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2012-2013学年第一学期硕士研究生矩阵分析考试试卷(A) 专业 学号 姓名 题号一二三四五六总分得分一、（共30分，每小题6分）完成下列各题： （1）设空间中的向量，分别求和的维数.解：和的维数为3和1（2） 设，是酉空间中两向量，求内积 及它们的长度（）. （0， 2, 2）；（3）求矩阵的满秩分解.解：（4）设矩阵，求的Smith标准形及其行列式因子.解：（5）设是矩阵范数，给定一个非零向量，定义 ，验证是向量范数. 二、（10分）设中的线性变换在基下的矩阵表示为，（1）（5分）求的值域的维数及一组基； （2）（5分）求 的核的维数及一组基.解：（1）由题意知 T 1,2,3=线性变换T的值域为T（V）= 所以A （V）的维数为2， 基为（2）矩阵A的核为AX=0的解空间。不难求得AX=0的基础解系是2, -1, 1T, 因此的维数为1， 基为. 三、（8分）求矩阵的正交三角分解，其中是酉矩阵，是正线上三角矩阵.解： =四、（8分）设，求矩阵范数，.（这里）.解：，（2分） ，（2分） （2分） ， （2分） （2分）五、（共24分，每小题8分）证明题：（1）设是正定Hermite矩阵，是反Hermite矩阵，证明是可逆矩阵.（2）设是阶正规矩阵，证明是Hermite矩阵的充要条件是的特征值为实数.（3）若，证明为非奇异矩阵，且，这里是诱导范数.六、（共20分，每小题5分）设， （1） 求的Smith标准形（写出具体步骤）； （2） 求的初等因子、最小多项式及Jordan标准形； （3） 求相似变换矩阵及其逆
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