国庆7天记数学.doc

10.1 记解题知识一 集合1.集合元素具有确定性、无序性和互异性. 在求有关集合问题时，尤其要注意元素的互异性， 2.遇到时，你是否注意到“极端”情况：或；同样当时，你是否忘记的情形？要注意到是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集 3.对于含有个元素的有限集合，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为 4.集合的运算性质：； ； ； ；.5. 数轴和韦恩图是进行交、并、补运算的有力工具，在具体计算时不要忘了集合本身和空集这两种特殊情况，补集思想常运用于解决否定型或正面较复杂的有关问题。二 函数函数图像的变换1函数的图像可以把函数的图像沿轴方向向 或向 平移个单位即可得到；左 右2函数的图像可以把函数的图像沿轴方向向 或向 平移个单位即可得到；上 下3.(1)函数的图像可以将函数的图像关于 对称即可得到；轴(2)、函数的图像可以将函数的图像关于 对称即可得到；轴(3)、函数的图像可以将函数的图像关于 对称即可得到；原点(4)、函数的图像可以将函数的图像关于直线 对称即可得到；4 (1)函数的图像可以将函数的图像的轴下方部分沿 翻折到轴上方，去掉原轴下方部分，并保留的轴上方部分即可得到；轴(2)函数的图像可以将函数的图像右边沿 翻折到轴左边替代原轴左边部分并保留在轴右边部分即可得到轴 (3)伸缩变换：函数的图像可以将函数的图像中的每一点横坐标不变纵坐标 或压缩（）为原来的 得到；伸长 倍 函数的图像可以将函数的图像中的每一点纵坐标不变横坐标伸长或压缩（）为 倍得到。原来的函数的定义域1在实际寻求函数的定义域时，应当遵守下列规则：（1） 分式的分母不能为零；（2） 偶次方根的被开方数应该为非负数；（3） 有限个函数的四则运算得到新函数其定义域是这有限个函数的定义域交集（作除法时还要去掉使除式为零的x值）；（4） 对于由实际问题建立的函数，其定义域还应该受实际问题的具体条件限制。2.已知f(x)的定义域为D，求fg(x)的定义域，实质是解不等式g(x)D；而已知fg(x)定义域为D，求f(x)定义域，是根据xD，求g(x)的取值范围。此时，一定要注意题目中给的条件，不要被它造成的假象所迷惑，尤其分清说的是x还是别的。函数值域的常见求法：（1）配方法二次函数（二次函数在给出区间上的最值有两类：一是求闭区间上的最值；二是求区间定（动），对称轴动（定）的最值问题。求二次函数的最值问题，勿忘数形结合，注意“两看”：一看开口方向；二看对称轴与所给区间的相对位置关系）， （2）换元法通过换元把一个较复杂的函数变为简单易求值域的函数，其函数特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型，（3）函数有界性法直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，来确定所求函数的值域，最常用的就是三角函数的有界性，（4）单调性法利用一次函数，反比例函数，指数函数，对数函数等函数的单调性，（5）数形结合法函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离、直线斜率、等等，注意：求两点距离之和时，要将函数式变形，使两定点在轴的两侧，而求两点距离之差时，则要使两定点在轴的同侧。（6）判别式法对分式函数（分子或分母中有一个是二次）都可通用，但这类题型有时也可以用其它方法进行求解，不必拘泥在判别式法上，也可先通过部分分式后，再利用均值不等式：型，可直接用不等式性质，型，先化简，再用均值不等式，型，通常用判别式法；型，可用判别式法或均值不等式法，（7）不等式法利用基本不等式求函数的最值，其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时须要用到拆项、添项和两边平方等技巧。（8）导数法一般适用于高次多项式函数，函数的单调性与奇偶性1确定函数的单调性或单调区间的常用方法：（1）在解答题中常用：定义法（取值作差变形定号）、导数法（在区间内，若总有，则为增函数；反之，若在区间内为增函数，则，请注意两者的区别所在。（2）在选择填空题中还可用数形结合法、特殊值法等等，特别要注意型函数的图象和单调性在解题中的运用：增区间为，减区间为.（3）复合函数法：复合函数单调性的特点是同增异减，2 具有奇偶性的函数的定义域的特征：定义域必须关于原点对称！为此确定函数的奇偶性时，务必先判定函数定义域是否关于原点对称。3确定函数奇偶性的常用方法（若所给函数的解析式较为复杂，应先化简，再判断其奇偶性）：定义法： 利用函数奇偶性定义的等价形式：或（）。图像法：奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于轴对称。4.函数奇偶性的性质：奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同；偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反.若为偶函数，则.若奇函数定义域中含有0，则必有.故是为奇函数的既不充分也不必要条件。定义在关于原点对称区间上的任意一个函数，都可表示成“一个奇函数与一个偶函数的和（或差）”。复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”既奇又偶函数有无穷多个（，定义域是关于原点对称的任意一个数集）.函数的周期性1由周期函数的定义“函数满足，则是周期为的周期函数”得：函数满足，则是周期为2的周期函数；若恒成立，则；若恒成立，则.2类比“三角函数图像”得：若图像有两条对称轴，则必是周期函数，且一周期为；若图像有两个对称中心，则是周期函数，且一周期为；如果函数的图像有一个对称中心和一条对称轴，则函数必是周期函数，且一周期为；二次函数1二次函数的解析式有以下三种形式：（1） 一般式： （2） 顶点式： （3） 零点式： 其中是方程的根2二次函数的图象是抛物线，对称轴方程为，顶点坐标是，当时，函数的最小值是 当函数的最大值是幂，指，对数函数1所有幂函数在都有意义，并且图象都通过点 ； a0时，图象在第一象限是增函数；asinB是AB的充要条件。（sinAsinBabAB）3、在在ABC中，已知a,b和A时，解的情况如下：4面积公式：（其中为三角形内切圆半径）.如中，若，判断的形状（答：直角三角形）。向量1.两个向量平行的充要条件,设a=(x1,y1),b=(x2,y2),为实数。（1）向量式：ab(b0)a=b;（2）坐标式：ab(b0)x1y2x2y1=0;2.两个向量垂直的充要条件, 设a=(x1,y1),b=(x2,y2), （1）向量式：ab(b0)ab=0; （2）坐标式：abx1x2+y1y2=0;3.平面向量数量积的坐标表示：（1）若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则ab=x1x2+y1y2;（2）若a=(x,y),则a2=aa=x2+y2,;4.向量数量积的性质：设两个非零向量，其夹角为，则：；当，同向时，特别地，；当与反向时，；当为锐角时，0，且不同向，是为锐角的必要非充分条件；当为钝角时，0，且不反向，是为钝角的必要非充分条件；非零向量，夹角的计算公式：； 10.4 记解题陷阱 1：设奇函数f（x）的定义域为-5，5.若当x0，5时，f（x）的图像如右图，则不等式f（x）0的解是 典型错误：根据奇函数图像关于原点O成中心对称，作出当x-5，0的部分图像，数形结合得解为：（-2，0）（2，5），也有写成解为：-2，0 2，5等.辨析：错因是审题不细，忽视了在区间端点时的“陷阱”情形.要求f（x）0的解，显然f（-2）= f（0）= f（2）=0，故-2、0、 2不能取，但x=5时f（5）0，因此正确的解答为：yxOb2对策：不等式问题要关注能否取到“=”号时的解.要警惕“陷阱”设置在隐含条件中.2：若函数f（x）=a+2在上为增函数，则实数a、b的取值范围是 yxOb2典型错误：将f（x）去掉绝对值符号得:f（x）= f（x）在上为增函数，a0. 如图:画一个符合题意的草图，bb0）上不同的两点，M(x0,y0)是AB的中点，则KABKOM=；3一般地，若斜率为k的直线被圆锥曲线所截得的弦为AB， A、B两点分别为A(x1，y1)、B(x2,y2)，则弦长 ,这里体现了解析几何“设而不求”的解题思想；1.双曲线焦半径公式：设P（x0,y0）为双曲线（a0,b0）上任一点，焦点为F1(-c,0),F2(c,0),则:（1）当P点在右支上时，；（2）当P点在左支上时，；（e为离心率）；另：双曲线（a0,b0）的渐近线方程为；2 处理椭圆、双曲线、抛物线的弦中点问题常用代点相减法，设A(x1，y1)、B(x2,y2)为对于双曲线（a0，b0），上不同的两点，M(x0,y0)是AB的中点，则KAB.KOM=； 1求导数时,先化简再求导是运算的基本方法,这样可以减少运算量.一般地,分式函数求导,要尽可能先将原函数化为整式函数或较简单的分式函数;对数函数求导要先化成和、差形式;三角函数求导,要先利用恒等变换进行变形或化简,然后再利用求导公式或求导法则进行求导;2复合函数的求导过程就是对复合函数由外层向里层求导.每次求导针对的均是外层,直到求到最里层为止.所谓最里层是指已可以直接引用基本公式进行求导3牢记求导公式、求导法则的结构和形式,不要混淆.如:,且等.4求单调区间时（1）注意定义域和参数对单调区间的影响； （2）同一函数的两个单调区间不能并起来； （3）求函数的单调区间，求导的方法不是唯一的方法，也不一定是最好的方法， 但它是一种一般性的方法.1求连续函数在上的最值的一般步骤： 1）求在上的极值. 2）将的各极值与函数在区间端点处的函数值比较，其中最大的一个是最大值，最小一个为最小值.对于实际问题，其关键是建立函数模型，因此首先要审清题意，明确变量与常量及其关系，再写出实际问题的函数关系式，对于实际问题，要关注自变量的取值范围.2由求单调区间的一般步骤可知:先求出,接着在定义域内求方程的根,但此时,若根的大小无法确定时,就无法确定区间的划分,即无法把定义域分成若干个子区间后对进行符号的判定,此时,就得对根的大小进行分类讨论.1把不等式变形后构造函数，然后用导数证明该函数的单调性，达到证明不等式的目的2.曲线的交点和函数的零点的个数常常与函数的单调性与极值有关，解题时，还需要用图象帮助思考，而求函数的单调性与极值以及画函数的图象的有力工具就是导数.3当函数取最大（或最小）值时不等式都成立，可得该不等式恒成立，从而把不等式的恒成立问题可转化为求函数最值问题不等式恒成立问题，一般都会涉及到求参数范围，往往把变量分离后可以转化为(或)恒成立，于是大于的最大值（或小于的最小值），从而把不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题因此，利用导数求函数最值是解决不等式恒成立问题的一种重要方法10.7 记解题知识直线1、直线的倾斜角：倾斜角的范围。2、直线的斜率：（1）斜率公式：经过两点、的直线的斜率为；（2）直线的方向向量，直线的方向向量与直线的斜率有何关系？3、点到直线的距离及两平行直线间的距离：（1）点到直线的距离；（2）两平行线间的距离为。4、直线与直线的位置关系：（1）平行（斜率）且（在轴上截距）；（2）相交；（3）重合且。圆1.以为直径端点的圆方程为2.直线与圆的位置关系：直线和圆有相交、相离、相切。可从代数和几何两个方面来判断：（1）代数方法（判断直线与圆方程联立所得方程组的解的情况）：相交；相离；相切；（2）几何方法（比较圆心到直线的距离与半径的大小）：设圆心到直线的距离为，则相交；相离；相切。提醒：判断直线与圆的位置关系一般用几何方法较简捷。3.圆的切线与弦长：过圆上一点圆的切线方程是：，过圆上一点圆的切线方程是：，从圆外一点引圆的切线一定有两条，可先设切线方程，再根据相切的条件，运用几何方法（抓住圆心到直线的距离等于半径）来求；过两切点的直线（即“切点弦”）方程的求法：先求出以已知圆的圆心和这点为直径端点的圆，该圆与已知圆的公共弦就是过两切点的直线方程；切线长：过圆（）外一点所引圆的切线的长为（）；（2）弦长问题：圆的弦长的计算：常用弦心距，弦长一半及圆的半径所构成的直角三角形来解：；过两圆、交点的圆(公共弦)系为，当时，方程为两圆公共弦所在直线方程.。4.解决直线与圆的关系问题时，要充分发挥圆的平面几何性质的作用(如半径、半弦长、弦心距构成直角三角形，切线长定理、割线定理、弦切角定理等等)!圆锥曲线方程1.中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆，双曲线方程可设为Ax2+Bx21；2.抛物线焦半径公式：设P（x0,y0）为抛物线y2=2px(p0)上任意一点，F为焦点，则；y2=2px(p0上任意一点，F为焦点，则；3.共渐进线的双曲线标准方程为为参数，0）；4.计算焦点弦长可利用焦半径公式，一般地，若斜率为k的直线被圆锥曲线所截得的弦为AB， A、B两点分别为A(x1，y1)、B(x2,y2)，则弦长 ,这里体现了解析几何“设而不求”的解题思想；5.椭圆、双曲线的通径（最短弦）为，焦准距为p=，抛物线的通径为2p，焦准距为p; 双曲线（a0，b0）的焦点到渐进线的距离为b;6.抛物线y2=2px(p0)的焦点弦（过焦点的弦）为AB，A（x1,y1）、B(x2,y2),则有如下结论：（1）x1+x2+p;（2）y1y2=p2，x1x2=;7.过椭圆（ab0）左焦点的焦点弦为AB，则，过右焦点的弦；导数1.根据导数的定义，求函数的导数步骤为：（1）求函数的增量(2)求平均变化率;3.导数的几何意义：曲线yf（x）在点P（x0,f(x0)）处的切线的斜率是相应地，切线方程是4.常见函数的导数公式：，5.导数的应用：（1）利用导数判断函数的单调性：设函数yf（x）在某个区间内可导，如果那么f(x)为增函数；如果那么f(x)为减函数；如