实数的运算性质

实数的运算性质的证明,塔甸中学,实数运算性质的证明,实数的运算性质加法和乘法的交换律加法和乘法的等价定义加法结合律乘法结合律加法的序性质乘法的序性质加法与乘法的分配律x1/x=1有理数的十进小数表示,实数的运算性质,加法和乘法满足交换律:a+b=b+a,ab=ba与结合律:a+(b+c)=(a+b)+c,a(bc)=(ab)c乘法与加法之间满足分配律:a(b+c)=ab+ac0是加法零元:a:a+0=a1是乘法单位元:a:a1=a每个数a有负数-a:a+(-a)=0每个非零数a有倒数1/a:a(1/a)=1,加法和乘法的交换律,加法和乘法的交换律:a+b=b+a,ab=ba证明:这直接由有理数的加法和乘法满足交换律来得到.1.由a,bR,sn(a)+sn(b)=sn(b)+sn(a)就有A=sn(a)+sn(b)|nN=sn(b)+sn(a)|nN=B.所以a+b=supA=supB=b+a类似地，由sn(a)sn(b)=sn(b)sn(a)有A=sn(a)sn(b)|nN=sn(b)sn(a)|nN=B.所以ab=supA=supB=ba.#,加法和乘法的等价定义(I),为了证明加法的结合律,需要对加法的定义作适当的改进.记号:Qf=rQ|r是有限十进小数命题1.a,bR,对乘法设a,b0.a+b=supx|a,bQf,aa,bb,xa+bab=supx|a,bQf,0aa,0bb,xab证明:分三种情形:a,b为都为无限十进小数、都为有限是进小数以及一个无限和一个有限.先考虑加法.,加法和乘法的等价定义(II),记A=sn(a)+sn(b)|nN和B=x|a,bQf,aa,bb,xa+b.记x=supA,y=supB.希望证明x=y.1.设a和b都是无限小数.在现在的情形AB,这样xy.下面证明yx.这只要证明x是B的上界就够了.任取xB,由B的定义a,bQf,aa使得xa+b.aa,bb给出m,nN,有asm(a)和b0.为确定起见,设mn.对于in,记t(i)=p+0.a1(am-1)tm+1ti+q+0.b1(bn-1)tn+1ti,其中tj=9,jn.记C=t(k)|kn,类似第一部分中的讨论,y=supC.因此,只要能够证明x=supC就够了.x是C的上界是显然的.下面x是C的上确界.,加法和乘法的等价定义(IV),设x=x0+0.x1xk,其中kn.这里考虑k0的情形.则xk0.注意对于in+1,t(i)有i位小数,其整数部分与前k-1位与x相同,第k位为xk-1,第k+1至i-1位为9,第i位为8.即t(i)=x0+0.x1(xk-1)998.cn+1时,t(i)c;当c的第k位小数等于于xk-1时,设c第k位小数后第一个不为9的小数位是j,则当ij时,t(i)c.因此x=supC,也就是x=y.,加法和乘法的等价定义(V),3.设a和b一个是有限小数,一个是无限小数.设a是有限小数a=p+0.a1am.类似第一部分中的证明,可以得到yx.类似第二部分中的想法:令t(i)=p+0.a1(am-1)tm+1ti+sn(b),tj=9,jm.记C=t(k)|km.则y=supC.这是因为CB,且B中的任意一个数一定比C中的某个数小.下面证明x=supC.设cm的情形.并且只需要考虑b的第n位小数不为0的那些情形.,加法和乘法的等价定义(VI),注意当nm时,sn(a)+sn(b)=x0+0.x1xmbm+1bn,而t(n)=x0+0.x1xmbm+1(bn-1).所以nm,j0sn(a)+sn(b)0,bn0时,设mn.对于in,记t(i)=(p+0.a1(am-1)tm+1ti)(q+0.b1(bn-1)tn+1ti,)其中tj=9.记C=t(k)|kn.则y=supC.,加法和乘法的等价定义(VII),设x=x0+0.x1xm+n,其中xm+n0.记k=p+q+2.则s0,当i=m+n+s+k时,t(i)=x0+0.x1(xm+n-1)tm+n+1t2i,其中tm+n+j=9,j=1,s.利用这个事实和第二部分思路就可以证明x=supC.6.a是有限小数a=p+0.a1am,am0,b是无限小数.记t(i)=(p+0.a1(am-1)tm+1ti)sn(b),tj=9,jm.注意当nm,b(n)0时,sn(a)sn(b)=x0+0.x1xm+n,xm+n0.则s0,k=b+1,当i=m+n+s+k时,t(i)=x0+0.x1(xm+n-1)tm+n+1t2i,其中tm+n+j=9,j=1,s.类似第五部分就可以证明x=supC.#,加法结合律(I),a,b,cR,a+(b+c)=(a+b)+c证明:1.记A=x|a,bQf,aa,bb+c,xa+b,B=x|a,b,gQf,aa,bb,gc,xa+b+g和C=x|a,bQf,aa+b,bc,xa+b.下面证明A=B=C.只要证明A=B就够了,B=C的证明类似.设xA,则存在a,bQf满足aa,bb+c以及xa+b.由加法定义和bb+c得到存在g,dQf满足gb,d0,A=x|a,bQf+,aa,bbc,xab,B=x|a,b,gQf+,aa,bb,gc,xabg和C=x|a,bQf+,aa+b,bc,xa+b.下面证明A=B=C.只要证明A=B就够了,B=C的证明类似.,乘法结合律(II),设xA,则存在a,bQf+满足aa,bbc以及xab.由乘法定义和bbc得到存在g,dQf+满足gb+ca,b,cR且c0,abacbc记号:ab表示ab或a=b实数的稠密性:a,bR,ab,cRQ,dQ,acn,y(m)=x(m).若n=0,则sm(y)=sm(x)+1设n0.若x(n)9,则mn,y(m)=x(m),而y(n)=x(n)+1,当mn时,sm(y)=sm(x)+10-n.若x(n)=9,则my+10-n.证明:由xy,mN,jy(m).取定nm满足y(n)y+z.证明:由xy和引理2,nN,xy+10-n.注意m,sm(x)sm(y+10-n),所以,m,sm(x)+sm(z)sm(y+10-n)+sm(z)两边对m取上确界就得到x+y(y+10-n)+z.有加法的结合律和引理1,x+y(y+z)+10-ny+z.证明完毕.#,乘法的序性质,引理3-5引理6乘法的序性质,引理3-5,引理3.设x,yR.若x,y0.给定mN.则xy=supsn(x)sn(y)|nm.证明:留作习题.#引理4.设x,yR.若x0,y0,则xy0.证明:由x0和y0,则n,sn(x)0和sn(y)0.由有理数的性质sn(x)sn(y)0.在有乘法的定义就得到xysn(x)sn(y)0.#引理5.设x,yR.若xy,则-xy和实数的序性质,-y=-y+(-x)+x)=x+(-y)+(-x)y+(-y)+(-x)(y+(-y)+(-x)=-x.#,引理6,引理6.设A是一个有上界的非空集合,c是一个给定的实数.则supx+c|xA=supA+c.证明:1.任取xA,xsupA,由加法的序性质,x+csupA+c.因此supA+c是x+c|xA的上界.2.任取bb-c.再一次利用加法的序性质,x+cb.因此,supx+c|xA=supA+c.#,乘法的序性质(I),设x,y,zR.若xy,z0,则xzyz.证明:1.若y=0,则x0,由引理4,xz0=yz.若x=0,则y0,由引理3,(-y)z0,由乘法的定义,yz=-(-y)z0;(2)x0,y0.由xy和引理2,n,kN,xy+10-n,z10-k.则当mn,mk时,由引理1,sm(x)sm(z)sm(y+10-n)sm(z)=sm(y)sm(z)+10-nsm(z)sm(y)sm(z)+10-n-k.,乘法的序性质(II),由引理6和引理3就有xzyz+10-n-k.再利用引理1就有xzyz.3.设x(-x)0,由第二部分的结果(-y)z(-x)z.由乘法的定义和引理5,xz=-(-x)z-(-y)z=yz.4.x0和y0和yzyz.这样乘法的序性质就证明完了.#,加法与乘法的分配律(I),a,b,cR,a(b+c)=ab+ac证明:先考虑情形1:a0,b0,c0.1.记A=x|a,bQf+,aa,bb+c,xab,B=x|a,b,gQf+,aa,bb,gc,xa(b+g),C=x|a,bQf,aab,bac,xa+b.下面证明A=B.设xA,则存在a,bQf+满足aa,bb+c以及xab.由加法定义和bb+c得到存在g,dQf+满足gb,dc和bg+d,由乘法的序性质,xa(g+d)即xB.因此,AB.,加法与乘法的分配律(II),类似地,任取xB,a,b,gQf+,a0,就有xA.因此,BA.所以,B=A.2.下面证明B=C.设xB,则a,b,gQf+,aa,bb,gc,xa(b+g)=ab+ag.由a,b,gQf+满足aa,bb,gc和乘法的序性质ab0,c0时,a(b+c)=ab+ac.下面考虑其他情形:3.当a=0,或b=0,或c=0时,分配律显然成立.4.当b+c=0时,a(b+c)=0,而c=-b.由乘法定义,ac=-ab,因此分配律成立.,加法与乘法的分配律(IV),下面考虑a,b,c和b+c都不为零的情形.5.当a0和b+c0时,不妨设b0,c0,a0和b+c0,以及a0和b+c0,可以通过乘法定义化成5的情形.这需要用到下列事实:-(b+c)=(-b)+(-c).这样分配律就证明了.#,x1/x=1,加法引理和乘法引理x1/x=1,加法引理和乘法引理,加法引理:设A=anQf|nN,B=bnQf|nN满足nN,anan+1,bnbn+1.如果x=supA,y=supBR,则x+y=supan+bn|nN证明:加法的序性质给出x+ysupan+bn|nN.再由加法的等价定义,cx+y,a,bQf,ax,by,c1-10n-m-1.5.这样1=supsn(x)sn1/(sn(x)+10-n)|nN,也就是x1/x=1.#,有理数的十进小数表示,有理数的十进小数分类有限情形的十进小数表示无限情形的十进小数表示,有理数的十进小数分类,有理数集Q=r=m/n|mZ,nN+,(m,n)=1r=m,即n=1,此时有理数r为整数.当n1时,则考虑用n去除m.这个过程的数学表述就是不断地做带余除法.即m=q0n+m0,q0Z,0m00;10mk-1=qkn+mk,qk0,1,9.其中mk0,0mkn,k=1,n+1.此时,或者有某个mk=0(有限情形),或者mk全不为零(无限情形).,有限情形的十进小数表示,取满足mk=0的最小k.即m=q0n+m0;10mj-1=qjn+mj,00,mk=mk+j.取k为这样的k中最小的k,j为使得mk=mk+j成立的最小数.这样m0,mk-1(如果k0)与mk,mk+j-1没有相同的数并且有下面的表达式:m/n=q0+q1/10+q2/102+qk/10k+(a1/10+a2/102+aj/10j+h/m