2012年高考数学按章节分类汇编(人教A文：选修1-1理：选修2-1)：第二章圆锥曲线与方程.doc

2012年高考数学按章节分类汇编（人教A文：选修1-1理：选修2-1）第二章圆锥曲线与方程一、选择题 （2012年高考（山东理）已知椭圆的离心学率为.双曲线的渐近线与椭圆有四个交点,以这四个焦点为顶点的四边形的面积为16,则椭圆的方程为（）ABCD （2012年高考（山东文）已知双曲线:的离心率为2.若抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为2,则抛物线的方程为（）ABCD （2012年高考（浙江文）如图,中心均为原点O的双曲线与椭圆有公共焦点,M,N是双曲线的两顶点.若M,O,N将椭圆长轴四等分,则双曲线与椭圆的离心率的比值是（）A3B2CD （2012年高考（浙江理）如图,F1,F2分别是双曲线C:(a,b0)的左右焦点,B是虚轴的端点,直线F1B与C的两条渐近线分别交于P,Q两点,线段PQ的垂直平分线与x轴交于点M.若|MF2|=|F1F2|,则C的离心率是（）AB CD （2012年高考（辽宁文）已知P,Q为抛物线x2=2y上两点,点P,Q的横坐标分别为4,2,过P,Q分别作抛物线的切线,两切线交于点A,则点A的纵坐标为（）A1B3C4D8 （2012年高考（四川文）已知抛物线关于轴对称,它的顶点在坐标原点,并且经过点.若点到该抛物线焦点的距离为,则（）ABCD （2012年高考（课标文）等轴双曲线的中心在原点,焦点在轴上,与抛物线的准线交于、两点,=,则的实轴长为（）ABC4D8 （2012年高考（课标文）设,是椭圆:=1(0)的左、右焦点,为直线上一点,是底角为的等腰三角形,则的离心率为（）ABCD （2012年高考（江西文）椭圆的左、右顶点分别是A,B,左、右焦点分别是F1,F2.若|AF1|,|F1F2|,|F1B|成等比数列,则此椭圆的离心率为（）ABCD （2012年高考（湖南文）已知双曲线C :-=1的焦距为10 ,点P (2,1)在C 的渐近线上,则C的方程为（）A-=1B-=1C-=1D-=1w、ww.zz& （2012年高考（福建文）已知双曲线-=1的右焦点为,则该双曲线的离心率等于A BCD （2012年高考（大纲文）已知为双曲线的左,右焦点,点在上,则（）ABCD（2012年高考（大纲文）椭圆的中心在原点,焦距为4,一条准线为,则该椭圆的方程为（）ABCD （2012年高考（新课标理）等轴双曲线的中心在原点,焦点在轴上,与抛物线的准线交于两点,;则的实轴长为（）ABCD （2012年高考（新课标理）设是椭圆的左、右焦点,为直线上一点,是底角为的等腰三角形,则的离心率为（）ABCD （2012年高考（四川理）已知抛物线关于轴对称,它的顶点在坐标原点,并且经过点.若点到该抛物线焦点的距离为,则（）ABCD （2012年高考（上海春）已知椭圆则 答（）A与顶点相同.B与长轴长相同.C与短轴长相同.D与焦距相等. （2012年高考（湖南理）已知双曲线C :-=1的焦距为10 ,点P (2,1)在C 的渐近线上,则C的方程为（）A-=1B-=1C-=1D-=1 （2012年高考（福建理）已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合,则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于（）ABC3D5 （2012年高考（大纲理）已知为双曲线的左右焦点,点在上,则（）ABCD（2012年高考（大纲理）椭圆的中心在原点,焦距为4,一条准线为,则该椭圆的方程为（）ABCD（2012年高考（安徽理）过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点,点是原点,若;则的面积为（）ABCD二、填空题（2012年高考（天津文）已知双曲线与双曲线有相同的渐近线,且的右焦点为,则_,_.（2012年高考（重庆文）设为直线与双曲线 左支的交点,是左焦点,垂直于轴,则双曲线的离心率_（2012年高考（四川文）椭圆为定值,且的的左焦点为,直线与椭圆相交于点、,的周长的最大值是12,则该椭圆的离心率是_.（2012年高考（陕西文）右图是抛物线形拱桥,当水面在时,拱顶离水面2米,水面宽4米,水位下降1米后,水面宽 米.（2012年高考（辽宁文）已知双曲线x2 y2 =1,点F1,F2为其两个焦点,点P为双曲线上一点,若P F1PF2,则P F1+P F2的值为_.（2012年高考（安徽文）过抛物线的焦点的直线交该抛物线于两点,若,则=_（2012年高考（天津理）己知抛物线的参数方程为(为参数),其中,焦点为,准线为,过抛物线上一点作的垂线,垂足为,若,点的横坐标是3,则_.（2012年高考（重庆理）过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点,若则=_.（2012年高考（四川理）椭圆的左焦点为,直线与椭圆相交于点、,当的周长最大时,的面积是_.（2012年高考（上海春）抛物线的焦点坐标为_.（2012年高考（陕西理）xy右图是抛物线形拱桥,当水面在时,拱顶离水面2米,水面宽4米,水位下降1米后,水面宽_米.（2012年高考（辽宁理）已知P,Q为抛物线上两点,点P,Q的横坐标分别为4,2,过P、Q分别作抛物线的切线,两切线交于A,则点A的纵坐标为_.（2012年高考（江西理）椭圆(ab0)的左、右顶点分别是A,B,左、右焦点分别是F1,F2.若|AF1|,|F1F2|,|F1B|成等比数列,则此椭圆的离心率为_.A1 A2 yB2 B1AO BCDF1 F2 x（2012年高考（江苏）在平面直角坐标系中,若双曲线的离心率为,则的值为_. （2012年高考（湖北理）如图,双曲线的两顶点为,虚轴两端点为,两焦点为,. 若以为直径的圆内切于菱形,切点分别为. 则()双曲线的离心率_;()菱形的面积与矩形的面积的比值_.（2012年高考（北京理）在直角坐标系中,直线过抛物线的焦点F,且与该抛物线相较于A、B两点,其中点A在轴上方,若直线的倾斜角为60,则OAF的面积为_.三、解答题（2012年高考（重庆文）(本小题满分12分,()小问5分,()小问7分)已知椭圆的中心为原点,长轴在 轴上,上顶点为 ,左、右焦点分别为 ,线段 的中点分别为 ,且是面积为4的直角三角形.()求该椭圆的离心率和标准方程;()过 作直线交椭圆于,求的面积（2012年高考（浙江文）（本题满分14分）如图，在直角坐标系xOy中，点P（1，）到抛物线C：=2px（P0）的准线的距离为。点M（t，1）是C上的定点，A，B是C上的两动点，且线段AB被直线OM平分。（1）求p,t的值。（2）求ABP面积的最大值。（2012年高考（天津文）已知椭圆,点在椭圆上.(I)求椭圆的离心率.(II)设为椭圆的右顶点,为坐标原点,若在椭圆上且满足,求直线的斜率的值.（2012年高考（四川文）如图,动点与两定点、构成,且直线的斜率之积为4,设动点的轨迹为.()求轨迹的方程;()设直线与轴交于点,与轨迹相交于点,且,求的取值范围.（2012年高考（上海文）在平面直角坐标系中,已知双曲线.(1)设F是C的左焦点,M是C右支上一点. 若|MF|=2,求过M点的坐标;(2)过C的左顶点作C的两条渐近线的平行线,求这两组平行线围成的平行四边形的面积;(3)设斜率为的直线l交C于P、Q两点,若l与圆相切,求证:OPOQ;（2012年高考（陕西文）已知椭圆,椭圆以的长轴为短轴,且与有相同的离心率.(1)求椭圆的方程;(2)设O为坐标原点,点A,B分别在椭圆和上,求直线的方程.（2012年高考（山东文）如图,椭圆的离心率为,直线和所围成的矩形ABCD的面积为8.()求椭圆M的标准方程;() 设直线与椭圆M有两个不同的交点与矩形ABCD有两个不同的交点.求的最大值及取得最大值时m的值.（2012年高考（课标文）设抛物线:(0)的焦点为,准线为,为上一点,已知以为圆心,为半径的圆交于,两点.()若,的面积为,求的值及圆的方程;()若,三点在同一条直线上,直线与平行,且与只有一个公共点,求坐标原点到,距离的比值.（2012年高考（江西文）已知三点,曲线上任意一点满足。(1)求曲线的方程;(2)点是曲线上动点,曲线在点处的切线为,点的坐标是与分别交于点,求与的面积之比。（2012年高考（湖南文）在直角坐标系xOy中,已知中心在原点,离心率为的椭圆E的一个焦点为圆C:x2+y2-4x+2=0的圆心.()求椭圆E的方程;()设P是椭圆E上一点,过P作两条斜率之积为的直线l1,l2.当直线l1,l2都与圆C相切时,求P的坐标.（2012年高考（湖北文）设A是单位圆上任意一点,是过点与轴垂直的直线,是直线与轴的交点,点在直线上,且满足,当点在圆上运动时,记点的轨迹为曲线.(1)求曲线的方程,判断曲线为何种圆锥曲线,并求其焦点坐标.(2)过原点斜率为的直线交曲线于两点,其中在第一象限,且它在轴上的射影为点,直线交曲线于另一点,是否存在,使得对任意的,都有?若存在,请说明理由.（2012年高考（广东文）(解析几何)在平面直角坐标系中,已知椭圆:()的左焦点为且点在上.()求椭圆的方程;()设直线同时与椭圆和抛物线:相切,求直线的方程.（2012年高考（福建文）如图,等边三角形的边长为,且其三个顶点均在抛物线上.(1)求抛物线的方程;(2)设动直线与抛物线相切于点,与直线相较于点.证明以为直径的圆恒过轴上某定点.（2012年高考（大纲文）已知抛物线C:与圆:有一个公共点,且在处两曲线的切线为同一直线上.()求;()设是异于且与及都切的两条直线,的交点为,求到的距离.（2012年高考（北京文）已知椭圆:的一个顶点为,离心率为.直线与椭圆交于不同的两点M,N.()求椭圆的方程;()当AMN得面积为时,求的值.（2012年高考（安徽文）如图,分别是椭圆:+=1()的左、右焦点,是椭圆的顶点,是直线与椭圆的另一个交点,.()求椭圆的离心率;()已知面积为40,求 的值（2012年高考（天津理）设椭圆的左、右顶点分别为,点在椭圆上且异于两点,为坐标原点.()若直线与的斜率之积为,求椭圆的离心率;()若,证明直线的斜率满足.（2012年高考（新课标理）设抛物线的焦点为,准线为,已知以为圆心,为半径的圆交于两点;(1)若,的面积为;求的值及圆的方程;(2)若三点在同一直线上,直线与平行,且与只有一个公共点,求坐标原点到距离的比值.（2012年高考（浙江理）如图,椭圆C:(ab0)的离心率为,其左焦点到点P(2,1)的距离为.不过原点O的直线l与C相交于A,B两点,且线段AB被直线OP平分.()求椭圆C的方程;() 求ABP的面积取最大时直线l的方程.（2012年高考（重庆理）(本小题满分12分()小问5分()小问7分)如图,设椭圆的中心为原点O,长轴在x轴上,上顶点为A,左右焦点分别为,线段的中点分别为,且 是面积为4的直角三角形.()求该椭圆的离心率和标准方程; ()过做直线交椭圆于P,Q两点,使,求直线的方程（2012年高考（四川理）如图,动点到两定点、构成,且,设动点的轨迹为.()求轨迹的方程;()设直线与轴交于点,与轨迹相交于点,且,求的取值范围.（2012年高考（上海理）在平面直角坐标系中,已知双曲线.(1)过的左顶点引的一条渐近线的平行线,求该直线与另一条渐近线及x轴围成的三角形的面积;(2)设斜率为1的直线l交于P、Q两点,若l与圆相切,求证:OPOQ;(3)设椭圆. 若M、N分别是、上的动点,且OMON,求证:O到直线MN的距离是定值.（2012年高考（上海春）本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.已知双曲线(1)求与双曲线有相同的焦点,且过点的双曲线的标准方程;(2)直线分别交双曲线的两条渐近线于两点.当时,求实数的值.（2012年高考（陕西理）已知椭圆,椭圆以的长轴为短轴,且与有相同的离心率.(1)求椭圆的方程;(2)设O为坐标原点,点A,B分别在椭圆和上,求直线的方程.（2012年高考（山东理）在平面直角坐标系中,是抛物线的焦点,是抛物线上位于第一象限内的任意一点,过三点的圆的圆心为,点到抛物线的准线的距离为.()求抛物线的方程;()是否存在点,使得直线与抛物线相切于点?若存在,求出点的坐标;若不存在,说明理由;()若点的横坐标为,直线与抛物线有两个不同的交点,与圆 有两个不同的交点,求当时,的最小值.（2012年高考（辽宁理）如图,椭圆:,a,b为常数),动圆,.点分别为的左,右顶点,与相交于A,B,C,D四点.()求直线与直线交点M的轨迹方程;()设动圆与相交于四点,其中,.若矩形与矩形的面积相等,证明:为定值.（2012年高考（江西理）已知三点O(0,0),A(-2,1),B(2,1),曲线C上任意一点M(x,y)满足.(1)求曲线C的方程;(2)动点Q(x0,y0)(-2x02)在曲线C上,曲线C在点Q处的切线为l向:是否存在定点P(0,t)(t0),则焦点坐标为(),准线方程为x=, 点评本题旨在考查抛物线的定义: |MF|=d,(M为抛物线上任意一点,F为抛物线的焦点,d为点M到准线的距离). 【命题意图】本题主要考查抛物线的准线、直线与双曲线的位置关系,是简单题. 【解析】由题设知抛物线的准线为:,设等轴双曲线方程为:,将代入等轴双曲线方程解得=,=,=,解得=2, 的实轴长为4,故选C. 【命题意图】本题主要考查椭圆的性质及数形结合思想,是简单题. 【解析】是底角为的等腰三角形, ,=,=,故选C. 【答案】B 【解析】,由成等比数列得. 【考点定位】本题主要考查椭圆和等比数列的知识,根据等比中项的性质可得结果. 【答案】A 【解析】设双曲线C :-=1的半焦距为,则. 又C 的渐近线为,点P (2,1)在C 的渐近线上,即. 又,C的方程为-=1. 【点评】本题考查双曲线的方程、双曲线的渐近线方程等基础知识,考查了数形结合的思想和基本运算能力,是近年来常考题型. 【答案】C 【解析】由,C答案正确. 【考点定位】本题主本考查双曲线的方程与基本性质,属于基础题. 答案C 【命题意图】本试题主要考查了双曲线的定义的运用和性质的运用,以及余弦定理的运用.首先运用定义得到两个焦半径的值,然后结合三角形中的余弦定理求解即可. 【解析】解:由题意可知,设,则,故,利用余弦定理可得. 答案C 【命题意图】本试题主要考查了椭圆的方程以及性质的运用.通过准线方程确定焦点位置,然后借助于焦距和准线求解参数,从而得到椭圆的方程. 【解析】因为,由一条准线方程为可得该椭圆的焦点在轴上县,所以.故选答案C 【解析】选设交的准线于得: 【解析】选是底角为的等腰三角形 答案B 解析设抛物线方程为y2=2px(p0),则焦点坐标为(),准线方程为x=, 点评本题旨在考查抛物线的定义: |MF|=d,(M为抛物线上任意一点,F为抛物线的焦点,d为点M到准线的距离). D 【答案】A 【解析】设双曲线C :-=1的半焦距为,则. 又C 的渐近线为,点P (2,1)在C 的渐近线上,即. 又,C的方程为-=1. 【点评】本题考查双曲线的方程、双曲线的渐近线方程等基础知识,考查了数形结合的思想和基本运算能力,是近年来常考题型. 【答案】A 【解析】抛物线的焦点是,双曲线的半焦距,故双曲线的渐近线的方程为 【考点定位】本题主要考查双曲线、抛物线的标准方程、几何性质、点和直线的位置关系.考查推理谁能力、逻辑思维能力、计算求解能力、数形结合思想、转化化归思想. 答案C 【命题意图】本试题主要考查了双曲线的定义的运用和性质的运用,以及余弦定理的运用.首先运用定义得到两个焦半径的值,然后结合三角形中的余弦定理求解即可. 【解析】解:由题意可知,设,则,故,利用余弦定理可得. 答案C 【命题意图】本试题主要考查了椭圆的方程以及性质的运用.通过准线方程确定焦点位置,然后借助于焦距和准线求解参数,从而得到椭圆的方程. 【解析】因为,由一条准线方程为可得该椭圆的焦点在轴上县,所以.故选答案C 【解析】选 设及;则点到准线的距离为 得: 又 的面积为 二、填空题 【解析】双曲线的渐近线为,而的渐近线为,所以有,又双曲线的右焦点为,所以,又,即,所以. 【答案】 【解析】由,又垂直于轴,所以 【考点定位】本题考查了双曲线的焦点、离心率,考查了两条直线垂直的条件,考查了方程思想. 答案 解析根据椭圆定义知:4a=12, 得a=3 , 又 点评本题考查对椭圆概念的掌握程度.突出展现高考前的复习要回归课本的新课标理念. xy解析:建立如图所示的直角坐标系,则抛物线方程为,当时, ,所以水面宽米。 【答案】 【解析】由双曲线的方程可知 【点评】本题主要考查双曲线的定义、标准方程以及转化思想和运算求解能力,难度适中.解题时要充分利用双曲线的定义和勾股定理,实现差积和的转化. 【解析】 设及;则点到准线的距离为 得: 又 【答案】2 【命题意图】本试题主要考查了参数方程及其参数的几何意义,抛物线的定义及其几何性质. 【解析】可得抛物线的标准方程为,焦点,点的横坐标是3,则,所以点, 由抛物线得几何性质得,解得. 【答案】 【解析】设,则有,又,所以. 【考点定位】本题主要考查了抛物线的简单性质及抛物线与直线的关系,当遇到抛物线焦点弦问题时,常根据焦点设出直线方程与抛物线方程联立,把韦达定理和抛物线定义相结合解决问题,属于难题. 答案 解析根据椭圆定义知:4a=12, 得a=3 , 又 点评本题考查对椭圆概念的掌握程度.突出展现高考前的复习要回归课本的新课标理念. 解析:建立如图所示的直角坐标系,则抛物线方程为,当时, ,所以水面宽米. 【答案】4 【解析】因为点P,Q的横坐标分别为4,2,代人抛物线方程得P,Q的纵坐标分别为8,2. 由所以过点P,Q的抛物线的切线的斜率分别为4,2,所以过点P,Q的抛物线的切线方程分别为联立方程组解得故点A的纵坐标为4 【点评】本题主要考查利用导数求切线方程的方法,直线的方程、两条直线的交点的求法,属于中档题. 曲线在切点处的导数即为切线的斜率,从而把点的坐标与直线的斜率联系到一起,这是写出切线方程的关键. 【解析】本题着重考查等比中项的性质,以及椭圆的离心率等几何性质,同时考查了函数与方程,转化与化归思想. 利用椭圆及等比数列的性质解题.由椭圆的性质可知:,.又已知,成等比数列,故,即,则.故.即椭圆的离心率为. 【点评】求双曲线的离心率一般是通过已知条件建立有关的方程,然后化为有关的齐次式方程,进而转化为只含有离心率的方程,从而求解方程即可. 体现考纲中要求掌握椭圆的基本性质.来年需要注意椭圆的长轴,短轴长及其标准方程的求解等. 【答案】2. 【考点】双曲线的性质. 【解析】由得. ,即,解得. 考点分析:本题考察双曲线中离心率及实轴虚轴的相关定义,以及一般平面几何图形的面积计算. 解析:()由于以为直径的圆内切于菱形,因此点到直线的距离为,又由于虚轴两端点为,因此的长为,那么在中,由三角形的面积公式知,又由双曲线中存在关系联立可得出,根据解出 ()设,很显然知道,因此.在中求得故; 菱形的面积,再根据第一问中求得的值可以解出. 【答案】 【解析】由,可求得焦点坐标为,因为倾斜角为,所以直线的斜率为,利用点斜式,直线的方程为,将直线和曲线方程联立,因此. 【考点定位】 本题考查的是解析几何中抛物线的问题,根据交点弦问题求围成的面积.此题把握住抛物线的基本概念,熟练的观察出标准方程中的焦点和准线坐标、方程是成功的关键.当然还要知道三角形面积公式.三、解答题 【答案】:()+=1() 【解析】(1)设所求椭圆的标准方程为,右焦点为 由是直角三角形且,故,从而,即,结合,所以椭圆的离心率,在中, 故,由题设条件,从而,因此所求椭圆的标准方程为. (2)由(1)可知,由题意,直线的倾斜角不为0,故可设直线,代入椭圆的方程可得(*) 设 则 是上面方程的两根,因此 又,所以 由 ,知 ,即 ,解得 当 时,方程(*)化为: 故 , 的面积 当 时,同理可得(或由对称性可得) 的面积 综上所述, 的面积为 . 【命题意图】本题主要考查了抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系，同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力.（1）由题意得，得.（2）设，线段AB的中点坐标为由题意得，设直线AB的斜率为k（k）.由，得，得所以直线的方程为，即.由，整理得，所以，.从而得，设点P到直线AB的距离为d，则，设ABP的面积为S，则.由，得.令，则.设，则.由，得，所以，故ABP的面积的最大值为. 解:因为点在椭圆上,故,于是,所以椭圆的离心率 (2)设直线的斜率为,则其方程为,设点的坐标为 解析(1)设M的坐标为(x,y),当x=-1时,直线MA的斜率不存在;当x=1时,直线MB的斜率不存在. 于是x1且x-1.此时,MA的斜率为,MB的斜率为. 由题意,有=4 化简可得,4x2-y2-4=0 故动点M的轨迹C的方程为4x2-y2-4=0(x1且x-1) (2)由消去y,可得3x2-2mx-m2-4=0. () 对于方程(),其判别式=(-2m)2-43(-m2-4)=16m2+480 而当1或-1为方程(*)的根时,m的值为-1或1. 结合题设(m0)可知,m0,且m1 设Q、R的坐标分别为(XQ,YQ),(XR,YR),则为方程(*)的两根. 因为,所以, 所以. 此时 所以 所以 综上所述, 点评本小题主要考察直线、双曲线、轨迹方程的求法等基础知识,考察思维能力、运算能力,考察函数、分类与整合等思想,并考察思维的严谨性. 解(1)双曲线,左焦点. 设,则, 由M是右支上一点,知,所以,得. 所以 (2)左顶点,渐近线方程:. 过A与渐近线平行的直线方程为:,即. 解方程组,得 所求平行四边形的面积为 (3)设直线PQ的方程是.因直线与已知圆相切,故, 即 (*). 由,得. 设P(x1, y1)、Q(x2, y2),则. ,所以 . 由(*)知,所以OPOQ 解:(I) 矩形ABCD面积为8,即 由解得:,椭圆M的标准方程是. (II), 设,则, 由得. . 线段CD的方程为,线段AD的方程为. (1)不妨设点S在AD边上,T在CD边上,可知. 所以,则, 令,则 所以, 当且仅当时取得最大值,此时; (2)不妨设点S在AB边上,T在CD边上,此时, 因此,此时, 当时取得最大值; (3)不妨设点S在AB边上,T在BC边上,可知 由椭圆和矩形的对称性可知当时取得最大值; 综上所述当和0时,取得最大值. 【命题意图】本题主要考查圆的方程、抛物线的定义、直线与抛物线的位置关系、点到直线距离公式、线线平行等基础知识,考查数形结合思想和运算求解能力. 【解析】(1)由对称性知:是等腰直角,斜边 点到准线的距离,所以圆F的半径为, 又 ,所以, 进而圆心,所以圆的方程为 (2) 三点共线于,所以为的直径,所以,由抛物线定义知:,所以,可取直线的倾斜角为,又直线过焦点,所以直线的方程为:;的纵截距为 因直线直线, 所以可设直线的方程为,联立,消去得: 已知直线与抛物线只有一个公共点,所以(*)的判别式等于0,即有: , 求得:;即直线的纵截距为, 所以:坐标原点到,距离的比为: 解法二:由对称性设,则 由点关于点对称得: 得:,直线 切点 直线 坐标原点到距离的比值为. 【解析】(1), 代入式子可得整理得 【解析】()由,得.故圆C的圆心为点 从而可设椭圆E的方程为其焦距为,由题设知 故椭圆E的方程为: ()设点的坐标为,的斜分率分别为则的方程分别为且由与圆相切,得 , 即 同理可得 . 从而是方程的两个实根,于是 且 由得解得或 由得由得它们满足式,故点P的坐标为 ,或,或,或. 【点评】本题考查曲线与方程、直线与曲线的位置关系,考查运算能力,考查数形结合思想、函数与方程思想等数学思想方法.第一问根据条件设出椭圆方程,求出即得椭圆E的方程,第二问设出点P坐标,利用过P点的两条直线斜率之积为,得出关于点P坐标的一个方程,利用点P在椭圆上得出另一方程,联立两个方程得点P坐标. 图2 图3 图1O D xyAM 考点分析:本题主要考察求曲线的轨迹方程、直线与圆锥曲线的位置关系,要求能正确理解椭圆的标准方程及其几何性质,并能熟练运用代数方法解决几何问题,对运算能力有较高要求. 解析: ()如图1,设,则由, 可得,所以,. 因为点在单位圆上运动,所以. 将式代入式即得所求曲线的方程为. 因为,所以 当时,曲线是焦点在轴上的椭圆, 两焦点坐标分别为,; 当时,曲线是焦点在轴上的椭圆, 两焦点坐标分别为,. ()解法1:如图2、3,设,则, 直线的方程为,将其代入椭圆的方程并整理可得 . 依题意可知此方程的两根为,于是由韦达定理可得 ,即. 因为点H在直线QN上,所以. 于是,. 而等价于, 即,又,得, 故存在,使得在其对应的椭圆上,对任意的,都有. 解法2:如图2、3,设,则, 因为,两点在椭圆上,所以 两式相减可得 . 依题意,由点在第一象限可知,点也在第一象限,且,不重合, 故. 于是由式可得 . 又,三点共线,所以,即. 于是由式可得. 而等价于,即,又,得, 故存在,使得在其对应的椭圆上,对任意的,都有. 【点评】本题考查椭圆的标准方程,直线与圆锥曲线的位置关系;考查分类讨论的数学思想以及运算求解的能力.本题是一个椭圆模型,求解标准方程时注意对焦点的位置分类讨论,不要漏解;对于探讨性问题一直是高考考查的热点,一般先假设结论成立,再逆推所需要求解的条件,对运算求解能力和逻辑推理能力有较高的要求. 解析:()由左焦点可知,点在上,所以,即,所以,于是椭圆的方程为. ()显然直线的斜率存在,假设其方程为. 联立,消去,可得,由可得.联立,消去,可得,由可得.由,解得或,所以直线方程为或. 【考点定位】 本题主要考察抛物线的定义性质、圆的性质、直线与圆锥曲线的位置关系等基本指导,考查运用求解能力、推理论证能力、数形结合思想、转化与化归思想、特殊与一般思想. 【解析】(1)依题意,设点B(x,y),则x= Y=12 ,B(,12)在抛物线上,=2p12,p=2, 抛物线E的方程为=4y (2)设点P(,), 0. Y=, 切线方程:y-=,即y= 由 Q(,-1) 设M(0,),=0 -+=0,又,联立解得=1 故以PQ为直径的圆过y轴上的定点M(0,1) 【命题意图】本试题考查了抛物线与圆的方程,以及两个曲线的公共点处的切线的运用,并在此基础上求解点到直线的距离. 解:(1)设,对求导得,故直线的斜率,当时,不合题意,所心 圆心为,的斜率 由知,即,解得,故 所以 (2)设为上一点,则在该点处的切线方程为即 若该直线与圆相切,则圆心到该切线的距离为,即,化简可得 求解可得 抛物线在点处的切线分别为,其方程分别为 -得,将代入得,故 所以到直线的距离为. 【点评】该试题出题的角度不同于平常,因为涉及的是两个二次曲线的交点问题,并且要研究两曲线在公共点出的切线,把解析几何和导数的工具性结合起来,是该试题的创新处.另外对于在第二问中更是难度加大了,出现了另外的两条公共的切线,这样的问题对于我们以后的学习也是一个需要练习的方向. 【考点定位】此题难度集中在运算,但是整体题目难度确实不大,从形式到条件的设计都是非常熟悉的,相信平时对曲线的练习程度不错的学生做起来应该是比较容易的. 解:(1)由题意得解得.所以椭圆C的方程为. (2)由得. 设点M,N的坐标分别为,则,. 所以|MN|=. 由因为点A(2,0)到直线的距离, 所以AMN的面积为. 由,解得. 【解析】(I) ()设;则 在中, 面积 【命题意图】本试题主要考查了椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、平面内两点间的距离公式等基础知识.考查用代数方法研究圆锥曲线的性质.以及数形结合的数学思想方程,考查运算求解能力、综合分析和解决问题的能力. 解：（1）取，；则（2）设；则线段的中点方法二:依题意,直线的方程为,可设点,由点在椭圆上,有,因为,所以即 由,得整理得,于是,代入得. 【解析】(1)由对称性知:是等腰直角,斜边 点到准线的距离 圆的方程为 (2)由对称性设,则 点关于点对称得: 得:,直线 切点 直线 坐标原点到距离的比值为. 【解析】 ()由题:; (1) 左焦点(c,0)到点P(2,1)的距离为:. (2) 由(1) (2)可解得:. 所求椭圆C的方程为:. ()易得直线OP的方程:y=x,设A(xA,yA),B(xB,yB),R(x0,y0).其中y0=x0. A,B在椭圆上, . 设直线AB的方程为l:y=(m0), 代入椭圆:. 显然. m且m0. 由上又有:=m,=. |AB|=|=. 点P(2,1)到直线l的距离为:. SABP=d|AB|=,其中m0,. 当MBA=90时,点M的坐标为(2, 3) 当MBA90时;x2.由MBA=2MAB, 有tanMBA=,即 化简得:3x2-y2-3=0,而又经过(2,3) 综上可知,轨迹C的方程为3x2-y2-3=0(x1) (II)由方程消去y,可得.(*) 由题意,方程(*)有两根且均在(1,+)内,设 所以 解得,m1,且m2 设Q、R的坐标分别为,由有 所以 由m1,且m2,有 所以的取值范围是 点评本小题主要考察直线、双曲线、轨迹方程的求法等基础知识,考察思维能力、运算能力,考察函数、分类与整合等思想,并考察思维的严谨性. 解(1)双曲线,左顶点,渐近线方程:. 过点A与渐近线平行的直线方程为,即. 解方程组,得 所以所求三角形的面积1为 (2)设直线PQ的方程是.因直线与已知圆相切, 故,即 由,得. 设P(x1, y1)、Q(x2, y2),则. 又,所以 , 故OPOQ (3)当直线ON垂直于x轴时, |ON|=1,|OM|=,则O到直线MN的距离为. 当直线ON不垂直于x轴时, 设直线ON的方程为(显然),则直线OM的方程为. 由,得,所以. 同理 设O到直线MN的距离为d,因为, 所以,即d=. 综上,O到直线MN的距离是定值 解(1)双曲线的焦点坐标为,设双曲线的标准方程为,则,所以双曲线的标准方程为. (2)双曲线的渐近线方程为,设 由,由 又因为,而 所以. 解析:(1)由已知可设椭圆的方程为 其离心率为,故,则 故椭圆的方程为 (2)解法一 两点的坐标分别记为 由及(1)知,三点共线且点,不在轴上, 因此可以设直线的方程为 将代入中,得,所以 将代入中,则,所以 由,得,即 解得,故直线的方程为或 解法二 两点的坐标分别记为 由及(1)知,三点共线且点,不在轴上, 因此可以设直线的方程为 将代入中,得,所以 由,得, 将代入中,得,即 解得,故直线的方程为或. 解析:()F抛物线C:x2=2py(p0)的焦点F,设M,由题意可知,则点Q到抛物线C的准线的距离为,解得,于是抛物线C的方程为. ()假设存在点M,使得直线MQ与抛物线C相切于点M, 而, , 由可得,则, 即,而,解得,点M的坐标为. ()若点M的横坐标为,则点M,. 由可得,.设, 圆, , 于是,令 ,设, 当时, 即当时. 故当时,. 【答案及解析】 【命题意图】本题主要考查圆的方程、椭圆方程、轨迹求法、解析几何中的定值问题，考查转化与化归能力、运算求解能力，是难题.【解析】设，又知，则直线的方程为 直线的方程为 由得 由点在椭圆上，故可得，从而有，代入得 6分（2）证明：设，由矩形与矩形的面积相等，得，因为点均在椭圆上，所以由，知，所以。从而，因而为定值12分【点评】本题主要考查圆的性质、椭圆的定义、标准方程及其几何性质、直线方程求解、直线与椭圆的关系和交轨法