空间向量的概念及运算

1,第51讲空间向量的概念及运算,2,1.了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示.2.掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能用向量的数量积判断向量的共线与垂直；,3,1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,下列各式中运算的结果为AC1的共有个()(+)+(+)+(+)+(+)+,D,A.1B.2C.3D.4,4,2.已知O、A、B、C为空间四点，又、为空间的一个基底，则(),D,A.O、A、B、C四点共线B.O、A、B、C四点共面但不共线C.O、A、B、C四点中有三点共线D.O、A、B、C四点不共面,5,3.若a=(2x,1,3),b=(1,-2y,9),且ab,则(),C,A.x=1,y=1B.x=，y=-C.x=,y=-D.x=-，y=,解析：因为ab，所以=，所以x=，y=-.,6,4.已知正四面体ABCD的棱长为1，点F、G分别是AD、DC的中点,则=.,解析：因为=(-),所以=(-)=(-)=(-1)=-.,7,5.已知a、b是空间两向量:若|a|=2,|b|=2,|a-b|=,则cosa,b=.,解析：由|a-b|2=(a-b)2=a2-2ab+b2=22-2ab+22=7.所以ab=，所以cosa，b=ab|a|b|=.,8,1.空间向量的有关概念（1）空间向量:在空间,我们把具有和的量叫做向量,其大小叫做向量a的长度或模，记作|a|.(2)单位向量：长度或模为_的向量(3)零向量：长度或模为_的向量(4)相等向量：方向_且模_的向量,大小,方向,1,0,相同,相等,9,(5)相反向量：方向_且模_的向量(6)共线向量：与平面向量一样，如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量，a平行于b，记作ab.(7)共面向量：平行于同一_的向量叫做共面向量,相反,相等,平面,10,11,12,(4)向量对实数加法的分配律：_(5)数乘向量的结合律：_.,3向量线性运的运算律(1)加法交换律：_(2)加法结合律：_(3)数乘分配律：_,a+b=b+a,(a+b)+c=a+(b+c),(a+b)=a+b,a(+)=a+a,13,4空间向量的数量积及其运算律(1)空间向量的夹角及其表示已知两非零向量，b，在空间任取一个点O，,AOB,14,(2)数量积及坐标运算(2)已知向量a，b，则_叫做a，b的数量积，记作ab.(3)空间向量数量积的运算律结合律：_；交换律：_;分配律：_。,15,5空间向量的坐标表示及应用(设a=(x1，y1，z1)，b=(x2，y2，z2)(1)坐标运算ab=_；a=_；=_；,16,17,题型一空间向量的线性运算,18,19,(2)因为N是BC的中点，,20,21,评析：用已知向量表示未知向量，一是要选好基底，二是要以图形为指导，利用平面图的性质，比如重心与中点的特殊量的关系等,22,素材1三棱锥O-ABC中，M、N分别是OA、BC的中点，G是ABC的重心，用基向量,表示和.,23,=+=+=+(-)=+(+)-=-+.=+=-+=+.,解析：,24,题型二空间中点共线、点共面的问题,25,26,评析：证明共面问题，关键是要利用向量定理，即只要存在实数x，y，得即可，也可推论，如对空间中一点O，有即可，如本例可由只需求得x，y，z满足x+y+z=1即可,27,素材2在以下命题中，不正确的命题个数为()(1)已知A，B，C，D是空间任意四点，且(2)|a|-|b|=|a+b|是a，b共线的充要条件；(3)若a与b共线，则a与b所在直线平行；(4)对空间任意一点O和不共线的三点A,B,C（其中x，y，zR)，则P，A，B，C四点共面,28,A1B2C3D4(1)正确，(2)(3)(4)错误，故选C.,29,题型三空间向量的数量积及其应用,如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,A1AB=A1AD=BAD=60，AA1=3,AB=AD=2.(1)求证：AA1BD；(2)求|；(3)求cos，.,例3,30,条件较集中于点A处，故可取,为解决问题的基向量,题中各问题中的有关向量,都用基向量来表示,再进行相应运算.,分析,(1)证明：因为=(-)=-=32cos60-32cos60=0,所以，即AA1BD.,解析：,31,(2)|2=(+)2=+2+2+2=4+4+9+222cos60+223cos60+223cos60=33，所以|=.,32,(3)在A1AB中，由余弦定理，得A1B2=9+4-223cos60=7，即A1B=7.又=-，所以=(-)=-=22cos60-23cos60=-1.所以cos,=.,33,评析:本题提供的是利用空间向量的基本运算来处理立体几何中的证明的一般方法，在复习中，应加强这方面的思考.,34,素材3在正方体中，下面给出四个命题：,35,解析：,36,题型四空间向量的坐标运算及其应用,分析建立空间直角坐标系，利用向量共线的条件及向量垂直的条件建立方程组，求得M、N两点的坐标，再求,37,38,39,评析求空间图形上两点间的距离常用有两种思路：一是将线段放置在