数学方法论试题(2).doc

数学方法论试题（2）（本卷考试时间120分钟） 题号一二三四五六总 分核分人题分16 16 16 16 18 18得分一、（16分）设，求证：。二、（16分）设，求证：。三、（16分）试证：三角形的三边中点，三垂足，三个顶点到垂心连线的中点，九点共圆。四、（16分）试证：预先任意给定n个素数，则有比它们更多的素数（即素数的个数是无限的）。五、（18分）空间中没有任何二个平行，没有任何三个共线，没有任何四个共点的n个平面可把空间分成多少区域？六、（18分）在平面内给出一凸n（n6）边形，它的任意三条对角线都不共点，求由凸n边形的边和所有对角线能围成的三角形的总数。数学方法论试卷（二）标准答案(2)一、（16分）证：按将求证式整理为： 2分构造函数： 4分 。 6分由于的图像为直线，所以当时，恒有，3分故原不等式成立。 1分二、（16分）证：根据问题中所给出的数量关系，我们可构造如下n+1个数： 6分易知，这组数的算术平均数为，几何平均数为。8分由均值不等式便可得到求证式。 2分AHBCMNTSLO三、（16分）证：如图，设为的垂心，S、T、L是各顶点到垂心连线的中点。 （2分）欲证的九点圆可由S、T、L决定。由此可知，这九点圆与的外接圆O位似。（建立了以H为位似中心，2为位似系数的位似变换）。要证九点共圆，只须证下面两点：（1） 设AH交BC于N，并延长AH交圆O于，往证点即为N点的位似变换像（即证），事实上，因，则有。故有。 （6分）（2）连MH（M为BC的中点），延长HM至，使。往证点即为M点的位似变换像（即证圆O上）。 事实上，因为BM=MC，所以是平行四边形，有，又，从而，故在OO上。 （6分）根据（1）、（2），即知的三个垂足，三边中点都在S、T、L决定的图上，即九点共园。 （2分）四、（16分）证：假设素数的个数是有限的，设为。 2分现在我们构造一个新数。 3分如果这个新数是素数，那么它大于中的任一数，于是得到了第n+1个素数。 4分如果这个新数是合数，那么它必定能被某个素数整除，但这个素数不可能是中的任何一个，因为将它们中的任何一个去除时都有余数1，因此必有另一个素数能整除了。这样就得到了第n+1个素数。5分综上所述，素数的个数是无限的。 2分 五、（18分）证：设平面与平面的交线依次为由原命题的条件知，这条交线任何两条不平行，任何3条不共点。于是，被条交线分成个部分。6分又设个平面将空间分成个部分。因为增加一个平面，而被条交线分成个部分，所以空间被分成的部分数就增加了个部分，即。 8分分别令上式中得个式子，这个式子相加得：。 4分六、（18分）证：记原凸n边形的顶点为外点，对角线的交点为内点，则所围成的三角形有下列四类： 由三个外点为顶点的三角形；由二个外点、一个内点为顶点的三角形；由一个外点、二个内点为顶点的三角形；由三个内点为顶点的三角形。 3分显然。 3分在类中，将一个内点所在的两条对角线所在的四个外点构成一个凸四边形，这个四边形含有4个类中的三角形，所以。3分在类中，将二个内点所在的三条对角线所在的五个外点构成一个凸五边形，这个五边形含有5个类中的三角形，所以。3分在类