第六节 泰勒公式与泰勒级数.doc

7.6 泰勒公式与泰勒级数教学目的：掌握泰勒公式与TaylorTh，了解函数的Taylor级数与 Taylor展式的关系.重点：泰勒公式与泰勒定理成立的条件,理解泰勒公式的推导方法.难点: 理解泰勒公式的推导方法.教学方法：启发式讲授与指导练习相结合教学过程：O、近似表达函数的多项式的特性无论是函数的性态还是近似计算，多项式函数总是比较简单.为此可以考虑在一个局部范围内用多项式来近似表示一个复杂函数引例：当很小时，设，则若将在更为接近.猜想将则在处两函数有直到n阶相同的导数，其在处接近的程度更高，即.为用多项式表示更复杂的函数：设有函数在的某一邻域内有直到阶的导数，令，再令 ,若 ,.（表示的函数值相等）则 （），于是.证明：因, , , ,那么 ,所以 , .一、泰勒（）公式 在讲第三章微分的应用时我们导出了近似公式 （ 当很小时，）从几何上看，这是在点附近用切线的一段近似地代替曲线弧.在函数改变量的表达式中略去了一个关于（）的高阶无穷小量（时）.但公式在实际计算中的精度不高，其误差为，可以求出.如果需要精度更高些，可将（）的高阶无穷小分离成两部分（时）.保留与同阶的无穷小量，略去的高阶无穷小量，此时有 ，以此类推，为达到一定精确度的要求，可考虑用次多项式近似表示，当很小时，将多项式写成以（）的方幂展开的形式，其中是待定系数.我们知道具有任意阶的连续导数，将的多项式两边求一阶到阶导数，并令可得于是可以写成 若函数在的某一邻域内一阶到阶的导数都存在，可以做出一个次多项式 不一定等于，但它可以近似表示，它的近似程度可以由误差来确定.设，如果能确定的值，则就确定了.【定理7.14】（泰勒公式）设在含有的区间内有直到阶的连续导数,则，可以按（）的方幂展开为.此式称为按的幂展开阶泰勒公式.其中 称为拉格朗日型余项, 介于与之间.证明：因为在含有的区间内有直到阶的连续导数,所以对于，可将写成 为求出的值，引进辅助函数 显然 ，在区间上连续（设），在区间内可导，由罗尔中值定理可知，至少存在一点，使得，因为 化简整理得 所以 ，而 由 ，于是，介于与之间.在公式中当时，公式可化为麦克劳林公式其中 或令，则 另证：不妨设.令,由条件知：(连续次使用柯西中值定理可以证明) , 显然 , .那么 ,其中 ，所以 , 介于与之间.例1 求的阶麦克劳林公式.解 因,，那么,.例2 求的阶麦克劳林公式.解 因, .有 ,，那么,(或都可以)其中：,.特别地：时，, ； 时，, ； 时，, .例3 按的乘幂展开多项式.解 ,所以 .二、泰勒级数1.通过前面的学习我们知道，级数在其收敛域内一定有和函数. 由泰勒公式的学习知道，我们可以用多项式近似表示函数.现在我们想知道函数是否一定可以展开为幂级数，需不需要附加条件？2.问题：已知函数有 .问：(1) 对于一般的函数是否也有？(2) 如果能展开,项的系数如何确定?(3) 展开式是否唯一?(4) 在什么条件下函数才能展开成幂级数?3.【定理】（TaylorTh）: 设在内具有任意阶导数, 则在内 .其中为的拉格朗日型余项.证明 由于 . 所以等式两边取极限 , .4函数在点有泰勒展式在有任意阶导数且.注意：1）函数在一点处可以展开为Taylor级数时，其展式是唯一 的. 因为泰勒系数（）是唯一的. 2）为 在点的Taylor级 数，等式在时成立，称为函数的Taylor展式.5泰勒级数与麦克劳林级数 设在点具有任意阶导数，则称(1) 为在点的泰勒级数, 记作 .(2) 称为的麦克劳林级数, 记作 . 注意问题: 在点具有任意阶导数，那么级数在收敛区间内是否收敛于？例: 在点任意可导,且,于是,显然, .结论：当级数收敛于时，即时有泰勒展式.小结：1.函数在点的泰勒公式为 , 介于与之间公式成立的条件是:在点的邻域内有直到阶的导数.2. 函数在点的泰勒展式为 ，其系数为泰勒系数.当时，的上述展式为麦克劳林展式.注意：函数在一点的泰勒展式唯一.