第4章曲线和曲面1

1,第四章曲线和曲面,第一节曲线和曲面表示的基础知识第二节Hermite多项式第三节Coons曲面第四节Bezier曲线和曲面第五节B样条曲线和曲面,2,曲线曲面的计算机辅助设计源于20世纪60年代的飞机和汽车工业。1962年法国雷诺汽车公司的Bzier提出了以逼近为基础的曲线曲面设计系统UNISURF，此前deCasteljau大约于1959年在法国另一家汽车公司雪铁龙的CAD系统中有同样的设计，但因为保密的原因而没有公布；1963年美国波音公司的Ferguson提出用于飞机设计的参数三次方程，将曲线曲面表示成参数矢量函数形式，并用三次参数曲线构造组合曲线，用四个角点的位置矢量及其两个方向的切矢量定义三次曲面。1964年MIT的教授StevenA.Coons提出了被后人称为超限插值的新思想，通过插值四条任意的边界曲线来构造曲面；1972年，deBoor和Cox分别给出B样条的标准算法；1975年以后，Riesenfeld等人研究了非均匀B样条曲线曲面，美国锡拉丘兹大学的Versprille研究了有理B样条曲线曲面，20世纪80年末、90年代初，Piegl和Tiller等人对有理B样条曲线曲面进行了深入的研究，并形成非均匀有理B样条(Non-UniformRationalB-Spline，简称NURBS)；1991年国际标准组织(ISO)正式颁布了产品数据交换的国际标准STEP，NURBS是工业产品几何定义唯一的一种自由型曲线曲面。,3,第一节曲线和曲面表示的基础知识,曲线和曲面参数表示显式表示隐式表示,4,上述表示法的缺点：1.与坐标轴相关，不便于进行坐标变换；2.会出现斜率为无穷大的情况；3.难以灵活地构造复杂的曲线、曲面；4.非参数的显示方程y=f(x)只能描述平面曲线，空间曲线必须定义为两张柱面y=f(x)与z=g(x)的交线，无法用统一的形式表示空间曲线和曲面；5.表示多值函数困难。,5,在空间曲线的参数表示中，曲线上每一点的坐标均要表示成某个参数t的一个函数式，则曲线上每一点笛卡尔坐标参数式是：,把三个方程合写到一起，曲线上一点坐标的矢量表示是：,6,关于参数t的切矢量或导函数是：,曲面写为参数方程形式为:,曲线的某一部分，可以简单地用atb界定它的范围，通常经过对参数变量的规格化，使t在0,1闭区间内变化，写成t0,1，对此区间内的参数曲线进行研究。,7,例题：参数表示的直线段端点坐标分别是P1x1,y1，P2x2,y2，直线段的参数表达式是：P(t)=P1+(P2-P1)t=(1-t)P1+tP20t1；参数表示相应的x,y坐标分量是：x(t)=x1+(x2-x1)ty(t)=y1+(y2-y1)t0t1,8,空间直线段：P1x1,y1,z1,P2x2,y2,z2P(t)代表曲线上的一点P(t)=P1+(P2-P1)t=(1-t)P1+tP2,9,参数方程具有如下优点:(1)对非参数方程表示的曲线、曲面进行变换，必须对曲线、曲面上的每个型值点进行几何变换；对参数表示的曲线、曲面可对其参数方程直接进行几何变换（如平移、比例、旋转）。(2)便于处理斜率为无限大的问题。(3)有更大的自由度来控制曲线、曲面的形状。具有很强的描述能力和丰富的表达能力。,10,(4)参数方程中，代数、几何相关和无关的变量是完全分离的，而且对变量个数不限，便于用户把低维空间中的曲线、曲面扩展到高维空间去。(5)规格化的参数变量t0,1,使其相应的几何分量是有界的，而不必用另外的参数去定义其边界。便于曲线和曲面的分段、分片描述。易于实现光顺连接。(6)易于用矢量和矩阵表示几何分量，计算处理简便易行。,11,基本概念曲线和曲面可以分为两类。一类要求通过事先给定的离散的点，称为是插值的曲线或曲面。另一类不要求通过事先给定的各离散点，而只是用给定各离散点形成的控制多边形来控制形状，称为是逼近的曲线或曲面。事先给定的离散点常称为型值点，由型值点求插值的或逼近的曲线或曲面的问题，称为是曲线或曲面的拟合问题。,12,插值(interpolation)要求构造一条曲线顺序通过型值点，称为对这些型值点进行插值。逼近(approximation)构造一条曲线，使它在某种意义上最佳逼近这些型值点，称之为对这些型值点进行逼近。,13,给定函数f(x)在区间a,b中互异的n个点的值f(xi),i=1,2,n,基于这些数据寻找某一个函数，要求，为f(x)的插值函数，xi为插值节点。(1)线性插值设已知函数f(x)在两个不同点x1,x2的值，y1=f(x1)，y2=f(x2)，用线性函数近似代替y=f(x),选择a,b使，则称为f(x)的线性插值函数。(2)抛物线插值(二次插值）设已知f(x)在三个互异点x1,x2,x3的函数值为y1=f(x1),y2=f(x2),y3=f(x3),要求构造函数在节点xi处有，称为f(x)的二次插值。,14,逼近常用方法最小二乘法假设已知一组型值点(xi,yi),i=1,2,n,要求构造一个m(mn-1)次多项式函数y=F(x)逼近这些型值点。偏差的平方和最小：加权平方和最小：令F(x)为一个m次多项式最小二乘法就是定出ai使偏差平方和最小。,15,参数连续性一函数在某一点x0处具有相等的直到k阶的左右导数，称它在x0处是k次连续可微的，或称它在x0处是k阶连续的，记作Ck。几何上C0、C1、C2依次表示该函数的图形、切线方向、曲率是连续的。由于参数曲线的可微性与所取参数有关，故常把参数曲线的可微性称为参数连续性。,16,几何连续性两曲线段的相应的弧长参数化在公共连接点处具有Ck连续性，则称它们在该点处具有k阶几何连续性，记作Gk。零阶几何连续G0与零阶参数连续C0是一致的。一阶几何连续G1指一阶导数在两个相邻曲线段的交点处成比例，即方向相同，大小不同。二阶几何连续G2指两个曲线段在交点处其一阶和二阶导数均成比例。,17,曲线段间C1、C2和G1、G2连续性定义1.Q1(1)=Q2(0),则Q1(t)和Q2(t)在P处有C0和G0连续性；2.Q1(1)和Q2(0)在P处重合，且其在P点处的切矢量方向相同，大小相等，则Q1(t)和Q2(t)在P处有C1连续性；3.Q1(1)和Q2(0)在P处重合，且其在P点处的切矢量方向相同，大小不等，则Q1(t)和Q2(t)在P处有G1连续性；4.Q1(1)和Q2(0)在P处已有C0和C1连续，且Q”1(1)和Q”2(0)大小方向均相同，则Q1(t)和Q2(t)在P处有C2连续性；5.Q1(1)和Q2(0)在P处已有G0和G1连续，且Q”1(1)和Q”2(0)方向相同但大小不等，则Q1(t)和Q2(t)在P处有G2连续性；6.推广之，Q1(1)和Q2(0)在P处已有C0、C1、Cn1连续，若Q(n)1(1)和Q(n)2(0)在P处大小和方向均相同，则说Q1(t)和Q2(t)在P处具有Cn连续性。,18,19,20,光顺光顺（smoothness）是指曲线的拐点不能太多，要光滑顺畅。对于平面曲线相对光顺的条件应该是：（1）具有二阶几何连续（G2）；（2）不存在多余拐点和奇异点；（3）曲率变化较小。,21,第二节Hermite多项式,已知函数f(t)在k+1个点ti处的函数值和导数值f(j)(ti)，i=0,1,k，j=0,1,mi-1，要求确定一个N=m0+m1+mk-1次的多项式P(t)，满足下面的插值条件：多项式P(t)就是对于函数f(t)的Hermite插值多项式。数学上已经证明，这样的多项式是存在且唯一的。,22,共计N=m0+m1+m2+mk个已知条件。,23,当m0=m1=mk=1时，这个问题就是熟知的Lagrange插值问题，即已知f(t)在k+1个点上的函数值f(ti)，求一个k次多项式使之满足。,24,设表示一条曲线的某个函数f(t)在四点t0，t1，t2，t3的函数值f(t0),f(t1),f(t2),f(t3)，根据Lagrange插值法，则三次多项式P(t)可表示为：,选择四个不同的点作为构造曲线的条件,25,混合函数如下：,26,考查k=1，m0=m1=2的情形。已知表示一条曲线的某个函数f(t)在两点t0，t1的函数值f(t0),f(t1)和一阶导数值f(t0),f(t1)，求三次多项式P(t):使满足：,27,可得到下列一组方程：,28,29,30,把a0，a1，a2和a3代入4.1则有：,31,经整理，所求多项式P0(t)可以写出如下：,混合函数如下：,4.2,32,4.3,33,34,为了使P0(t)的定义区间t0tt1变为区间0u1，可以做如下变换,解出，代入混合函数（4.3）式中，得：,4.4,35,4.5,36,4.5,37,将关于u的混合函数代入，所求的三次多项式成为：,38,再令,39,得到：,40,41,42,对一般的Hermite插值问题，也可以得到类似结果。但插值多项式次数较高时，应用起来不方便。通常的处理办法是将前面给出的参数三次多项式逐段光滑地连接，如此来确定一般情况下的插值多项式。,43,将前面t0和t1视为ti和ti+1，设给定f(ti)，f(ti+1)，f(ti)，f(ti+1)，则在区间ti，ti+1的Hermite三次插值多项式Pi(t)是：,44,45,为了完整地写出这个插值多项式，可以在区间ti，ti+1中引入如下一些基本函数：,46,47,完整的插值多项式可写为：,上式在区间t0，tn中有定义，且为分段定义。在每个区间ti，ti+1上，都恰有四项。满足插值条件,48,利用Hermite插值方法可以为构造插值的曲线提供一个解法。设我们已知n+1个型值点的位置向量Pi和切线向量Pi，i=0，1，n，则通过这些插值点并且在插值点处切线向量为给定值的三次参数样条曲线为：,49,每段曲线Pi(t)只在ti，ti+1中有定义：,50,做自变量的线性变换,用逆变换代入，将所得关于u的多项式记为，得,51,52,例题:设在平面上有两点P0，Pl，它们的位置向量分别为(1，1)，(4，2)，在P0的导数值即在该点的切线向量P0=(1，1),在Pl处P1=(1，-1)。,53,54,算法演示,55,第三节Coons曲面,56,57,uw表示了曲面片的方程0w，1w，u0，u1表示四条边界曲线，u0u表示在边界线u0上的点沿u向的一阶偏导数向量，称边界线的切向量，u0w表示边界线u0上的点沿w向的一阶偏导数向量，称边界线的跨界切向量，uwuu，uwuw，uwww分别表示曲面片uw关于u和w的二阶偏导数向量，于是u0uu表示边界线u0上的二阶切向量，u0ww表示边界线u0上的二阶跨界切向量。uwuw为曲面片P在点(u,w)处的扭曲向量。,58,特别，用00，01，10，11分别表示曲面片四个角点时，00uw，01uw，10uw，11uw就分别表示在四个角点的扭曲向量。,59,60,问题1：构造具有指定边界曲线的曲面片Coons给出的一个解法是：寻找两个混合函数f0(t)和f1(t)，它们是连续的，并且满足f0(0)=1，f0(1)=0，f1(0)=0，f1(1)=1，且f0(t)+f1(t)=1，0t1。利用这样的混合函数，通过四条边界构造曲面片，并通过叠加修正曲面片，产生满足用户需要的曲面。,61,62,直纹面（RuledSurface）：可以通过直线的运动构造出来的曲面。动直线称为直母线（简称母线）。例如：柱面、圆锥面。,63,64,若给定四条边界曲线u0，u1，0w，1w，且0u1，0w1在u向进行线性插值，得到直纹面为：,65,在w向进行线性插值，得到直纹面为：,66,67,Ps(u,w)上的任意一点，其位移矢量包含两部分，一部分是由于线性插值而产生的位移，另一部分是由于边界曲线而产生的位移。,把这两张直纹面叠加可得到一张新曲面Ps(u,w)：,68,为消除Ps(u,w)中由于线性插值而产生的位移，需要构造一个新的曲面P3(u,w),69,构造曲面P3(u,w)后，从Ps(u,w)中去除P3(u,w)，即去除线性插值的成分，则得到Coons构造曲面P(u,w)=Ps(u,w)-P3(u,w)=P1(u,w)+P2(u,w)-P3(u,w)可写成如下形式：,70,71,其中矩阵M是：,矩阵中四个元素是四个角点的位置向量，可用已知四条边界曲线计算求出。u0，u1可以是关于u的三次多项式，0w，1w可以是关于w的三次多项式，混合函数也是不超过三次的关于u或w的三次多项式，这时公式关于u看，或关于w看，都是三次多项式，是关于u或w的双三次多项式。,72,73,74,不难验证它们符合所提问题的要求，例如我们来验证0w是它的一条边界线，只要把u=0代入公式右端，得,75,问题2：曲面片以指定的曲线为其边界曲线，且有指定的跨界切向量。利用本章第二节定义的四个混合函数q00(t),q01(t),q10(t),q11(t)。这四个函数均是三次多项式，连续可微，并且还满足下面的条件：,76,77,设已经给定四条边界曲线u0，u1，0w，1w及沿这四条边界曲线的跨界切向量u0w，u1w，0wu，1wu。这时可以计算求得四个角点的位置向量00，01，10，11，切向量00w，01w，10w，11w，00u，01u，10u，11u，以及扭曲向量00uw，01uw，10uw，11uw，可以写出符合要求曲面片的数学表达式如下：,78,79,容易地验证所写出的公式满足要求，例如以u=0代入该式右端，得：,80,81,曲面片沿边界线取给定的各跨界切向量，可先对该式关于某一变量求导，例如对u求导，然后再代入u=0，有,82