等差数列前项和公式.ppt

ks5u精品课件,复习回顾,1.等差数列的概念,2.等差数列的通项公式,an=a1+(n-1)d,an-an-1=d(nN*且n2),ks5u精品课件,高斯，(17771855）德国著名数学家。,S=100+99+98+3+2+1,问题,S=1+2+3+98+99+100,2S=(1+100)100=10100,S=5050.,ks5u精品课件,问题1:怎样才能快速地计算出一堆钢管有多少根？,5+9=14,6+8=14,7+7=14,8+6=14,9+5=14,先算出每层的根数-每层都是14根!,再计算层数-共5层!,所以共(145)/2=35根.,ks5u精品课件,泰姬陵坐落于印度古都阿格，是十七世纪莫卧儿帝国皇帝沙杰罕为纪念其爱妃所建，她宏伟壮观，纯白大理石砌建而成的主体建筑叫人心醉神迷，成为世界七大奇迹之一。陵寝以宝石镶饰，图案之细致令人叫绝。传说陵寝中有一个三角形图案，以相同大小的圆宝石镶饰而成，共有100层（见左图），奢靡之程度，可见一斑。你知道这个图案一共花了多少宝石吗？,探究发现,ks5u精品课件,S=1+2+3+98+99+100,S=100+99+98+3+2+1,2S=(1+100)100=10100,S=5050.,ks5u精品课件,问题3:,求和:1+2+3+4+n=?,记:S=1+2+3+(n-2)+(n-1)+n,S=n+(n-1)+(n-2)+3+2+1,ks5u精品课件,问题4：设等差数列an的首项为a1，公差为d，如何求等差数列的前n项和Sn=a1+a2+a3+an?,ks5u精品课件,解：,因为a1+an=a2+an-1=a3+an-2=,两式左右分别相加，得,倒序相加,S=a1+a2+a3+an-2+an-1+an,S=an+an-1+an-2+a3+a2+a1,2Sn=(a1+an)+(a2+an-1)+(a3+an-2)+(an-2+a3)+(an-1+a2)+(an+a1)=n(a1+an),ks5u精品课件,问题5：能否用a1,n,d表示Sn,将an=a1+(n-1)d代入,每个公式都含有4个量,所以已知a1，an,n,d,Sn中的个量可以求出另外的两个，这里“知三求二”应用方程的思想，建立方程或方程组来求解,ks5u精品课件,探究发现,倒序相加法,ks5u精品课件,等差数列前n项和公式,公式1,公式2,比较两个公式的异同:,ks5u精品课件,公式应用,知三求二,例,之,解:,利用,a1=,a20=,再根据,在等差数列中,已知:,求及.,ks5u精品课件,练习一,根据条件，求相应等差数列an的Sn:a1=5,an=95,n=10;a1=100,d=2,n=50;,答案：500；,2550；,ks5u精品课件,练习二,(2004.全国文)等差数列的前项和记为.已知,.,(1)求通项;,(2)令,求.,ks5u精品课件,等差数列的前n项和练习1,1.根据下列条件，求相应的等差数列的,ks5u精品课件,等差数列的前n项和练习2-3,1.求自然数中前n个数的和.1,2,3,4,n,2.求自然数中前n个偶数的和.2,4,6,8,2n,ks5u精品课件,思考：若数列an的前n项和为Sn=an2+bn,(a,b为常数)，则数列an是等差数列。,ks5u精品课件,Sn=dn2(a1d)n=(2)n221(2)n=n222n=(n11)2121，,例1：已知数列an是等差数列，且a1=21，公差d=2，求这个数列的前n项和Sn的最大值。,解：,a=1,当n11时，(Sn)max=121。,例、等差数列an中，首项a1，S3=S11，问：这个数列的前几项的和最小？,ks5u精品课件,解：,依题意可设Sn=an2+bn，,S3=S11,a32b3=a112b11,8b=112a，即b=14a,Sn=an2+bn=an214an=a(n214n)=a(n7)249a,a0,当n=7时，(Sn)min=49a,这个数列的前7项的和最小。,例：等差数列an中，首项a1，S3=S11，问：这个数列的前几项的和最小？,a10，即a=d0，,ks5u精品课件,说明:,ks5u精品课件,解法：,解法：,ks5u精品课件,探究：,可以推广,ks5u精品课件,返回,ks5u精品课件,适用于任意数列,注意:,探索,ks5u精品课件,探究:,结论:,ks5u精品课件,返回,ks5u精品课件,课堂小结,等差数列前n项和公式,在两个求和公式中,各有五个元素,只要知道其中三个元素,结合通项公式就可求出另两个元素.,公式的推证用的是倒序相加法,ks5u精品课件,四、随堂练习,、根据下列各题中的条件，求相应的等差数列an的sn,(1)a=5,an=95,n=10,(2)a1=100,d=2,n=50,(3)a1=14.5,d=0.7,an=32,2、(1)求正整数列中前n个数的和；(2)求正整数列中前n个偶数的和。,3、等差数列5,4,3,2,1,前多少项的和是30？,前15项,ks5