2017 大学物理2 统计物理学基础 作业+典型题

第第 21 章章 统计物理学基础统计物理学基础 一一 作业作业 教材 P193 P194 21 1 能量均分定理 21 2 理想气体内能 理想气体状态方程 21 3 麦克斯韦速率分布 21 4 能量均分定理 三种速率 21 5 统计方法 速率分布函数 21 6 三种速率 21 7 玻尔兹曼分布律 21 9 理想气体状态方程 方均根速率 21 10 平均碰撞频率和平均自由程 二 二 典型题典型题 1 一瓶氢气和一瓶氧气温度相同 若氢气分子的平均平动动能为 w 6 21 10 21 J 试求 1 氧气分子的平均平动动能和方均根速率 2 氧气的温度 阿伏伽德罗常量 NA 6 022 1023 mol 1 氧气分子摩尔质量 m 32 g 玻尔 兹曼常量 k 1 38 10 23 J K 1 涉及知识点 涉及知识点 温度概念 平均平动动能 解 1 T 相等 氧气分子平均平动动能 氢气分子平均平动动能w 6 21 10 21 J 且 483 2 2 1 2 1 2 mwv m s 2 kwT3 2 300 K 2 水蒸气分解为同温度 T 的氢气和氧气 即 2 22 O 2 1 HOH 也就是 1 摩尔的 水蒸气可分解成同温度的 1 摩尔氢气和 2 1 摩尔氧气 当不计振动自由度时 求此 过程中内能的增量 涉及知识点 涉及知识点 理想气体内能 解 1 mol H2O 的内能 3 2 i ERTRT 分解成 1 mol H2 5 22 i ERTRT 0 5 mol O2 5 0 5 24 i ERTRT 553 3 244 ERTRTRTRT 3 用绝热材料制成的一个容器 体积为 2V0 被绝热板隔成 A B 两部分 A 内 储有 1 mol 单原子理想气体 B 内储有 2 mol 双原子理想气体 A B 两部分压 强相等均为 p0 两部分体积均为 V0 求 1 两种气体各自的内能 2 抽去绝 热板 两种气体混合后处于平衡时的温度 涉及知识点 涉及知识点 理想气体内能 理想气体状态方程 能量均分定理 解答 理想气体内能 22 mol iMi ERTpV M A 气体自由度为 3 B 气体自由度为 5 1 00 3 2 A EPV 00 5 2 B EPV 2 设两种气体混合后处于平衡时的温度为 T 气体内能不变 有 初内能 100 4 AB EEEp V 末内能 2 35 2 22 ERTRT 12 EE 00 8 13 p V T R 4 有 N 个粒子 其速率分布函数为 o oo 0 2 0 2 o o f vav vvv f vavvv f vvv 1 做速率分布曲线并求常数 a 2 求速率大于 vo和小于 vo的粒子数 3 求粒子的平均速率 涉及知识点 涉及知识点 统计方法 速率分布函数 解 1 速率分布曲线如图 由归一化条件 A B O o v o 2v 2 00 1 oo o vv o v f v dvav vdvadv 0 0 0 32 1 23 f v dvava v 2 速率大于 vo粒子数 0 00 2 1 2 3 v vv NNf v dvNa dvN 速率小于 vo的粒子数 21 1 3 NNNN 3 平均速率为 00 0 2 o 00 o 11 9 vv v vav vvf v dvvdvva dv v 5 已知大气压强随高度变化的规律为 0e Mgh RT pp 其中 M 是分子质量 证明 分子数密度随高度按指数规律减小 设大气的温度不随高度改变 大气的主要成分 是氮气和氧气 那么大气氮气分子数密度与氧气分子数密度的比值随高度如何变 化 涉及知识点 涉及知识点 理想气体物态方程 玻尔兹曼分布律 解答解答 将理想气体的状态方程写成这样的形式 B pnk T 其中 n 是分子数密度 代入压强随高度变化的表达式 0 BB e Mgh RT pp k Tk T 有 0e Mgh RT nn 1 因此如果大气的温度不随高度改变 则分子数密度随高度按指数规律减小 质量越小的分子数密度随高度下降得越慢 氮气分子的分子量比氧气分子的分子 量小 所以氮气分子比氧气分子质量小 氮气分子数密度随高度下降比氧气分子 慢 所以随着高度的增加 氮气分子数密度与氧气分子数密度的比值也增大 下面用数学表达式来表示 由 1 式 写出氮气分子数密度 nN与氧气分子数密 度 nO随高度的变化 N NN0e M gh RT nn O OO0e M gh RT nn 2 它们的比值 ON NN0 OO0 e MMgh RT nn nn 3 由于氮气分子的分子量 MN比氧气分子的分子量 MO小 这一比值随高度的增加 而上升 6 图示的两条曲线分别表示氦 氧两种气体在相同温度T时分子按速率的分布 其中 1 曲线 I 表示 气分子的速率分布曲线 曲线 II 表示 气分子的 速率分布曲线 2 画有阴影的小长条面积表示 3 分布曲线下所包围的面积表示 涉及知识点 涉及知识点 速率分布函数 答案 氧 氦 速率在 v v v 范围内的分子数占分子数的百分率 速率在 0 整个速率区间内的分子数的百分率的总和 7 用总分子数 N 气体分子速率 v 和速度分布函数 f v 表示下列各量 1 速率大于 v0的分子数 2 速率大于 v0的那些分子的平均速率 3 多次观察某一分子的速率 发现其速率大于 v0的概率 涉及知识点 涉及知识点 速率分布函数 答案 0 d v Nf vv 0 0 d d v v vf vv f vv 0 d v f vv 8 氮气在标准状态下的分子平均碰撞频率为