2020年北京市东城区北京市第十一中学高三一模数学试卷(含答案及解析)

2020年北京东城区北京市第十一中学高三一模数学试卷 一 选择题 本大题共10小题 每小题4分 共40分 1 A B 或 C D 已知集合 且 都是全集 为 实数集 的子集 则如图所示韦恩图中阴影部分所表示的集合为 2 A B C D 下列函数中 在定义域上单调递增 且值域为的是 3 A B C D 已知双曲线的一条渐近线倾斜角为 则 4 A B C D 下列不等式成立的是 5 我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果 哥德巴赫猜想是 每个大于 的偶数可以表示为两个素数 即质数 的和 如 在不超过的 素数中 随机选取两个不同的数 其和等于的概率是 A B C D 以上都不对 6 A B C D 设 是两条不同的直线 是两个不同的平面 则下列命题正确的是 若 则 若 则 若 则 若 则 7 A 必要而不充分B 充要 C 充分而不必要D 即不充分也不必要 数列的通项公式为 则 是为递增数列 的 条件 8 A B C D 设函数 则使得成立的的取值范围是 9 A B C D 已知函数 下列命题 函数的图象关于原点对称 函数是周期函 数 当时 函数取最大值 函数的图象与函数的图象没有公共点 其中正确命题的序号是 10 A B C D 空间点到平面的距离定义如下 过空间一点作平面的垂线 这个点和垂足之间的距离叫做这个点 到这个平面的距离 已知平面 两两互相垂直 点 点到 的距离都是 点是上的动点 满足到的距离与到点的距离相等 则点的轨迹上的点到的距离 的最小值是 二 填空题 本大题共6小题 每小题5分 共30分 11 如图 在复平面内 复数 对应的向量分别是 则 12 某高中共有人 其中高一 高二 高三年级的人数依次成等差数列 现用分层抽样的方法从 中抽取人 那么高二年级被抽取的人数为 13 角的顶点在坐标原点 始边与轴的非负半轴重合 终边经过点 则的值 是 14 平面向量 且 与 的夹角等于 与 的夹角 则 15 以 为圆心的两圆均过 与 轴正半轴分别交于 且满足 则点的轨迹方程为 16 某校开展 我身边的榜样 评选活动 现对名候选人甲 乙 丙进行不记名投票 投票要求详见 选票 这名候选人的得票数 不考虑是否有效 分别为总票数的 则本次投票的有效率 有 效票数与总票数的比值 最高可能为百分之 我身边的榜样 评选选票 候选人符号 注 同意画 不同意画 甲 乙 丙 每 张 选 票 的 个 数 不 超 过 时 才 为 有 效 票 三 解答题 本大题共6小题 共80分 17 如图所示 已知平面 为等边三角形 为边上的中点 且 1 2 3 求证 面 求证 平面平面 求该几何体的体积 18 1 2 在锐角中 分别是角 的对边 且 求角的大小 求函数的值域 19 1 2 3 某市调研机构对该市工薪阶层对 楼市限购令 态度进行调查 抽调了名市民 他们月收入频数 分布表和对 楼市限购令 赞成人数如下表 月收入 单位 百元 频数 频率 赞成人数 若所抽调的名市民中 收入在的有名 求 的值 并完成频率分布直方图 频率 组距 收入 百元 若从收入 单位 百元 在的被调查者中随机选取人进行追踪调查 选中的人中恰有人赞 成 楼市限购令 求的分布列与数学期望 从月收入频率分布表的组市民中分别随机抽取名市民 恰有一组的名市民都不赞成 楼市 限购令 根据表格数据 判断这名市民来自哪组的可能性最大 请直接写出你的判断结 果 20 1 已知函数 当时 求的单调区间 2 3 设直线是曲线的切线 若的斜率存在最小值 求的值 并求取得最小斜率时切线的方程 已知分别在 处取得极值 求证 21 1 2 已知椭圆的两个焦点分别为 点与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直 求椭圆的方程 已知点的坐标为 点的坐标为 过点任作直线与椭圆相交于 两点 设直线 的斜率分 别为 若 试求满足的关系式 22 1 2 3 对于非负整数集合 非空 若对任意 或者 或者 则称为一个好集合 以下记为的元素个 数 给出所有的元素均小于的好集合 给出结论即可 求出所有满足的好集合 同时说明理由 若好集合满足 求证 中存在元素 使得中所有元素均为的整数倍 2020年北京东城区北京市第十一中学高三一模数学试卷 一 选择题 1 A B 或 C D 答案 解析 已知集合 且 都是全集 为 实数集 的子集 则如图所示韦恩图中阴影部分所表示的集合为 C 图中表示的是 故选 2 A B C D 答案 A 选项 解析 下列函数中 在定义域上单调递增 且值域为的是 B 本大题共10小题 每小题4分 共40分 答案及解析 B 选项 C 选项 D 选项 根据题意可画出函数的图象草图 则函数在定义域 上不单调 故错误 根据题意可画出函数的图象 由图象可知 在定义域上单调递 增 且值域为 故正确 根据题意可作出的大致图象 由图象可知 此函数单调递增 但值域为 故错误 根据题意可作出的大致图象 由图象可知 此函数在定义域上不单调 故 错误 故选 B 3 A B 已知双曲线的一条渐近线倾斜角为 则 C D 答案 解析 D 题目中双曲线方程可知 且渐近线方程为 因为其中一条渐 近线倾斜角为 则切斜率 则 故选 D 4 A B C D 答案 解析 下列不等式成立的是 D 对于 则 故错误 对于 是在单调递增 故错误 对于 故错误 对于 在单调递增 又 故正确 综上 不等式成立的是 故选 5 A B C D 以上都不对 答案 解析 我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果 哥德巴赫猜想是 每个大于 的偶数可以表示为两个素数 即质数 的和 如 在不超过的 素数中 随机选取两个不同的数 其和等于的概率是 A 不超过的素数有 共 个 从这 个素数中任选 个 有种可能 其中选取的两个数 其和等于的有 共 个 故随机选出两个不同的数 其和等于的概率是 故选 6 A B C D 答案 解析 设 是两条不同的直线 是两个不同的平面 则下列命题正确的是 若 则 若 则 若 则 若 则 C 解 对于A 由可知存在直线 故当为内与垂直的直线时 显然 故A错误 对于B 设 则当为内与 平行的直线时 故B错 误 对于C 得到 又 所以 故C正确 对于D 设 则当为内与 平行的直线时 故D错误 故选 C 7 A 必要而不充分B 充要 C 充分而不必要D 即不充分也不必要 答案 解析 数列的通项公式为 则 是为递增数列 的 条件 A 数列的通项公式为 若 是递增数列 则 即 化简的 又 是为递增数列的必要不充分条件 故选 8 A B C D 答案 解析 设函数 则使得成立的的取值范围是 B 的定义域为 为偶函数 时 单调递增 在单调递减 若 则 即或 的取值范围是 故选 9 A B C D 答案 解析 已知函数 下列命题 函数的图象关于原点对称 函数是周期函 数 当时 函数取最大值 函数的图象与函数的图象没有公共点 其中正确命题的序号是 A 函数定义域为 且 即函数为奇函数 故 正确 是周期函数 而不是周期函数 故不是周期函数 即 错 误 故不是最值 即 错 误 因为 当时 故 当时 故 即函数的图象与函数的图象没有公共 点 正确 故选 10 A B C D 答案 解析 空间点到平面的距离定义如下 过空间一点作平面的垂线 这个点和垂足之间的距离叫做这个点 到这个平面的距离 已知平面 两两互相垂直 点 点到 的距离都是 点是上的动点 满足到的距离与到点的距离相等 则点的轨迹上的点到的距离 的最小值是 D 如图 原题等价于在直角坐标系中 点 是第一象限内的动点 满足 到轴的距离等于点到点的距离 则点的轨迹上的点到轴的距离的最小值 是多少 设 则 化简得 则 故 即点的轨迹上的点到的距离的最小值 是 故选 二 填空题 本大题共6小题 每小题5分 共30分 11 如图 在复平面内 复数 对应的向量分别是 则 答案 解析 由图可知 所以 12 答案 解析 某高中共有人 其中高一 高二 高三年级的人数依次成等差数列 现用分层抽样的方法从 中抽取人 那么高二年级被抽取的人数为 人 设高一 高二 高三人数分别为 则 且 解得 用分层抽样的方法抽取人 那么高二年级被抽取的人数为 人 13 答案 解析 角的顶点在坐标原点 始边与轴的非负半轴重合 终边经过点 则的值 是 由于角的顶点在坐标原点 始边与轴的非负半轴重合 终边经过点 可 得 故答案为 14 答案 平面向量 且 与 的夹角等于 与 的夹角 则 解析 由已知可得 且 所以 即 即 解得 15 答案 解析 以 为圆心的两圆均过 与 轴正半轴分别交于 且满足 则点的轨迹方程为 和的中点坐标为 在线段的垂直平分线上 和的中点坐标为 在线段的垂直平分线上 点的轨迹方程为 故答案为 16 某校开展 我身边的榜样 评选活动 现对 名候选人甲 乙 丙进行不记名投票 投票要求详 见选票 这 名候选人的得票数 不考虑是否有效 分别为总票数的 则本次 投票的有效率 有效票数与总票数的比值 最高可能为百分之 答案 解析 我身边的榜样 评选选票 候选人符号 注 同意画 不同意画 甲 乙 丙 不妨设共有选票张 投 票的有 票的 票的 则由题意可得 化简 得 即 由题投票有效率越高 越小 则 故本次投票的有效率 有效票数与总票数的比值 最高可能为 每 张 选 票 的 个 数 不 超 过 时 才 为 有 效 票 三 解答题 本大题共6小题 共80分 17 1 2 3 1 2 3 答案 1 解析 如图所示 已知平面 为等边三角形 为边上的中点 且 求证 面 求证 平面平面 求该几何体的体积 证明见解析 证明见解析 取的中点 连接 2 3 则 四边形为平行四边形 又面 平面 面 为等边三角形 为中点 又 面 又 面 面平面 几何体是四棱锥 作交于点 即面 18 1 2 1 答案 在锐角中 分别是角 的对边 且 求角的大小 求函数的值域 2 1 2 解析 由 得 在锐角中 故有 在锐角中 故 函数的值域为 19 1 2 3 某市调研机构对该市工薪阶层对 楼市限购令 态度进行调查 抽调了名市民 他们月收入频 数分布表和对 楼市限购令 赞成人数如下表 月收入 单位 百元 频数 频率 赞成人数 若所抽调的名市民中 收入在的有名 求 的值 并完成频率分布直 方图 频率 组距 收入 百元 若从收入 单位 百元 在的被调查者中随机选取 人进行追踪调查 选中的 人 中恰有人赞成 楼市限购令 求的分布列与数学期望 从月收入频率分布表的 组市民中分别随机抽取 名市民 恰有一组的 名市民都不赞成 楼市限购令 根据表格数据 判断这 名市民来自哪组的可能性最大 请直接写出你 的判断结果 1 2 3 答案 1 2 3 解析 画图见解析 分布列为 由频率分布表得 即 因为所抽调的名市民中 收入 单位 百元 在的有名 所以 所以 所以 且频率分布直方图如下 频率 组距 收入 百元 收入在中赞成人数为 不赞成人数为 可能取值为 分布列为 来自的可能性更大 20 1 已知函数 当时 求的单调区间 2 3 1 2 3 答案 1 2 3 解析 设直线 是曲线的切线 若 的斜率存在最小值 求的值 并求取得最小斜率 时切线 的方程 已知分别在 处取得极值 求证 函数的单调递减区间为 证明见解析 因为函数的定义域为 当时 所以由于 解得 即函数的单调递减区间为 因为 所以 当且仅当时取等号 因为直线 的斜率存在最小值 所以 即 当 取得最小斜率时 因为 即切点为 从而切线方程 即 因为分别在 处取得极值 所以 是方程 即的两个不等正根 则解得 且 从而 因为 所以 即不等式成立 21 1 2 已知椭圆的两个焦点分别为 点 与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直 求椭圆的方程 1 2 答案 1 2 解析 已知点的坐标为 点的坐标为 过点任作直线 与椭圆相 交于 两点 设直线 的斜率分别为 若 试求满足的关系式 椭圆的方程为 的关系式为 依题意 所以 故椭圆的方程为 当直线 的斜率不存在时 由解得 不妨设 因为 又 所以 所以的关系式为 即 当直线 的斜率存在时 设直线 的方程为 将代入整理化简得 设 则 又 所以 所以 所以 所以的关系式为 综上所述 的关系式为 22 1 对于非负整数集合 非空 若对任意 或者 或者 则称 为一个好集合 以下记为的元素个数 给出所有的元素均小于 的好集合 给出