武汉大学量子力学第二章A

第二章量子力学原理()波函数和Schrdinger方程,2.1波函数及其统计解释2.2态叠加原理2.3Schrdinger方程2.4定态2.5一维定态问题,假设一微观体系的运动状态由相应的归一化波函数描述假设二微观体系的运动状态波函数随时间的变化规律遵从薛定谔方程假设三力学量由相应的线性厄密算符表示假设四力学量算符之间有确定的对易关系,称为量子条件.基本量子条件假设五全同的多粒子体系的波函数对于任意一对粒子交换而言具有对称性玻色子；费米子,量子力学的五条假设,2.1波函数及其统计解释,2.1-1波函数2.1-2波函数的统计解释2.1-3波函数的归一化2.1-4粒子动量取值的几率分布2.1-5坐标和动量的期望值2.1-6量子态；量子力学的第一条假设,例：动量为,能量的自由粒子,此为自由粒子(单色平面波)的波函数,2.1-1波函数,量子力学用坐标和时间的复函数来描述粒子的波动状态,称为波函数,其波矢角频率,伴随着单色平面波动.描述单色平面波的函数为,不再是常量,粒子的状态用较复杂的波描写，一般记为：,2.1-2波函数的统计解释,如果粒子处于一个力场中运动，粒子动量和能量,证实波动性,电子一个一个的通过小孔，但只要时间足够长，底片上增加呈现出衍射花纹。单个电子就具有波动性。,长时间单个电子衍射实验,衍射图样反映是波的强度电子数目的分布,波动性看,粒子性看,波函数的波恩统计解释,正比于该点附近感光点的数目，正比于该点附近出现的电子数目，正比于电子出现在该点附近的几率,感光片上,某一点附近衍射图样的强度,粒子的运动状态用波函数来描述，时刻波在空间一点的强度正比于该时刻粒子在该点出现的几率,表示(正比)在点处，体积元中找到粒子的几率,Born1926年提出了波函数的统计解释,(1)描写粒子的波可以认为是几率波.粒子本身是完整的,但运动没有轨道,任一时刻粒子在空间各点都有出现的几率;(2)波函数本身没有物理意义,波的强度有物理意义:表示粒子在t时刻在空间各点出现的几率分布.,（1）归一化条件,在任意时刻在全空间找到粒子的几率应为1，即要求波函数满足归一化条件：,若波函数不满足归一化条件,则将波函数乘以归一化常数N,波函数的归一化,解出,2.1-3波函数归一化,归一化的波函数为:,使得,归一化的波函数为:,则取,或令,归一化后，在时刻，点，体积元内找到由波函数描写的粒子的几率是,（2）几率和几率密度,在时刻，点附近单位体积元内找到粒子的几率,几率密度,波函数乘上一个常数N后，所描写的粒子状态不变，即描述同一状态,因为物理上有意义的是相对几率分布,自由运动粒子归一化波函数,三维空间,注意：这样归一化后的平面波其模的平方仍不表示几率密度，依然只是表示平面波所描写的状态在空间各点找到粒子的几率相同。,(3)平面波归一化,傅立叶变换,2.1-4粒子动量取值的几率分布,逆变换,一一对应,同一量子态的不同描述方式,若已归一化，则也是归一化的,t时刻粒子出现在附近体积元内的几率,t时刻粒子出现在附近体积元内的几率,物理意义:,:动量取值的几率分布,2.1-5坐标和动量的期望值,（1）坐标期望值,设是归一化波函数，是粒子出现在x处dx线段元内的几率，则坐标的期望值为：,三维情况,一维情况,是粒子动量在点取值的几率，动量的期望值为：,这里,一维情况,（2）动量期望值,两种方法,1.,2.,这里：,三维情况：,（3）坐标算符,动量算符的x分量,一维情况,三维情况,（4）力学量算符势能，动能，哈密顿函数的算符表示,例:一维情况,式中,把该力学量对应的算符夹在和之间,对全空间积分，即,（5）任一力学量的期望值,哈密顿函数,（6）角动量算符,三个分量,2.1-6量子态；量子力学的第一条假设,量子态：微观体系的运动状态。用波函数描述。,量子力学的第一条假设,微观体系的运动状态由相应的波函数完全地描述。波函数归一化后，给出粒子在这个运动状态下，在任一时刻t时坐标、动量以及其它所有力学量取值的几率分布，用它们来统计性地完全确定这个运动状态。,S2开：状态强度分布|2|2,2.2态叠加原理,电子双缝干涉示意图,S1开：状态强度分布|1|2,1,2同时开：状态强度分布|2,一个电子有和两种可能的状态,这两种状态的叠加,也是电子的可能状态,实验表明,而是,若是微观体系的一系列可能的状态，则这些态的线性叠加也是体系的一个可能状态。处于态的微观体系，部分的处于态，部分的处于态.，部分的处于态，.各有一定的可能性,给出粒子坐标的几率分布,量子力学的态叠加原理,2.3Schrdinger方程,2.3-1方程的引出；量子力学的第二条假设,2.3-2几率守恒和几率流密度,2.3-3波函数的标准条件,2.3-1方程的引出；量子力学的第二条假设,类比经典情况,量子情况,1t=t0时刻，已知初态是，所以波函数所满足的方程是对时间的一阶导数。,2要满足态叠加原理，即，若和是方程的解，那末,也应是该方程的解。这就要求方程应是线性的。,3方程含普朗克常数,4对时间一阶微商的波动方程含虚数i,5方程不能包含状态参量，如,等,所以方程合理地写成:,能量量纲,线性算符；能量量纲,(1)自由粒子满足的方程,自由粒子波函数:,这不是所要寻找的方程，因为它包含状态参量E。将对坐标二次微商，有：,上式对时间微商，得：,同理有：,(1)(2)式,相加，有,对自由粒子有，则上式右边为零,故,和前面公式比较得哈密顿量为,如果能量关系式写成如下方程形式:,作算符替换（4式）即给出(3)式,启发：,Schrdinger方程,若粒子处于势场中运动，,(2)势场中的运动粒子,作用波函数上,能量-动量关系,作算符替换,讨论任一个非相对论性微观体系，不论它是单粒子体系还是多粒子体系，也不论它有无对应的经典体系，设它的哈密顿量为(可以与时间有关)，用来表征这个微观体系。假设这个体系的任一运动状态的波函数都满足如下所示的Schrdinger方程,（5）量子力学第二条假设,其中,对一个粒子而言，在全空间找到它的几率总和应不随时间改变，即,几率密度分布,2.3-2几率守恒与几率流密度,（1）几率流密度矢量,总几率守恒,考虑Schrdinger方程及共轭方程：,对几率密度分布对时间取微分,注意:,(7),令,几率流密度矢量,（2）几率密度分布随时间演化方程,粒子在空间某处出现的几率不会凭空地增加或减少，必定通过几率流的方式与空间其它位置进行几率的相互传递。,粒子几率守恒的微分表达式,(7)式可写成,粒子几率守恒的积分表示式,单位时间内通过的封闭表面S流入（面积分前面的负号）区域内的几率,闭区域上找到粒子的总几率在单位时间内的增量,（3）几率守恒的积分表达式,在空间闭区域中将上式积分，则有,令趋于，积分对全空间进行。考虑粒子在有限空间内运动，波函数在无穷远处为零，则公式右边面积分趋于零,于是,或,说明:粒子在全空间出现的总几率是守恒的。,有限空间内运动，波函数为平方可积的,满足三个条件,有限性、单值性、连续性,以上为波函数的标准条件,波函数对空间坐标的一阶微商连续,2.3-3波函数的标准条件,束缚态:粒子受势场束缚，波函数在空间无穷远处值为零自由态:,2.4定态Schrdinger方程,2.4-1定态与定态薛定谔方程,2.4-2非定态由若干定态叠加而成,考虑粒子在势场中运动且与时间无关,故,令,代入,2.4-1定态和定态Schrdinger方程,当与t无关时，可以分离空间变量和时间变量,H与时间无关,得,分离变量法,两边同除,得,等式两边相互无关，故应等于与无关的常数,上式可化为两个方程:,于是:,E具有能量量纲，实数,此时体系能量有确定的值，这种状态称为定态，波函数（和）称为定态波函数。,定态和定态波函数,定态薛定谔方程,空间波函数和能量E可由该方程和边界条件得出,将定态薛定谔方程改写成,称为能量本征值方程,哈密顿算符：,下一步工作：给出所有容许的定态,束缚定态,自由定态,对于束缚定态:E不能任意取值,因为方程解需满足边界条件和三个标准条件,每个能量(本征值)称为能级.其解为对应的定态波函数(本征函数)若对应多个定态,则称为该能级简并,能谱本征值谱；本征函数组,定态的性质,1.粒子在空间几率密度分布与时间无关,简并度：一个能量E对应有d个独立无关的解(波函数),称为该能级d度简并。,2.几率流密度矢量与时间无关,3.粒子动量的几率密度分布与时间无关,4.任何不显含t的力学量期望值与t无关,2.4-2非定态由若干定态叠加而成,当H与时间无关，,非定态：由若干个不同能量的定态叠加而成,两类状态:定态,非定态,满足:,代入,有:,利用,因为不同的独立无关，故,