研究生课程-有限元.ppt

有限元方法FiniteElementsMethod 本课程主要内容 一 有限元方法基础理论知识二 数值计算程序 主要的参考书目 有限元方法的数学基础 许学军 科学出版社 有限元方法 陈志明 英文版 一 有限元分析概念有限元分析 FEA 的基本概念就是用较简单的问题代替复杂问题后再求解 它将求解域看成是由许多称为有限元的小的互连子域组成 对每一单元假定一个合适的 较简单的 近似解 然后推导求解这个域总的满足条件 如结构的平衡条件 从而得到问题的解 这个解不是准确解 而是近似解 因为实际问题被较简单的问题所代替 由于大多数实际问题难以得到准确解 而有限元不仅计算精度高 而且能适应各种复杂形状 因而成为行之有效的工程分析手段 例 有限元是那些集合在一起能够表示实际连续域的离散单元 有限元的概念早在几个世纪前就已产生并得到了应用 例如用多边形 有限个直线单元 逼近圆来求得圆的周长 但作为一种方法而被提出 则是最近的事 有限元法最初被称为矩阵近似方法 应用于航空器的结构强度计算 并由于其方便性 实用性和有效性而引起从事力学研究的科学家的浓厚兴趣 经过短短数十年的努力 随着计算机技术的快速发展和普及 有限元方法迅速从结构工程强度分析计算扩展到几乎所有的科学技术领域 成为一种丰富多彩 应用广泛并且实用高效的数值分析方法 为什么需要有限元分析 减少模型试验的数量计算机模拟容许对大量的假设情况进行快速有效的试验 模拟不适合在原型上试验的设计 例如 器官移植 比如人造膝盖 概要 节省费用节省时间 缩短产品开发时间 创造出更可靠 高品质的设计 传统产品设计流程引入有限分析的设计 以电子产品为例 80 的电子产品都要进行高速碰击实验 研究人员往往耗费大量的时间和成本 针对产品进行相关的质量实验 如下落冲击实验等 这些不仅耗费了大量的研发时间和成本 而且实验本身也存在很多缺陷 如 1 实验发生的历程很短 很难观察实验过程和现象 2 测试条件难以控制 实验的重复性很差 3 实验时很难测量产品内部特性和观察内部现象 4 一般只能得到实验结果 而无法观察实验原因引入有限元分析仿真以后 可以在产品开发前 通过模拟实验仿真求得设计最佳解 进而一次实验甚至无实验既可使产品通过测试规范 大大的节约了产品开发周期和成本 二 有限元法的优点有线元法的特点是适用于求解各种形式 几何上 物理上 复杂的问题 精度高 通用性强 对问题的处理既彻底又系统 适用于采用电子计算机方式 它本是线性问题的解法 但通过迭代法 如牛顿一拉裴森迭代法 也能巧妙地解决非线性问题 其优点如下 有限元可以运用于任何场问题 没有几何形状的限制边界条件和载荷没有限制材料性质并不限于各向同性具有不同行为和不同数学描述的分量可以结合 有限元结构和被分析的物体或区域很类似通过网格细分可以很容易地改善解的逼近度 三 有限元求解的基本步骤对于不同物理性质和数学模型的问题 有限元求解法的基本步骤是相同的 只是具体公式推导和运算求解不同 有限元求解问题的基本步骤通常为 第一步 问题及求解域定义 根据实际问题近似确定求解域的物理性质和几何区域 第二步 求解域离散化 将求解域近似为具有不同有限大小和形状且彼此相连的有限个单元组成的离散域 习惯上称为有限元网络划分 显然单元越小 网络越细 则离散域的近似程度越好 计算结果也越精确 但计算量及误差都将增大 因此求解域的离散化是有限元法的核心技术之一 第三步 确定状态变量及控制方法 一个具体的物理问题通常可以用一组包含问题状态变量边界条件的微分方程式表示 为适合有限元求解 通常将微分方程化为等价的泛函形式 第四步 单元推导 对单元构造一个适合的近似解 即推导有限单元的列式 其中包括选择合理的单元坐标系 建立单元势函数 以某种方法给出单元各状态变量的离散关系 从而形成单元矩阵 结构力学中称刚度阵或柔度阵 为保证问题求解的收敛性 单元推导有许多原则要遵循 对工程应用而言 重要的是应注意每一种单元的解题性能与约束 例如 单元形状应以规则为好 畸形时不仅精度低 而且有缺秩的危险 将导致无法求解 第五步 总装求解 将单元总装形成离散域的总矩阵方程 联合方程组 反映对近似求解域的离散域的要求 即单元函数的连续性要满足一定的连续条件 总装是在相邻单元结点进行 状态变量及其导数 可能的话 连续性建立在结点处 第六步 联立方程组求解和结果解释 有限元法最终导致联立方程组 联立方程组的求解可用直接法 选代法和随机法 求解结果是单元结点处状态变量的近似值 对于计算结果的质量 将通过与设计准则提供的允许值比较来评价并确定是否需要重复计算 简言之 有限元分析可分成三个阶段 前处理 处理和后处理 前处理是建立有限元模型 完成单元网格划分 后处理则是采集处理分析结果 使用户能简便提取信息 了解计算结果 例 一前处理确定求解域 零件材料 离散化 确定边界条件 二处理过程选择迭代算法稀疏矩阵法 SPARSEDIRECTSOLVER 预共轭梯度法 PCGSOLVER 和波前法 FRONTDIRECTSLOVER 通过计算机有限元分析软件进行总装求解三后处理结果 四 有限元应用领域机械 航空航天 土木工程 自动化工程结构分析 静力 动力分析 线形 非线性分析 热分析 流体力学分析电磁场分析地质力学分析生物医学分析 例 例 例 轴承强度分析 钢板精轧机热轧制有限元分析 聚酰亚胺复合材料反应加工过程的数值模拟 PBX材料损伤蠕变特性研