题点评：（1）在作高线构造直角三角形时，一般不过特殊角的顶点作垂线，这样便于利用特殊角解题（2）有些简单的几何图形可分解为几个直角三角形的组合，从而利用三角函数的定义求解例7、如图所示在四边形ABCD中，AB=2，CD=1，A=60，D=B=90，求此四边形ABCD的面积分析：由已知B=90，A=60这两个条件想到延长BC，AD，使它们相交，构成直角三角形例8、在矩形ABCD中DEAC于E，设ADE=，且，AB=4，求AD分析：在矩形中AB=DC=4，可证=1，于是条件转移到DCE中来了，求出DE解：在矩形中AB=DC=4，2=90又DEAC，12=901=点评：注意把条件集中到一起例9. 如图，点A是一个半径为300米的圆形森林公园的中心，在森林公园附近有B、C两个村庄，现要在B、C两村庄之间修一条长为1000米的笔直公路将两村连通，经测得ABC=45o，ACB=30o，问此公路是否会穿过该森林公园？请通过计算进行说明。 解： 例11. 如图，山上有一座铁塔，山脚下有一矩形建筑物ABCD，且建筑物周围没有开阔平整地带，该建筑物顶端宽度AD和高度DC都可直接测得，从A、D、C三点可看到塔顶端H，可供使用的测量工具有皮尺、测倾器。 （1）请你根据现有条件，充分利用矩形建筑物，设计一个测量塔顶端到地面高度HG的方案。具体要求如下：测量数据尽可能少，在所给图形上，画出你设计的测量平面图，并将应测数据标记在图形上（如果测A、D间距离，用m表示；如果测D、C间距离，用n表示；如果测角，用、表示）。 （2）根据你测量的数据，计算塔顶端到地面的高度HG（用字母表示，测倾器高度忽略不计）。 解：（1）在A处放置测倾器，测得点H的仰角为 在B处放置测倾器，测得点H的仰角为 例12. 某一时刻，一架飞机在海面上空C点处观测到一人在海岸A点处钓鱼。从C点处测得A的俯角为45o；同一时刻，从A点处测得飞机在水中影子的俯角为60o。已知海岸的高度为4米，求此时钓鱼的人和飞机之间的距离（结果保留整数）。 解： 例13 在中，那么cotB等于（ ）分析：在中，已知tanA，求cotB可利用互余角的三角函数关系求解，应选C。例14 已知为锐角，下列结论： 如果，那么如果，那么 正确的有（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个分析：利用三角函数的增减性和有界性即可求解。解：由于为锐角知不成立当时，有，即正确；当时，即成立又，即正确。即成立，故应选C。例15. （1）计算：（2）计算：分析：（1）可利用特殊角的三角函数值代入直接计算；（2）利用特殊角的三角函数值和零指数及负整数次幂的知识求解。注意分母有理化，可求得（1）；（2）4例16 如图1，在中，AD是BC边上的高，。（1）求证：ACBD（2）若，求AD的长。图1分析：由于AD是BC边上的高，则有和，这样可以充分利用锐角三角函数的概念使问题求解。解：（1）在中，有， 中，有（2）由；可设由勾股定理求得， 即例17. 如图2，已知中，求的面积（用的三角函数及m表示）图2分析：要求的面积，由图只需求出BC。解：由例18. 如图3，沿AC方向开山修路，为了加快施工速度，要在小山的另一边同时施工。从AC上的一点B，取米，。要使A、C、E成一直线，那么开挖点E离点D的距离是（ ）A. 米B. 米C. 米D. 米图3分析：在中可用三角函数求得DE长。解：A、C、E成一直线在中，米，米，故应选B。例19. 人民海关缉私巡逻艇在东海海域执行巡逻任务时，发现在其所处位置O点的正北方向10海里处的A点有一涉嫌走私船只正以24海里/小时的速度向正东方向航行。为迅速实验检查，巡逻艇调整好航向，以26海里/小时的速度追赶，在涉嫌船只不改变航向和航速的前提下，问（1）需要几小时才能追上？（点B为追上时的位置）（2）确定巡逻艇的追赶方向（精确到）（如图4）图4参考数据：分析：（1）由图可知是直角三角形，于是由勾股定理可求。（2）利用三角函数的概念即求。解：设需要t小时才能追上。则（1）在中，则（负值舍去）故需要1小时才能追上。（2）在中 即巡逻艇沿北偏东方向追赶。例20. 如图5，山上有一座铁塔，山脚下有一矩形建筑物ABCD，且建筑物周围没有平整地带，该建筑物顶端宽度AD和高度DC都可直接测得，从A、D、C三点可看到塔顶端H，可供使用的测量工具有皮尺，测倾器。图5（1）请你根据现有条件，充分利用矩形建筑物，设计一个测量塔顶端到地面高度HG的方案，具体要求如下：测量数据尽可能少；在所给图形上，画出你设计的测量平面图，并将应测数据标记在图形上（如果测A、D间距离，用m表示；如果测D、C间距离，用n表示；如果测角，用等表示，测倾器高度不计）。（2）根据你测量的数据，计算塔顶端到地面的高度HG（用字母表示）。分析：本题实际是一道图形设计和数据的测量计算，依题意可有几种方案。如测三个数据、测四个数据、测五个数据等。但又要使测得的数据尽可能少，于是以三个数据为例。解：如图5（1）测三个数据。（2）设在中， 在中，即同步练习： 1. 测量底部不可以到达的物体的高度，可以按下列步骤进行：（如图所示，以测量MN的高度为例） 在测点A处安置测倾器，测得此时M的仰角。 在测点A与物体之间的B处安置测倾器（A、B与N在一条直线上），测得此时M的仰角。量出测倾器的高度，以及测点A、B之间的距离AB=b。（1）根据测量数据，你能求出物体MN的高度吗？说说你的理由。（2）若，试计算MN的高度。 2. 公路MN和公路PQ在点P处交汇，且，点A处有一所中学，AP=160m，一辆拖拉机以3.6km/h的速度在公路MN上沿PN方向行驶，假设拖拉机行驶时，周围100m以内会受噪声影响，那么，学校是否会受到噪声影响？如果不受影响，请说明理由；如果受影响，会受影响几分钟？ 3. 某公司到果园基地购买某种优质水果，慰问医务工作者，果园基地对购买量在3000千克以上（含3000千克）的有两种销售方案。甲方案：每千克9元，由基地送货上门。乙方案：每千克8元，由顾客自己租车运回。已知该公司租车从基地到公司的运输费为5000元。 （1）