三角函数变换的技巧与方法.doc

三角函数变换的方法与技巧 (1)一、 角的变换在三角函数的求值、化简与证明题中，表达式往往出现较多的相异角，此时可根据角与角之间的和差、倍半、互余、互补的关系，运用角的变换，沟通条件与结论中角的差异，使问题获解。常见角的变换方式有：；等等。例1、已知，求证：。 分析：在条件中的角和 与求证结论中的角是有联系的，可以考虑配凑角。解：，二、 函数名称的变换三角函数变换的目的在于“消除差异，化异为同”。而题目中经常出现不同名的三角函数，这就需要将异名的三角函数化为同名的三角函数。变换的依据是同角三角函数关系式或诱导公式。如把正(余)切、正(余)割化为正、余弦，或化为正切、余切、正割、余割等等。常见的就是切割化弦。例2 、(2001年上海春季高题)已知 ，试用表示的值。分析：将已知条件“切化弦”转化为的等式。解：由已知； 。三、 常数的变换在三角函数的、求值、证明中，有时需要将常数转化为三角函数，例如常数“1”的变换有：，等等。例3、(2004年全国高考题)求函数的最小正周期，最大值和最小值。分析：由所给的式子可联想到。解： 。所以函数的最小正周期是，最大值为，最小值为。四、 公式的变形与逆用在进行三角变换时，我们经常顺用公式，但有时也需要逆用公式，以达到化简的目的。通常顺用公式容易，逆用公式困难，因此要有逆用公式的意识。教材中仅给出每一个三角公式的基本形式，如果我们熟悉其它变通形式，常可以开拓解题思路。如由可以变通为与；由可变形为等等。例4、求的值。分析：先看角，都是，再看函数名，需要切割化弦，最后在化简过程中再看变换。解：原式(切割化弦)(逆用二倍角公式)(常数变换)(逆用差角公式)(逆用二倍角公式)。这里我们给出了四种三角函数的变换方法与技巧，在处理三角函数问题的过程中若能注意到这些变换的方法与技巧，将有利于我们对三角函数这一章内容的理解。三角函数变换的方法与技巧(2)在上一部分我们介绍了部分三角函数的娈换技巧与方法，下面我们再介绍四种变换的方法与技巧：五、 引入辅助角可化为，这里辅助角所在的象限由的符号确定，角的值由确定。例5、求的最大值与最小值。分析：求三角函数的最值问题的方法：一是将三角函数化为同名函数，借助三角函数的有界性求出；二是若不能化为同名，则应考虑引入辅助角。解： 其中，当时，；当时，。注：在求三角函数的最值时，经常引入辅助角，然后利用三角函数的有界性求解。六、 幂的变换降幂是三角变换时常用的方法，对于次数较高的三角函数式，一般采用降幂处理的方法。常用的降幂公式有：，和等等。降幂并非绝对，有时也需要升幂，如对于无理式常用升幂化为有理式。例6、化简。分析：从“幂”入手，利用降幂公式。解：原式七、 消元法如果所要证明或要求解的式子中不含已知条件中的某些变量，可以使用消元法消去此变量，然后再求解。例7、求函数的最值。解：原函数可变形为：，即， 解得：，。八、 变换结构在三角变换中，常常对条件、结论的结构施行调整，或重新分组，或移项，或变乘为除，或求差等等。在形式上有时须和差与积互化，分解因式，配方等。例8、化简。分析：本题从“形式”上看，应把分析式化为整式、故分子分母必有公因式，只需把分子分母化成积的形式。解：所以。九、思路变化对于一道题，思路不同，方法出随之不同。通过分析，比较，才能选出思路最为简例9、求函数 的最大值。解：由于，则为点与点()连线的斜率。则斜率最为当连线与半单位圆相切时，如图所示：O(，)此时， 。捷的方法。三角函数最值与综合应用一、求三角函数最值的一般方法1.用三角发求解三角函数的最值常见的函数形式（1），其中，（2）可先降次，整理转化为一次形式。（3）可转化为只有分母含或函数式，或的形式，有正、余弦函数的有界性求解。2.用代数发求三角函数的最值常见的函数形式（1）可转化为的二次函数式。（2），令，则转化为的最值，一般可用图像。（3），一般用万能公式转化为关于的二次方程，由“判别式法”求其最值；或转化为关于的函数式后噶偶早应用“均值不等式”及“单调性”求其最值，也可以将函数式转化为的形式，由正余弦的有界性求最值。3.用解析法求三角函数的最值常见的函数形式 或可转化为椭圆上的动点与定点连线的斜率的最值问题。二、求三角函数值域的常用方法 求三角函数的值域除了判别式、总要不等式、单调性等方法除外，结合三角函数的特点还有以下常用方法：1.涉及正、余弦函数以及，其中，都可以考虑利用有界性处理2. 型 ,其中,再利用有界性处理。3.形如或的函数求最值是都可以通过适当变换，通过配方法来求解。4.形如，在关系式中是，可以考虑换元法处理，如令，则。把三角问题化归为代数问题解决5.形如型或能确定所给函数在某区间上单调，可考虑利用单调性求解。例1. 求下列函数的值域 （1） （2）变式1. 求函数的值域变式2. 求函数的最值及对应的的集合练习：一、选择题1.（2009全国）若将函数的图像向右平移个单位后，与函数的图像重合，则的最小值为（）A. B. C. D.2.（2008湖南）函数在区间上的最大值是（）A. B. C. D.二、填空题3.（2009全国）若，则函数的最大值为4.（2008辽宁）已知，且在区间有最小值，无最大值，则三、解答题5.（2010辽宁）在中，分别为内角的对边，且（1）求的大小（2）求的最大值6.(2009陕西)已知函数，的图像与轴的交点中，相邻连个交点之间的距离为，且图像上一个最低点为。（1）求的解析式；（2）当时，求的值域7.（2008安徽）已知函数（1）求函数的最小正周期和图像的对称轴方程；（2）求函数在区间上的值域8.（2008福建）已知向量，且为锐角。（1）求角的大小（2）求函数的值域三角恒等变换一、 方法与技巧：1.和角公式中要注意公式成立的条件。2.三角函数式的化简原则：尽量使函数种类最小，次数相对较低，项数最少，尽量使分母不含三角函数，尽量去掉根号或减少根号的层次，能求出具体值的应该要求出具体值。3.要熟悉角的拆拼、变换的技巧，倍角与半角的相对性，如，的半角，是倍角。4.要掌握求值问题的解题规律和途径，寻求角之间关系的特殊性化非特殊角为特殊角，正确选用公式，灵活掌握个公式的正用、逆用、变形等。例三角函数式的化简与证明化简（从角入手，化复交为单角）（从名入手，化异名为同名）（从从幂入手，降幂处理）（从行入手，配方法）变式： 求证：练习：一、选择题1.（2010新课标全国）若，是第三象限角，则（）A. B. C. D.2.（2010福建）计算的结果等于（）A. B. C. D.3.（2010江西）是等腰直角三角形斜边上的三等分点，则（）A. B. C. D. 二、填空题4.（2010全国）已知是第二象限角，,则5.（2010浙江）函数的最小正周期是三、解答题6.（2010天津）已知函数。 （1）求函数的最小正周期及在区间上的最大值和最小值； （2）若，求的值。7.（2010安徽）设是锐角三角形，分别是内角所对边长，并且 （1）求角的值 （2）若，求（其中）8.（2010江西）已知函数 （1）当时，求在区间上的取值范围； （2）当时，求的值9.（2010湖北）已知函数， （1）求函数的最小正周期；（2）求函数的最大值，并求使取得最大值的集合三角函数最值与综合应用习题一选择题1.若函数，对任意的都有，则等于（）A. 2或0 B. -2或2 C. 0 D.-2或02.已知函数，且此函数的图像如图所示，则点的坐标是（）A. B. C. D.3.已知函数的最大值为4，最小值为0，最小正周期为，直线其图像的一条对称轴，则下列各式中符合条件的解析式为（）A. B. C. D. 4.已知函数，给出下列四个命题：若，则；的最小正周期是；在区间上是增函数；的图像关于直线对称；其中真命题是（）A. B. C. D. 5函数的最大和最小正周期分别为（）A. B. C. D. 二、填空题6.已知函数的图像关于直线对称，则7.已知函数，则函数的最小正周期为三、解答题已知，与之间有关系式，其中（1） 用表示；（2）