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文档简介

复变函数与积分变换,第六章共形映射,1.共形映射的概念,2.分式线性映射,3.唯一决定分式线性映射的条件,4.几个初等函数所构成的映射,5.关于共形映射的几个一般性定理,6.Schwarz-Christoffel映射,7.Laolace方程的边值问题,8.第六章小结与习题,第二节分式线性映射,分式线性映射的概念,1,几种简单的分式线性映射,2,小结与思考,4,分式线性映射的性质,3,一、分式线性映射的概念,称为分式线性映射.,说明:,否则,由于,那末整个z平面映射成w平面上的一点.,分式线性映射的逆映射,也是分式线性映射.,2)由,3)两分式线性映射,仍复合为分式线性映,4)分式线性映射,一个一般形式的分式线性映射是由下列三种,特殊的简单映射复合而成:,二、几种简单的分式线性映射,平移映射,(为方便起见,令w平面与z平面重合),旋转与伸长(或缩短)变换,事实上,设,那末,因此,把z先转一个角度,关于横轴对称,反演变换,此映射可进一步分解为,欲由点z作出点w,可考虑如下作图次序:,关键:,对称点的定义:,设C为以原点为中心,r为半径的圆周.在以,满足关系式,那末就称这两点为关于这圆周的对称点.,规定:无穷远点的对称点是圆心O.,.,.,设P在C外,从P作C的切线PT,由T作OP的垂,作图:,.,故可知:,.,.,.,关于单位圆对称,关于实轴对称,三、分式线性映射的性质,1.一一对应性,例如:,结论:分式线性映射在扩充复平面上一一对应.,2.保角性,综上所述知:,综上所述:,定理一分式线性映射在扩充复平面上是一一对应的，且具有保角性,3.保圆性,所谓保圆性指在扩充复平面上将圆周映射为圆周的性质.,特殊地，直线可看作是半径为无穷大的圆周.,1)映射,特点:,所以此映射在扩充复平面上具有保圆性.,2)映射,若z平面上圆方程为:,令,有,代入z平面圆方程得其象曲线方程:,即,所以此映射在扩充复平面上具有保圆性.,3)分式线性映射,定理二分式线性映射将扩充z平面上的圆周映射,成扩充w平面上的圆周,即具有保圆性.,说明:如果给定的圆周或直线上没有点映射成无,穷远点,那末它就映射成半径为有限的圆周;,有一个点映射成无穷远点,那末它就映射成直线.,如果,对称点的特性,.,.,.,4.保对称性,.,.,.,结论,充要条件是:,即分式线性映射具有保对称性.,定理三,证,分式线性映射,证毕,分式线性映射首先由德国数学家默比乌斯(17901868)研究,所以也称为默比乌斯映射.,对每一个固定的w,此式关于z是线性的;对每一,个固定的z,此式关于w也是线性的,因此称上式,是双线性的.分式线性映射也称双线性映射.,默比乌斯,小知识,四、小结与思考,分式线性映射是一类比较简单而又很重要的共形映射,应熟悉分式线性映射的分解和复合,及其保角性、保圆性和保对称性.,思考题,思考题答案,默比乌斯资料,AugustMbius,Born:17Nov1790inSchulpforta,
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