第五节微分方程的数值解_第1页
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第五节微分方程的数值解,在实用上有重大意义的许多微分方程，虽然满足解的存在唯一性定理的相关条件，但是它们的解常常不能表达成初等函数的形式，这类微分方程除了在第六章将要介绍稳定性、定性方法进行讨论之外，最常用的方法就是用数值方法求解它们了，即微分方程的数值解法，现已逐步形成一门新的、独立的研究分支了。,求Cauchy问题(初值问题)的解，根据初值条件，按照一定的步长h，用某种方法（算法）计算微分方程解的近似值，这样求出的解称为数值解。,第一部分欧拉方法,一、欧拉格式,规定：相邻两个节点的间距称为步长，在以后如不特别声明，步长就为定值h。,讨论下列节点列上的近似解：,并用的近似值代入上式的右端，记所得结果为，于是有,欧拉公式(Euler),把方程（1）离散化，其基本方法是用差商代替微商，如以点列代入方程（1），有：,并用差商代替其中的导数项，即,有：,例1求解以下初值问题,解：分析1、确定步长h0.1，由欧拉格式，有,2、通过计算分析欧拉格式的精度较低。,在的前提下估计的误差称为局部截断误差。,1、欧拉公式（欧拉格式）,2、差分方程,由（3）构成的方程称为差分方程，由此逐步求。,3、局部截断误差和精度,如果一种数值方法的局部截断误差为，则称这种方法的精度为阶。,二、隐式欧拉格式（一阶精度）,用向后差商替代方程中的导数项，有,（隐式欧拉格式）,欧拉格式的精度是阶。事实上，有,三、两步欧拉格式（二阶精度）,用中心差商替代方程中的导数项，有,（两步欧拉格式）,计算当前步的值需要用到前两步的值，因此，得名两步格式。同时，也称前两种方法为单步方法。,小结,介绍了常微分方程初值问题数值求解的欧拉格式，这些格式分别具有一阶和二阶精度。注意：1、欧拉格式建立的基本思想就是用差商代替微商（向前、向后和中心差商）；2、步长的选取；3、算法的收敛和稳定性分析是一个算法
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